浙教版九年級上數(shù)學(xué)單元檢測（一） （測試內(nèi)容：二次函數(shù)）（含解析）

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（測試內(nèi)容：二次函數(shù)）

學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題（每題3分，共30分，每題只有一個正確答案）

1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A．B．

C．D．

2．二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（）

A．(3,2)B．(-3,2)C．(3,-2)D．(-3,-2)

3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示：

x…－1013…

y…1343…

下列關(guān)于該二次函數(shù)的說法，錯誤的是()

A．當x＝4時，y＝1B．當x＜1時，y隨x的增大而增大

C．當x＝1時，y有最大值4D．當0＜x＜3時，y＞3

4．拋物線的對稱軸是，則b的值等于（）

A．6B．C．4D．

5．已知拋物線與x軸只有一個交點，則m的值是（）

A．2B．C．1D．

6．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，則關(guān)于x的方程的解為（）

A．，B．，C．，D．，

7．將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為（）

A．B．

C．D．

8．在平面直角坐標系中，拋物線，滿足，已知點，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（）

A．B．C．D．

9．設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)，則（）

A．當時，函數(shù)的最小值為B．當時，函數(shù)的最小值為

C．當時，函數(shù)的最小值為D．當時，函數(shù)的最小值為

10．如圖，在中，，點P為線段上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作于點M、作于點N，連接，線段的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點E的坐標為（）

A．B．C．D．

二、填空題（每題4分，共32分）

11．二次函數(shù)y=（a-1）x2-x+a2-1的圖象經(jīng)過原點，則a的值為．

12．二次函數(shù)的最大值是．

13．若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．

14．已知拋物線經(jīng)過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是．

15．拋物線與軸只有一個交點，則．

16．二次函數(shù)的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數(shù)的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為．

17．如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長是m．

18．如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DEAB，交AC于點E，EFBC，交AB于點F．設(shè)BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2，3），則AB的長為．

三、解答題（38分）

19．（6分）已知二次函數(shù)

(1)求開口方向、對稱軸及頂點坐標;

(2)當x為何值時，y隨x增大而減小，當x為何值時，y隨x增大而增大．

20．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐標系中畫出它的圖象，并寫出它的頂點坐標．

21．（6分）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．

(1)當時，比較m與n的大小，并說明理由；

(2)若對于，都有，求b的取值范圍．

22．（8分）如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點．

(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由

23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A的坐標為．

(1)寫出C點的坐標______，B點的坐標______；

(2)若二次函數(shù)經(jīng)過A，B，C三點，求該二次函數(shù)的解析式；

(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點P，使得最??？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．

24．（10分）初三年級某班成立了數(shù)學(xué)學(xué)習興趣小組，該數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行探究，過程如下，請你補充完整．

