高考數(shù)學北師大理一輪復習 第章 數(shù)列 等比數(shù)列及其前n項和 文檔

第六章數(shù)列?§6?3等比數(shù)列及其前衛(wèi)項和基礎知識自主學習1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母__q__表示(q^O).2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列｛an｝的首項為a”公比為q,則它的通項a“=afq“_i.等比中項若G2=a?b(abMO)，那么G叫做a與b的等比中項.等比數(shù)列的常用性質(zhì)通項公式的推廣：an=am?qn-m(n，m^N十).若｛a｝為等比數(shù)列，且k+l=m+n(k，1，m，n^N)，則a#?=a』a“.n+kn⑶若｛a⑶若｛an｝，｛bn｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝y｛加“｝(久工0),，｛a2｝，｛/?bn｝，「0］仍是等比數(shù)In」列.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列｛an｝的公比為q(qMO),其前n項和為S“,a】一UnQ1-q.當a】一UnQ1-q.當qH1時,a1(1當qH1時,S一n1-q等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為一1的等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S，則S，S2-S，S3一S2仍成等比數(shù)列，其公232比為__qn—.思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)

（1）滿足a”]=qan（nWN十，q為常數(shù)）的數(shù)列｛a”｝為等比數(shù)列.（X）⑵G為a,b的等比中項G2=ab.（X）⑶如果數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，bn=a2n-1+a2n，貝燉列｛化｝也是等比數(shù)列.（X）⑷如果數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，貝燉列｛lnan｝是等差數(shù)列.（X）⑸數(shù)列｛an｝的通項公式是an=an，則其前n項和為Sn=a（1[an）.（X）nnn1－a⑹數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.（X）考點自測①－②得l_a一一)考點自測①－②得l_a一一)+N

en所以an-2p（an_i-2）（n三2,nEN+），且a1=1,a1~2=~1/0，所以｛a”-2｝—定是等比數(shù)列，故選C.等比數(shù)列｛an｝中，a4=2,a5=5,則數(shù)列｛lgan｝的前8項和等于（）A．6B．5C．4D．3答案C解析數(shù)列｛lgan｝的前8項和S8=lga1+lga2+???+lga8二lg（a『a，…?a8）二lg（a『a8）4二lgqa5）4二lg（2X5）4=4.（2015?安徽）已知數(shù)列｛an｝是遞增的等比數(shù)列，a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列｛a“｝的前n項和

等于答案2n－1解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3二a1a4，又a2a3=8,a1+a4=9,解得彳???聯(lián)立方la]+a解得彳???聯(lián)立方la]+a4二9,ai二1,、a4二1，la4=8又???數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，?叫二1,a4二8,從而a1q3-8,「?q-2.二數(shù)列｛二數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn1-2n-15．(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為答案27,81解析設該數(shù)列的公比為q，由題意知，243-9",§3=27,，.q-3.??插入的兩個數(shù)分別為9X3-27,27X3-81.題型分類深度剖析題型一等比數(shù)列基本量的運算例1(1)設｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7，則S5等于()A15313317⑵已知在等比數(shù)列｛an｝中，a5a11=6,a6+a10=7，貝導的值是610a9答案(1)b⑵晉或V6解析(1)顯然公比解析(1)顯然公比q/1，由題意得aga1q3二1/ai（1-q3）_7__61aq<得去舍1-39-_1_

