線性代數(shù)課件第一章例題部分

證明對角行列式、上（下）三角行列式{i>j

(i<j)

時,

aij=0,

aii≠0 i=1,2,…,n}

均等于其主對角元素的乘積，即:01=ni

=1annan1

an2a11annann

=

aii

.=

0

0a21

a22

a11

0

0

a11

a12

a1n0

a22

0

0

a22

a2n

0

0

0

0

例9證:nn2nnann11

2211

22an1

an

2a11a210

0a22

0

a

=

a

a

a=

(-1)t(12n)

a

a只以“下三角行列式”為例來證明.先決定所有可能的非零項ja a an

j1 2

j21

n=

a11a22

ann(

j1

=

1,

j2

=

2,,

jn

=

n)其次決定非零項的符號例10

0

0

…0

an0

0…an-100

0

…

0

an0

0

…

an-1

*……=0

an

….0

0a1

0

…

0

0……0

a2

…

*

*a1

*

…

*

****

…

*

an*

…

an-1

0=

……*

a2…00a1

0…00其中*

表示此處元素可以是任意的數(shù).3例14計算四階行列式解通過行變換將D

化為上三角行列式2

31

2

-

2

30

1

2

-10

0

2

10

0

3

31

2

-

2

30

0

2

10

1

20

-1

1

4-1

r

?

rr3

+

r4======

-(-2)

·

r1

+

r4r1

+

r2

D

======1

2

-

2

3-

2

4

-

20

1

2

-12

3

-

3

104D

=

-1453=

-2

·(3

/

2)

=

-3.100210-

2223-11(-3

/

2)

·

r

+

r===========

-100210-

2223-1100330003

/

2D

=

-例17

計算

n

階行列式6nxaaxaa

aa

xD

=每行元素之和均為x+(n-1)a把2~n

列加到第一列提出公因子x+(n-1)a然后將第一行乘-1加到其余各行，化為上三角行列式:解nx

+

(n

-1)aa

a1a

ax

+

(n

-1)ax

a=

[x

+

(n

-1)

a]1x

ax

+

(n

-1)aa

x1a

xD

=17=

[x

+

(n

-1)a](x

-

a)n-1=

[x

+

(n

-1)a]a

ax

-

ax

-

a要注意觀察,善于利用原行列式的特點.例20a

b

c

c1

+

a1

=

2

a1

b1

c1

c2

+

a2

a2

b2

c2b1

+

c1b2

+

c2證明b

+

c c

+

aa

+

b

a1

+

b1

a2

+

b2把左端行列式的第2,

3列加到第一列，提出公因子2，再把第1列的(-1)倍加到第2,

3列，得證法一-

a

-

b-

a1

-

b1-

a2

-

b28a

+

b

+

ca1

+

b1

+

c1a2

+

b2

+

c22再將第2,

3列加到第1列，再提取第2,

3列的公因數(shù)-1,作兩次列對換，等式即得證.-

a

-

b-

a1

-

b1-

a2

-

b29證法二將左式表示成23

個行列式之和，其中有6個行列式各有兩列相等而等于零:a

+

b

+

c2

a1

+

b1

+

c1a2

+

b2

+

c2c

+

a

c1

+

a1

c2

+

a2b

b

+

c+

b1

b1

+

c1b2

b2

+

c2c

+

a

c1

+

a1

c2

+

a2a

b

+

cb1

+

c1左=a1b

c

c

+

ac1

c1

+

a1

b2

c2

c2

+

a2+

0

+

b1a

c

c

+

a+

a1

c1

c1

+

a1

a2

c2

c2

+

a2a2

b2

+

c2a

b

c

+

a=

a1

b1

c1

+

a1

a2

b2

c2

+

a2b

c

ac1

a1

=右.b2

c2

a210a

b

c=

a1

b1

c1

+

0

+

0

+

0

+

0

+

0

+

0

+

b1a2

b2

c2例2111設(shè)xyz

?