(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是______；

(2)①列表：下表是x，y的幾組對應(yīng)值，其中______，______；

x…012…

y…30m1n03…

②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點，請補充描出點，；

③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整．

(3)下列關(guān)于該函數(shù)的說法，錯誤的是（）

A．函數(shù)圖象是軸對稱圖形；

B．當時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；

C．函數(shù)值y都是非負數(shù)；

D．若函數(shù)圖象經(jīng)過點與，則

(4)點與在函數(shù)圖象上，且，則a與b的大小關(guān)系是______．

試卷第1頁，共3頁

試卷第1頁，共3頁

參考答案：

1．A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，逐一分析判斷即可得出正確選項．

【詳解】A、是二次函數(shù)，符合題意；

B、是一次函數(shù)，不合題意；

C、是反比例函數(shù)，不合題意；

D、不是二次函數(shù)，不合題意；

故選A．

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵．

2．A

【分析】由于二次函數(shù)y=a（x-b）2+c的頂點坐標為（b，c），由此即可求出拋物線的頂點坐標．

【詳解】∵二次函數(shù)y=2（x-3）2+2，

∴其圖象的頂點坐標為（3，2）．

故選A．

【點睛】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的頂點式求其頂點的坐標．

3．C

【分析】由表格圖可知，拋物線的對稱軸為直線x=，可判斷A、C選項，由表格圖特點可判斷選項B、D．

【詳解】解：A、由表格圖可知，拋物線的對稱軸為直線x==，所以當x＝4時，y＝1，故此選項正確，不符合題意；

B、由表格圖可知，當x＜1時，y隨x的增大而增大，故此選項正確，不符合題意；

C、因為拋物線的對稱軸為直線x=，所以當x＝1時，y不是最大值，故此選項錯誤，符合題意；

D、由表格圖可知，當0＜x＜3時，y＞3，故此選項正確，不符合題意，

故選：C．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定出對稱軸．

4．D

【分析】由對稱軸公式可得到關(guān)于的方程，可求得答案．

【詳解】解：，

拋物線對稱軸為，

，

故選D．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式是解題的關(guān)鍵，即的對稱軸為．

5．A

【分析】利用判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程即可．

【詳解】解：∵拋物線與x軸只有一個交點，

∴有兩個相等的實數(shù)根，

∴，

解得．

故選A．

【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．決定拋物線與軸的交點個數(shù)．

6．B

【分析】直接根據(jù)圖像求解即可．

【詳解】解：∵，

∴，

∴方程的解為拋物線與直線的兩個交點的橫坐標，

∵兩個交點坐標分別為，，

∴方程的解為，，故B正確．

故選：B．

【點睛】本題考查拋物線與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會利用圖象法解決實際問題，屬于中考?？碱}型．

7．A

【分析】先提取二次項系數(shù)1，再根據(jù)完全平方公式整理即可．

【詳解】解：，

故選：A．

【點睛】本題主要考查了把二次函數(shù)解析式化為頂點式，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．

8．C

【分析】利用解不等式組可得且，即可判斷二次函數(shù)的對稱軸位置，再利用函數(shù)的增減性判斷即可解題．

【詳解】解不等式組可得:，且

所以對稱軸的取值范圍在，

由對稱軸位置可知到對稱軸的距離最近的是，其次是，最遠的是，

即根據(jù)增減性可得，

故選C．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求不等組的解集，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9．A

【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當或時函數(shù)y的最小值即可求解．

【詳解】解：令，則，

解得：，，

∴拋物線對稱軸為直線

當時，拋物線對稱軸為直線，

把代入，得，

∵

∴當，時，y有最小值，最小值為．

故A正確，B錯誤；

當時，拋物線對稱軸為直線，

把代入，得，

∵

∴當，時，y有最小值，最小值為，

故C、D錯誤，

故選：A．

【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關(guān)鍵．

10．C

【分析】過點C作于D，連接，在中，，根據(jù)勾股定理逆定理得是直角三角形，即，則，可得，；根據(jù)得四邊形是矩形，則，當最小時，即最小，當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，即可得．

【詳解】解：如圖所示，過點C作于D，連接，

∵在中，，

∴，

∴是直角三角形，即，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴當最小時，即最小，

∴當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，

∴點E的坐標為，

故選：C．

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定與性質(zhì)，線段最短，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點，添加輔助線．

11．-1

【分析】將（0，0）代入y=（a-1）x2-x+a2-1即可得出a的值．

【詳解】解：∵二次函數(shù)y=（a-1）x2-x+a2-1的圖象經(jīng)過原點，

∴a2-1=0，

∴a=±1，

∵a-1≠0，

∴a≠1，

∴a的值為-1．

故答案為-1．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象過原點，可得出x=0時，y=0．

12．

【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可求解．

【詳解】解：利用配方法，將一般式化成頂點式：

二次函數(shù)開口向下，

頂點處取最大值，

即當時，最大值為．

故答案為：．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識．將一般式化為頂點式，頂點處取到最值．其中配方法是解決問題的關(guān)鍵，也是易錯點．

13．＜

【分析】首先由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，進而判斷ac與0的關(guān)系．

【詳解】解：∵拋物線的開口向下，

∴a＜0，

∵與y軸的交點在y軸的正半軸上，

∴c＞0，

∴ac＜0．

故答案為＜．

【點睛】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定．二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．

14．

【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據(jù)已知條件得出點在對稱軸的右側(cè)，且，進而得出不等式，解不等式即可求解．

【詳解】解：∵，

∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，

∵分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，

假設(shè)點在對稱軸的右側(cè)，則，解得，

∴

∴點在點的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點在對稱軸的右側(cè)，

∴

解得：

又∵，

∴

∴

解得：

∴，

故答案為：．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15．9

【分析】根據(jù)拋物線與軸只有一個交點，則判別式為0進行解答即可．

【詳解】解：∵拋物線與軸只有一個交點，

∴

解得c=9．

故答案為：9．

【點睛】本題考查二次函數(shù)與x軸交點問題，解題關(guān)鍵是理解拋物線與x軸有兩個交點，則判別式；拋物線與x軸有一個交點，則判別式；拋物線與x軸沒有交點，則判別式．

16．

【詳解】解：連接BC與AO交于點D，

∵四邊形OBAC為菱形

∴AO⊥BC，

∵∠OBA=120°

∴∠AOB=30°，

∵B的坐標為(1，)，

∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，

∴菱形的面積=×AO×BC=×2×2=2.