aq勺（1-q5）4（1-1-1aq<得去舍1-39-_1_

aq勺（1-q5）4（1-1-1_314.⑵因為｛an｝是等比數(shù)列，所以aian_a6a10_6，又a6+a10_7，解得a6_1、a10_6，設a“_110｛an｝的公比為q,則q4_6或*,qi_農(nóng)或嚴，所以》_思維升華等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1,n,q,an，Sn，-般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.nn跟’訓釦(1)在正項等比數(shù)列｛an｝中，an+]Va”，a^a8=6,a4+a6=5，則手等于()A-lB'6C.|D.|(2)(2015.湖南)設S為等比數(shù)列｛a｝的前n項和，若a,=1,且3亠2S?,S3成等差數(shù)列，則ann11,||n答案(1)D(2)3n－1解析⑴設公比為q，則由題意知0<q<1,Ja|?a8_a『您_6,la4+a6_5,得a4_3,a6_2,所以島_島_|.a7a62⑵由3S1；2S2,S3成等差數(shù)列知，4S2_3S1+S3，可得a3_3a2，所以公比q_3,故等比數(shù)列通項an_a1qn-1_3n-1.題型二等比數(shù)列的判定與證明例2設數(shù)列｛an｝的前n項和為S”，已知a1=1，S”+1=4a”+2.設bn=a”+1—2a”,證明：數(shù)列｛b”｝是等比數(shù)列；求數(shù)列｛a”｝的通項公式.(1)證明由a1_1及S”+1_4a”+2，跟跟踝訓綁2設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1+2a2+3a3Hnan=（n—1）Sn+2n（nWN^）.??an+??an+1n+1-2a,°.b二2b,nnn－1（n三2）,有a1+a2=S2=4a1+2.-a2二5,，.b］二a2-2a1=3.TOC\o"1-5"\h\zS+產(chǎn)4a+2,①^又vn+1n〔Sn=4an-l+2（n》2），②①-②，得a［二4a-4a.（n三2）,n+1nn－1-2a二2（a-2aJ（n三2）.nnn-1故｛b”｝是首項bi=3,公比為2的等比數(shù)列.（2）解由⑴知bn二％1-2/二3?2n-1,4n+1-an二32n+12n4故｛知是首項為1，公差為4的等差數(shù)列.??已二丄+(n-l)?3二口，2n2744故a”=(3n-1)?2n-2.引申探究例2中狛卄廣4an+2”改為“Sn+］二2Sn+(n+1)^,其他條件不變，探求數(shù)列｛a“｝的通項公式.解由已知得n±2時,S=2S,+n.nn－1(1)求a2，a3的值；⑵求證：數(shù)列｛Sn+2｝是等比數(shù)列.(1)解..q+2a2+3a3+…+na”=(n-1)S”+2n(nGN+)，.?.當n=1時，二2X1二2；當n=2時，a1+2a2二(a1+a2)+4,.a二4-2當”二3時，a1+2a2+3a3二2(a1+a2+a3)+6,Aa3二8.綜上，a2二4,a3二8.⑵證明a+2a2+3a3+^+na=(n-1)S+2n(nWN+)，123nn?.當n±2時,a+2a2+3a3+…+(n-1)a1123n1①=(n2)S1+2(n1)．n1②①-②得na二(n-1)S-(n-2)S,+2=n(S-S,)-S+2S】+2二na-S+2S,+2.刃、/刃、zn-I-Iznn-Innn-Innn1nn1nn1nnn1.-S+2S,+2=0,即S二2S,+2,nn1nn1???S+2二2(S,+2).TOC\o"1-5"\h\znn1vS1+2=4/0,.S,+2/0,1n1S+2n.?—乙、S1+2n1故｛Sn+2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應用例3(1)在等比數(shù)列｛o”｝中，各項均為正值，且。6。10+°3。5=41,。4。8=5，則。4十。8=S31⑵等比數(shù)列｛an｝的首項a1=-1,前n項和為Sn，若宅=32,答案(1)p51(2)-1則公比q=.解析(1)由a6a10+a3a5=41及a6a10=a82，a3a5=a42，得a42+a28=41.因為a4a8=5，所以(a4+a8)2=a24+2a4a8+a28=41+2X5=51.又an>0，所以a4+a8二l：51.31',a1-1知公比q/±1,S－S則可得-v」S531',a1-1知公比q/±1,S－S則可得-v」S5丄32.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知-5,-io--5,-15--10成等比數(shù)列，且公比為q5,故q5=i2.思維升華(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q,則有aa-aa”，可以減少運mnpq算量．(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當?shù)慕M合后構成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列-，k-2k--k，-3k--2k，…成等比數(shù)列，公比為qk(q/-1)?跟鬧」練R已知等比數(shù)列｛an｝的公比為正數(shù)，且a3a9=2a2，a2=2，則a1等于()1

aqB.C.邁D.2(2)等比數(shù)列｛a｝共有奇數(shù)項，所有奇數(shù)項和-奇=255,所有偶數(shù)項和-偶=-126,末項是192,n奇偶則首項a1等于()A.1B.2C.3D.4答案(1)C(2)C解析(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9-a6-空,?q>0，二探—冷2a5，q—,二'」2，a1—》—冷2，故選C.⑵設等比數(shù)列｛an｝共有2k+1(kWN+)項，則a2k+1—192,則-奇—a1+a3+-+a2k-1+a2k+1—+叫+???+心+臥+1—qS偶+a2k+1空+192-255解得q--2而S奇-竹-%+仔q奇1-q2-255，解得—3,故選C.a〔-192X-255，解得—3,故選C.-(-2)2思想與方法系列12?分類討論思想在等比數(shù)列中的應用

