2022-2023學(xué)年山西省大同市渾源重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.命題“，”的否定為()

A.，B.，

C.，D.，

2.設(shè)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()

A.B.

C.D.

3.短道速滑隊(duì)組織名隊(duì)員含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊(duì)員在內(nèi)進(jìn)行冬奧會選拔，記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的結(jié)果為()

A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D.甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名

4.若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()

A.B.C.D.

6.平行六面體的棱長均為，則對角線的長為()

A.B.C.D.

7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于點(diǎn)，，分別在點(diǎn)，處作的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

8.的值等于()

A.B.C.D.

9.實(shí)驗(yàn)測得六組成對數(shù)據(jù)的值為，，，，，，由此可得與之間的回歸方程為，則可預(yù)測當(dāng)時(shí)，的值為()

A.B.C.D.

10.“”是“屬于函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知定義在上的函數(shù)對任意區(qū)間和，若存在開區(qū)間，使得，且對任意都成立，則稱為在上的一個(gè)“點(diǎn)”有以下兩個(gè)命題：

若是在區(qū)間上的最大值，則是在區(qū)間上的一個(gè)點(diǎn)；

若對任意，都是在區(qū)間上的一個(gè)點(diǎn)，則在上嚴(yán)格增．

那么()

A.是真命題，是假命題B.是假命題，是真命題

C.、都是真命題D.、都是假命題

12.若不等式在上有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為______．

14.數(shù)列中，，，則的前項(xiàng)的和為______．

15.某校高二班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有人用時(shí)為分鐘，有人用時(shí)分鐘，有人用時(shí)為分鐘，還有人用時(shí)為分鐘，則高二班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為______分鐘．

16.已知圓：，，是圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)且，則最大值是______．

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線恰好與直線垂直．

求函數(shù)的解析式；

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．

求，；

設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

19.本小題分

如圖，直四棱柱，底面是邊長為的菱形，，，點(diǎn)在平面上，且平面D.

求的長；

若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．

20.本小題分

已知．

求單調(diào)區(qū)間；

點(diǎn)為圖象上一點(diǎn)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線，若直線與軸交于點(diǎn)，求的最大值．

21.本小題分

．

求在上的最小值；

，且，，，求的取值范圍．

22.本小題分

已知拋物線：上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為．

求和；

若在拋物線上存在點(diǎn)，，使得，設(shè)的中點(diǎn)為，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根據(jù)全稱命題的否定可得，命題“，”的否定為：

“，”

故選：．

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題判斷即可．

本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：由的圖象可得，在軸的左側(cè)，圖象下降，遞減，

即有導(dǎo)數(shù)小于，可排除，；

再由軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，

函數(shù)遞減，再遞增，后遞減，

即有導(dǎo)數(shù)先小于，再大于，最后小于，

可排除；

則B正確．

故選：．

由的圖象可得在軸的左側(cè)，圖象下降，遞減，軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，即有軸左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于，右側(cè)導(dǎo)數(shù)先小于，再大于，最后小于，對照選項(xiàng)即可判斷．

本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，

是真命題，為真命題，說明丙為第三名，為假命題說明乙不為第二名，

若是真命題，是假命題，說明真假，說明甲為第一名．

故選：．

直接利用推理來進(jìn)行判定結(jié)論．

本題考查的知識要點(diǎn)：復(fù)合命題的判定的應(yīng)用，推理問題的應(yīng)用．

4.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，，

，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增，，

因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以?dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．

若，在上單調(diào)遞減，

，，得；

若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

故選：．

先求時(shí)函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值，得時(shí)，，求出的取值范圍．

本題主要考查函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：展開式的通項(xiàng)為

令得

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為：．

故選：．

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出，將的值代入通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)．

本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．

6.【答案】

【解析】解：平行六面體的棱長均為，

，

，

，

對角線的長為．

故選：．

由，能求出對角線的長．

本題考查對角線的長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

7.【答案】

【解析】解：由題意，且拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，，

則：，

：，

聯(lián)立二式解得，

所以

，

設(shè)：，與聯(lián)立得，

所以有，，，

，

，

所以，

由于，所以．

故選：．

設(shè)，，：，首先用，表示出，而后利用韋達(dá)定理用表示出并分析其大小范圍．

本題主要考查拋物線相關(guān)性質(zhì)，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：

．

故選：．

利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，

線性回歸方程為，則，解得，

故，當(dāng)時(shí)，．

故選：．

先求出樣本中心點(diǎn)，線性回歸方程恒過，代入即可求出，再令，代入求解即可．

本題主要考查線性回歸方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：由，得或．

函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為．

則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

而外層函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

由，不能得到；反之，由，能夠得到，

“”是“屬于函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間”的必要不充分條件．

故選：．

求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再由充分必要條件的判定得答案．

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查充分必要條件的判定，是中檔題．

11.【答案】

【解析】解：對于，設(shè)，滿足是在區(qū)間上的最大值，但不是在區(qū)間上的一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤；