故答案為：

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

17．10

【分析】由圖可知，要求OA的長實際是需要點A的橫坐標，已知點A的縱坐標為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實際的一個x的值即可．

【詳解】將y=0代入；

整理得：

（x-10）（x+2）=0

解得：x=10或x=-2（舍去）

∴鉛球推出的水平距離OA的長是10m．

故答案為：10

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

18．

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當BD＝2時，BDEF的面積為3，則此時BF＝，AB＝2BF，即可解決問題．

【詳解】解：∵拋物線的頂點為（2，3），過點（0，0），

∴x＝4時，y＝0，

∴BC＝4，

作FH⊥BC于H，當BD＝2時，BDEF的面積為3，

∵3＝2FH，

∴FH＝，

∵∠ABC＝60°，

∴BF＝＝，

∵DEAB，

∴AB＝2BF＝，

故答案為：．

【點睛】本題主要考查了動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識，求出BC＝4是解題的關(guān)鍵．

19．(1)開口向下，對稱軸為：直線，頂點坐標為：；

(2)時，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大．

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可；

（2）根據(jù)對稱軸的開口方向朝下，在對稱軸的左側(cè)，y隨x增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x增大而增大減小進行解答即可．

【詳解】（1）解：，

∵，

∴拋物線的開口向下，

對稱軸為：直線，頂點坐標為：；

（2）解：∵拋物線的開口向下，

∴時，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

20．見解析，頂點坐標為．

【分析】先分別求出取時，的值，再利用描點法畫出函數(shù)的圖象即可，然后將二次函數(shù)的解析式化成頂點式，由此即可得出它的頂點坐標．

【詳解】解：對于二次函數(shù)，

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

先描點，再將這些點用光滑的曲線連接起來可得函數(shù)的圖象，如圖所示：

將二次函數(shù)化成頂點式為，

則它的頂點坐標為．

【點睛】本題考查了畫二次函數(shù)的圖象、求二次函數(shù)的頂點坐標，熟練掌握描點法是解題關(guān)鍵．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由題意可知拋物線解析式為，將代入，即可求出m和n的值，再比較即可；

（2）由函數(shù)解析式可得出其對稱軸為直線，且開口向上，從而得出在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．根據(jù)對于，都有，得出，當時，，即，從而可求出．由對于，都有，又可得出，兩邊平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．

【詳解】（1）解：．

理由：當時，拋物線解析式為，點，

將代入，

得：，，

∴；

（2）解：∵該函數(shù)解析式為，

∴其圖象開口向上，對稱軸為直線，

∴在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．

∵，

∴點B在點A右側(cè)．

∵對于，都有，

∴，

∴當時，，即，

解得：．

∵對于，都有，

∴，

兩邊平方，得：，

整理，得：，

∴．

綜上可知．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

22．(1)

(2)存在，；

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出拋物線的對稱軸，即可得出，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長．

【詳解】（1）將，，代入

得:,

解得:

所以拋物線的函數(shù)表達式：

（2）存在；∵拋物線的解析式為：，

∴拋物線的對稱軸，，

∴，

設(shè)直線的解析式為：，

∵，

∴解得，

∴直線的解析式為：，

把代入直線的解析式，得，

∴；

∴

∴

【點睛】本題考查二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式是解題的關(guān)鍵，利用對稱軸求出坐標是解（2）題的關(guān)鍵．

23．(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合點A的坐標、的長度，即可找出的值，進而即可得出點B、C的坐標；

（2）根據(jù)點A、B、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)拋物線的對稱性可得知：連接交對稱軸于點P，點P是所求的點．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可找出拋物線對稱軸為直線，根據(jù)點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．

【詳解】（1）解：∵繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點A的坐標