3典例(12分)已知首項為2的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S”(nWN十)，且一2S2，S34S4成等差數(shù)列．求數(shù)列｛an｝的通項公式；113證明：Sn+sW"6(nWN+)?n思維點撥(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明．規(guī)范解答⑴解設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,因為-2S2,S34S4成等差數(shù)列，所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3二S2-S4,可得2作二-a3,于是q二］二-*［2分］又ai=|,所以等比數(shù)列｛an｝的通項公式為an=lX(-2)n-1=(-1)n-1^2；.［3分］由⑴知，Sn=1Sn+A1nn2+由⑴知，Sn=1Sn+A1nn2+2n(2n+1)2+12n(2n-1)n為奇數(shù)，n為偶數(shù).[6分]當n為奇數(shù)時，S+-1隨n的增大而減小，nSn所以―+右芻+右毛」8分］n1當n為偶數(shù)時，S+￡隨n的增大而減小，nSn所以Sn+Xb+Aif」10分］n2故對于n^N+,有S+-1<161.［12分］+nSn6

溫馨提醒（1）分類討論思想在等比數(shù)列中應用較多，常見的分類討論有已知Sn與°“的關系，要分n=1,n±2兩種情況.等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q=l,qMl討論.項數(shù)的奇、偶數(shù)討論.等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論.（2）數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項或最小項可以利用圖像或者數(shù)列的增減性求解，同時注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別.——■■思想方法感悟提高■■［方法與技巧］已知等比數(shù)列｛an｝⑴數(shù)列｛c?a｝（cMO）,｛lai｝,｛an｝,宀也是等比數(shù)列.nnnan(2)010“=陶打―i=???=aman_m+1.判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法a（1）定義法："O^=q（q是不等于0的常數(shù)，nWN+）O數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列；也可用埠=q（q是a+nann－1不等于0的常數(shù)，“WN+，“22）0數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.二者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)別只是n的初始值不同.⑵等比中項法：an+1=anan+2（anan+1%+2工0,“丘―）0數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列.［失誤與防范］1.特別注意q二1時,Sn二n。］這一特殊情況.?由a”］二qan,q/0，并不能立即斷言｛a」為等比數(shù)列，還要驗證a^O.?在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q二1與q/1分類討論，防止因忽略q二1這一特殊情形而導致解題失誤.?等比數(shù)列性質(zhì)中：Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，不能忽略條件q/-1.練出高分A組專項基礎訓練（時間：40分鐘）1.設1.設Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n項和,22或1D解析設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,當q二1時，不滿足g二3,故qHl,S廣晉宇由支二3得，-_—二1+q2二3,故q2二2,貝^各二-_—二-_8二3.1－q2S41－q41－432.等比數(shù)列｛an｝滿足a”>0,n^N十,且a3-a2n_3=22n（n三2）,則當n三1時，log2a-+log2a2＋log2a2n－1等于（）A.n（2n－1）B.（n＋1）2C.n2D.（n－1）2答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a?a=a2=22n，從而得a二2n.32n－3nn方法一10g2a-+10g2a2+…+10g2a2n-1二陀?"]%-/（勺％-2八5-1兔+E二呃2心--）=n(2n－1)．方法二取n二1,log2a]二log22二1，而(1+1)2二4,(1-1)2=0,排除B,D；取n=2,log2a1+log2a2+log2a3二log22+log24+log28二6,而22二+log2a2+3.在正項等比數(shù)列｛a”｝中，已知°1°2。3=4,a4^5^6~12,a”]a”a”+]=324,則n等于(A.12B.13D.15CD.15答案C解析設數(shù)列｛an啲公比為q,由a1a2a3二4二ajq3與a4a5a6二12二ajq12，可得q9-3,aaai二a3q3n-3-324,n－1nn+11因此q3n－6-81-34-q36，所以n-14，故選C.4?若正項數(shù)列｛an｝滿足％+1=1+仗/，且a2001+a2002+^+a2010=2016,則。2011+。2012+…+a2020的值為()AA.2O15?lOioB.2015?10iiC.2O16?1Oio答案CDC.2O16?1Oio答案CD.2016?1011解析an二10，二數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，a2001＋a20022010二2016,a十］Tlga「二1+lga,「.lgn＋1nan?皿2011十a(chǎn)2012十…十a(chǎn)2020二1010(%1十％2十…十°2010)二2016X101°?Sa5m＋1已知S是等比數(shù)列｛a｝的前n項和，若存在mWNj滿足＞=9,務二5^,則數(shù)列｛a｝TOC\o"1-5"\h\znn＋Smamm－1n的公比為()A.－2B.2C.－3D.3答案BS解析設公比為q,若q二1,則苧二2，m與題中條件矛盾，故q/1.a〔(1_q2m)^S2m二二qm十1二9,.°?qm—8.Sma〔(1_qm)1-q.a叩2“15m+1--rm——qm—8—ama1qm-1m-1.m—3，.q3—8，.q—2.等比數(shù)列｛an｝中，Sn表示前n項和，a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q為.答案3解析由a3—2S2+1，a4—2S3+1得a4-a3—2(S3-S2)—2a3，???a4—3a3，.q—芾3.7.等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，公比不為1?若°]=1,則對任意的nGN十，都有an+2+a“十】—2a=0，則S5=?n5答案11解析由題意知a3+a2-2a1=0,設公比為q,則ai(q2+q-2)=0.由q2+q-2二0解得q=-2或q=1(舍去)，二11.貝gS/(】-q5)二1-(-2)二11.1-q3a8.已知數(shù)列｛an｝的首項為1,數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列且化=方^若b10?b11=2,則a21=n答案1024解析vb1=a2=a2,b2二專，a1a2????a3二b2a2二b1b25，?a21?"4二久妙3，…，an二Sb少3—bn-?a21二b1b2%?…b20二(b10b11)10二210二口24.9.數(shù)列｛b｝滿足：b]=2b+2,b=a,—a，且a,=2,a=4.TOC\o"1-5"\h\z＋1＋112⑴求數(shù)列｛b”｝的通項公式；⑵求數(shù)列｛a“｝的前n項和S”.解⑴由b+1=2b+2,得b+1+2=2(b+2),+1+1b+1+2?二2,又b1+2=a2-a1+2=4,b+2121n?數(shù)列｛bn+2｝是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.…b+2二4?2”-1—2n+1,??b—2n+1-2.nn(2)由(1)知，a-a=b1=2n-2(n》2),nn－1n－1?a-a—2n-1-2(n>2),n－1n－2…，a?-a】二22-2,??a-2—(22+23+…+2n)-2(n-1),…a—(2+22+23+?…+2n)-2n+2n