對于，設(shè)，對于區(qū)間，令為有理數(shù)，滿足對任意都成立，

故為區(qū)間上的一個(gè)點(diǎn)，但在上不是嚴(yán)格增函數(shù)，錯(cuò)誤．

故選：．

舉出反例，得到錯(cuò)誤．

本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：由不等式在上有實(shí)數(shù)解，知不等式在上有實(shí)數(shù)解．

設(shè)，，則，

而，

令得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

，

，

即的取值范圍是．

故選：．

先分離參數(shù)得，因?yàn)椴坏仁皆谏嫌袑?shí)數(shù)解，所以，進(jìn)而求出即可．

本題主要考查了存在性問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，

設(shè)，則，

由雙曲線的定義可得：，可得，

，，又，

，的大小為．

故答案為：．

由已知雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，，的值，再由余弦定理求解．

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線定義及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．

14.【答案】

【解析】解：，

，

又，則，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，

，

的前項(xiàng)的和為．

故答案為：．

由題意變形得，可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，即可得出答案．

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋河腥擞脮r(shí)為分鐘，有人用時(shí)分鐘，有人用時(shí)為分鐘，還有人用時(shí)為分鐘；

所以：平均用時(shí)：，

故答案為：．

直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可．

本題主要考查平均數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題目．

16.【答案】

【解析】解：如圖示：

設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，

，

在中，，，

，

由勾股定理得：，

整理得，

故的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

故，

由圓的弦長公式可得：

，

故答案為：．

根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合圓的性質(zhì)及直角三角形中線的性質(zhì)，可得，即可求出的最大值．

本題考查了圓的性質(zhì)，考查圓的弦，弦心距，半徑的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．

17.【答案】解：過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線恰好與直線垂直，

，，

．

由題意得：，

解得或．

故的單調(diào)遞增區(qū)間為和．

即或，

故或．

【解析】將的坐標(biāo)代入的解析式，得到關(guān)于，的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為，列出關(guān)于，的另一個(gè)等式，解方程組，求出，的值，即可求函數(shù)的解析式；

求出，令，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知，，，列出端點(diǎn)的大小，求出的范圍．

注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為．

18.【答案】解：，，

當(dāng)時(shí)，，

由得，

即，

又，

，

是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

，

代入得；

證明：由得，則，

，

，

，即．

【解析】由題意得，，作差變形得，可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即可得出答案；

由得，則，利用裂項(xiàng)法求和，即可證明結(jié)論．

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，

則有，即，

令，則，，

故，

又，

所以；

由可知，平面的法向量為，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)椋?/p>

則有，即，

令，則，

故，

所以，

故BE與平面所成角的正弦值為．

【解析】本題考查了點(diǎn)到面距離的求解以及線面角的求解，在求解空間角的時(shí)候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．

建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，然后求解即可；

求出平面的法向量，進(jìn)行求解即可．

20.【答案】解：由題意得定義域?yàn)椋?/p>

，由得，

列表如圖：

單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增

故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為和；

由題意得，故直線方程為，

將點(diǎn)代入直線方程得，整理得，

令，即求的最大值．

，由得，

由得，在上單調(diào)遞增；

由得，在單調(diào)遞減，

故在處取得最大值，．

故的最大值為．

【解析】求出的定義域和導(dǎo)函數(shù)的根，列表判斷，即可得出答案；

先求出切線的方程和，再構(gòu)造函數(shù)求最大值，即可得出答案．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：，

在上單調(diào)遞增，又，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，

故；

當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

故；

當(dāng)時(shí)，在單增，

故

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

由知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

故問題轉(zhuǎn)化為對，都有，

令，則，

，

令，，

令，

則，

故在單調(diào)遞增，，

即，從而在單調(diào)遞增，

故，

則，，

從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的最小值；

問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的恒成立問題，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

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