0,計算先化為箭形行列式，再化為三角行列式.第一行乘以-1

加到第2,

3行；再將第2,

3列分別乘

(x/y),

(x/z)加到第一列:1

+

x23D

=12

+

y3123

+

z解法1y

z002

3y

00

z1

+

x

+

2

x

+

3

x1

+

x

2

3D

=

-

x

y

0

=-

x

0

z

2

x

3

x

=

1

+

x

+

+

yz

=

yz

+

2

xz

+

3xy

+

xyzy

z上述計算過程中出現(xiàn)的第一個行列式就是所謂的

“箭形行列式”.解法2用分拆法120

0

x

2

0

x

0

3

x

0

0y

0

+

0

2 0

+

0

y

3

+

0

y

00

z

0

2

z

0

0

3

0

0

z131

+

x

2

+

0

3

+

0

12

+

y

3

+

0

=

11

+

0

2

+

0

3

+

z

1D

=

1

+

0D

=1

)i

=1ink

=1kan=

(

a

)(1

+

1

+

a1111

+

a2

1

1

11

1

+

ann其中

ak

=

a1a2

an

?

0.k

=1=

yz

+

2

xz

+

3

xy

+

xyz例書例5

證明證法1將1寫成1+0,將D拆成2n個行列式,只有如下的n+1個非0:an

a2a1

1

a1a1

11

an

1

an11a2

1

++++1

aD

=

2)1411112ni

=1i1nk

=1knk

=11nk

=1nnk

=1nk

=1a=

(

a

)(1

+ak

+

akak

+

a=

aak

+

+

a證法2D的第i

行減第1

行(i=2,3,…,n)n15naa

11211

1a2i

=2

ai1

+

a

+00=1

+

a111-

aa-

a1anD

=nniaa2

11)a

ai

=2=

(1

+

a

+證法3在D的左邊加一列(1,

0,

…,0)T,上面加一行(1,

1,

…

,

1),

得到

n+1

階行列式

D1,

這種方法叫加邊法.naan

1111n1

+

a

1

1i

=1

i0

a10==1

1

+

an1

1

1

1

1

10

1

+

a

1

-1

a

0

-1D

=

D

=16nni

aiai

=1i

=11

=

1

+書例8證明n

階范德蒙(Vandermonde)行列式31721321=ijnnn-

x

).(x1￡i<

j￡nxn-1xn-1xn-1xn-1x

2x

2 x

2 x

2D

=1

1

1

1x1

x2

x3

xn

證1

從第

n

行開始,

每一行減去前一行的

x1倍,

目的是把第一列除1以外的元素化為零.然后按第一列展開,并提取各列的公因子,可以得到:Dn

=

(

x2

–x1

)(

x3

–x1

)…(

xn

–x1

)Dn-1利用這個公式遞推:Dn-1

=

(

x3

–x2

)(

x4

–x2

)…(

xn

–x2

)Dn-2……D3

=

(

xn

–xn-2

)(

xn-1

–xn-2

)D2

= xn

–xn-1利用上述遞推結(jié)果即可得到結(jié)論.181

21

1x=

x2

-

x1證2

用數(shù)學(xué)歸納法證（1）當(dāng)n=2時，D2

=

x結(jié)論成立)19111

10x2

-

x1x3

-

x1

xn

-

x1Dn

=0x2

(x2

-

x1

)x3

(x3

-

x1

)

xn

(xn

-

x1

)

0

xn-2

(x

-

x

)

xn-2

(x

-

x

)

xn-2

(x

-

x2

2

1

3

3

1

n

n

1（2）設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，要證n階范德蒙行列式結(jié)論也成立ri

-

x1ri-1

;

(i

=

n,

n

-1,,2)20按第一列展開得1122n-1nnn-

x

)xn-2

(x-

x

)

xn-2

(x

-

x

)3

3

1xn-2

(xx3

-

x1

x3

(x3

-

x1

)x2

-

x1x2

(x2

-

x1

)D

=xn

-

x1xn

(xn

-

x1

)

ni=2 2￡

j<i￡n1￡

j<i￡nn-1xn-2xn-2

xn-22

3

ni=2(xi

-

x

j

)\

Dn

=

(xi-

x1

)

(xi

-

x

j

)

==

(xi

-

x1）已知n

-1階范德蒙行列式結(jié)論成立由歸納法假設(shè)n1

1

1x2

x3

xn

例22計算n

階三對角行列式(a≠b)Dn

=a

+

b

ab1

a

+

b

ab

a

+

b

ab1

a

+

b解將行列式按第一行展開,得Dn

=

(a

+

b)Dn-1

-

abDn-2

(1)把上面的遞推公式改寫成21Dn22=

bn-2

(D

-

aD

)2

1-

aDn-1=

b

2

(D

-

aD

)n-3=