2(2(2"-1)-2"+2—2n+1-2".2-1...S—g-n(2+n)—2n+2-("2+"+4)."1-22210.已知數(shù)列｛a”｝和｛b”｝滿足a1=A,a”十］=3a”+n—4,b”=(—1)"(a”一3n+21),其中久為實數(shù),"為正整數(shù)．證明：對任意實數(shù)久，數(shù)列｛an｝不是等比數(shù)列；證明：當獰一18時，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列.證明(1)假設存在一個實數(shù)久，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a2-a1a3，即g-3^2二久(彳久-4)4久4久09—0，矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列.(2)b"+1—(-1)"+1[an+1-3(n+1)+21]—(2—(2"+14*-1)n?(a”-3n+21)—-又A/-18，所以件—-(A+18)/0.b2由上式知bn/0，所以羅二-3("日+).故當A/-18時，數(shù)列｛b｝是以-(A+18)為首項，-3為公比的等比數(shù)列."3B組專項能力提升(時間：25分鐘)11.設｛an｝是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為az?az.十］的矩形的面積(i=1,2,…)，則｛A”｝為等比數(shù)列的充要條件是()｛an｝是等比數(shù)列a1，a3，…，a2n一］，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列a1，a3，…,a2n一］，…和a2，a4，…,a2n，…均是等比數(shù)列a1，a3，…,a2n_］,…和a2，a4，…,a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同答案D

解析vAi=aiai+1,若｛An｝為等比數(shù)列，則牛1=a”也亠節(jié)為常數(shù)點吟二手中二［，….Ananan＋1anA1a1A2a2?“，a3，a5，…，a2n_1,…和a2,a4,…,a2n,…成等比數(shù)列，且公比相等?反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設為q,貝吟乜二節(jié)二q，從而｛An｝為等比數(shù)列.nn12.若等比數(shù)列｛a”｝的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則\nal+lna24卜lna20=答案50解析因為a10a11+a9a12二2a10a11二2e5，所以a10a11二e5.所以lna1+lna2+…+lna20二lnQa?…a20)二二ln(a10a11)10二1Oln(a10a11)二101ne5二50.a13?數(shù)列｛a”｝滿足。1=2且對任意的m,nWN十，都有；m=a”，則°3=；｛a”｝的前”m項和S=.”答案82”41－2a+解析?十二a,a”m?a丄二a?a,”+m”m?a3二+2二a『a2二a『a『a1二23二8；令m二1,則有a+］二a?a,=2a,”+1”1”?數(shù)列｛a”｝是首項為a1=2,公比為q二2的等比數(shù)列，亠2^亠2^二2”+1”1－22.14.定義在(一a,0)U(O,+b)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列｛a”｝,｛/(a”)｝仍是等比數(shù)列，則稱fx)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(--,0)U(0，+-)上的如下函數(shù):fx)=X2：fx)=2x；f(x)=1x1；fx)=lnlxl.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的fx)的序號為.答案①③11-⑴”解析設｛an｝的公比為q,驗證二冷叼，故①③為“保等比數(shù)列函數(shù)”15.已知數(shù)列｛a”｝中，a]=l,a”?a”+]=記