復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》

ComplexAnalysisandIntegralTransforms復(fù)數(shù)的誕生先從二次方程談起:公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當(dāng)時無解，當(dāng)時有解．二千多年沒有進(jìn)展：尋找三次方程的一般根式解．G.Cardano(1501-1576):＂怪才＂，精通數(shù)學(xué)，醫(yī)學(xué)，語言學(xué)，文學(xué)，占星學(xué)．他發(fā)現(xiàn)沒有根，形式地表為

L.Euler(1707-1783):瑞典數(shù)學(xué)家,13歲入大學(xué)，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示．K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的懷疑，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．R.Descartes(笛卡兒):1596-1650,法國哲學(xué)家，坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始人．1637他稱一個負(fù)數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，地圖制圖學(xué)．復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其運算定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。1.復(fù)數(shù)的概念

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)1.點的表示點的表示：

數(shù)z與點z同義.§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時，輻角不確定。

計算argz(z≠0)的公式當(dāng)z落于一,四象限時，不變。

當(dāng)z落于第二象限時，加。

當(dāng)z落于第三象限時，減。

oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例1將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知直線段的中點為例2求下列方程所表示的曲線:解：設(shè)z=x+iy

,方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3注:這里A是復(fù)數(shù),B是實數(shù).x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).用直線將復(fù)平面內(nèi)任一點z與N相連,必與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系,

而N點本身可代表無窮遠(yuǎn)點,記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.4.復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點擴充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個“新”的數(shù)∞:擴充復(fù)平面---引進(jìn)一個“理想點”:無窮遠(yuǎn)點

∞.約定:

注:若無特殊說明,平面均指有限復(fù)平面.定理1

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根

幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2例：設(shè)則：即k=m+n+1則有定理2

兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當(dāng)|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。問題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算當(dāng)z≠0時，有n個不同的ω值與相對應(yīng)，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，當(dāng)k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點集內(nèi)點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點。§1.4復(fù)平面上的點集開集若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集。連通是指區(qū)域設(shè)D是一個開集，且D是連通的，稱D是一個區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；內(nèi)點外點D的所有邊界點組成D的邊界。P有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如|z|<R（R>0）是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復(fù)變函數(shù)例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量u，v與x，y

之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）例3解—關(guān)于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2例4解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=43.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.例已知映射w=z3，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:當(dāng)變點z一旦進(jìn)入z0的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預(yù)先給定的ε鄰域中§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

(1)

意義中的方式是任意的.與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復(fù)數(shù).2.運算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：定理4(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.定理2

以上定理用極限定義證!令z=x+iy,則由此得例1[證]讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故當(dāng)z0時極限不存在.

注：（隨k變化）3.函數(shù)的連續(xù)性定義2定理6例2證明f(z)=argz在原點及負(fù)實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz當(dāng)z0時的極限不存在例3

證明函數(shù)[證]令z=x+iy,則由此得讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.

定理7連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續(xù)函數(shù);連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)。有界性：例4

討論

解：的連續(xù)性。第二章解析函數(shù)基礎(chǔ)§2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對于復(fù)平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明(1)復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)，要比實函數(shù)在一點處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。思考題解：所以在復(fù)平面上除原點外處處不可導(dǎo)。(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導(dǎo)w=f(z)點z0處連續(xù).?可微定義:若函數(shù)w=f(z)在點z的改變量可寫成(4)可導(dǎo)與可微可導(dǎo)可微易知A(z)=f'(z)當(dāng)f(z)=z時,dz=?z.所以常記

dw=df(z)=f'(z)dz.一.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。(2)函數(shù)f(z)在z0點可導(dǎo)，未必在z0解析?！?.2解析函數(shù)例如(1)w=z2在整個復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復(fù)平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個復(fù)平面上處處不解析(見例4)；僅在原點可導(dǎo)，故在整個復(fù)平面上不解析。定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù)。定理2設(shè)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。

如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。我們將從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？二.解析函數(shù)的充要條件記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).C-R方程等價于證明:

定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函數(shù)w=f(z)點z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，ii)驗證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.推論：三.舉例例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則例2求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為例3證明例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1、C2常數(shù).那么在曲線的交點處，i)uy、

vy均不為零時，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?。例如兩族分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2練習(xí):

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。定義定理§2.3調(diào)和函數(shù)證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：如定理

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。例1解曲線積分法故

又解湊全微分法又解偏積分法又解不定積分法§2.4初等函數(shù)本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。

例1例2例3二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)思考題由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)三.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義故特別

(2)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例4例5解下列方程：[解]四.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值—q支

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a的n次冪意義一致。解例6冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(正整數(shù))w=zn在整個復(fù)平面上是單值解析函數(shù)除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，無窮多值。5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見P55重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、乘冪．第三章復(fù)變函數(shù)的積分第五章留數(shù)§1孤立奇點1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。2.分類以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進(jìn)行分類。考察：特點：沒有負(fù)冪次項特點：只有有限多個負(fù)冪次項特點：有無窮多個負(fù)冪次項定義設(shè)z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù)沒有負(fù)冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負(fù)冪次項，稱z=z0為m級極點;有無窮多個負(fù)冪次項，稱z=z0為本性奇點。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性質(zhì)若z0為f(z)的可去奇點若z0為f(z)的m(m1)

級極點例如：z=1為f(z)的一個三級極點，z=i為f(z)的一級極點。若z0為f(z)的本性奇點4.零點與極點的關(guān)系定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：定理事實上，必要性得證！充分性略！例如證明“”若z0為f(z)的m級極點定理例解顯然，z=i是(1+z2)的一級零點綜合如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱點為f(z)的孤立奇點.作變換

把擴充z平面上的去心鄰域R<|z|<+映射成擴充w平面上原點的去心鄰域：又.這樣,我們可把在去心鄰域R<|z|<+對f(z)的研究變?yōu)樵趦?nèi)對j(w)的研究.顯然j(w)在內(nèi)解析,所以w=0是孤立奇點.f(z)在無窮遠(yuǎn)點z=的奇點類型等價于j(w)在w=0的奇點類型。5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)

f(z)在z=0處洛朗展式中不含正冪項，則z=∞為可去奇點；含有限多項的正冪項且最高項為zm，則z=∞為m級極點；含有無窮多項的正冪項，則z=∞為本性奇點。1.留數(shù)的定義2.留數(shù)定理3.留數(shù)的計算規(guī)則§5.2留數(shù)(Residue)1.留數(shù)的定義定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)冪次項(z-z0)–1的系數(shù)c–1

稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留數(shù)定義,Res[f(z),z0]=c–1(1)2.留數(shù)定理定理證明Dcznz1z3z2由復(fù)合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數(shù)。一般求Res[f(z),z0]是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。以下就三類孤立奇點進(jìn)行討論：3.留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則I規(guī)則II事實上，由條件當(dāng)m=1時，式(5)即為式(4).規(guī)則III事實上，例1解例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級極點。---該方法較規(guī)則II更簡單！(2)由規(guī)則II的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II時，可將m取得比實際級數(shù)高，這可使計算更簡單。如設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線,則積分的值與C無關(guān),稱其為f(z)在點的留數(shù),記作f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析：理解為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。4.無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)這就是說,f(z)在點的留數(shù)等于它在點的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)變號.定理二

如果f(z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.證：除點外,設(shè)f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義,有所以規(guī)則IV成立.定理二與規(guī)則IV為我們提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法,在很多情況下,它比利用上一段中的方法更