2017全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

2017全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試-理科數(shù)學(xué)(Ⅰ)注意事項(xiàng)：1.考生答題前，務(wù)必在答題卡上填寫(xiě)自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1}，則A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=Φ2.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A.B.C.D.3.設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2∈R，則z1=-z2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則-z∈R。其中的真命題為A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p44.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。若a4+a5=24，S4=8，則{an}的公差為A.1B.2C.4D.85.函數(shù)f(x)在(-∞,∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)。若f(1)=-1，則滿(mǎn)足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為A.15B.20C.30D.357.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A.10B.12C.14D.168.右面程序框圖是為了求出滿(mǎn)足3n-2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在分別填入A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+29.已知曲線(xiàn)C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+3π/2)，則正確的選項(xiàng)是：A.將C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將得到的曲線(xiàn)向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2。B.將C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將得到的曲線(xiàn)向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2。C.將C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1/3，縱坐標(biāo)不變，再將得到的曲線(xiàn)向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2。D.將C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1/3，縱坐標(biāo)不變，再將得到的曲線(xiàn)向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2。10.已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為：B.1411.設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則：C.3y<5z<2x12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是2，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2，1，再接下來(lái)的三項(xiàng)是2，6，2，依此類(lèi)推。求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是：A.44013.已知向量a、b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=______。314.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件2x+y≥-1，x-y≥x2y2，則z=3x-2y的最小值為_(kāi)_____。15.已知雙曲線(xiàn)C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為B、C。若AB=2BC，則a:b=______。C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)。已知∠MAN＝60°，求C的離心率。圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積的最大值為多少？（單位：cm3）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)考生都必須回答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求回答。(一)必考題：60分。17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且△ABC的面積為a2/3。(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)。18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值。19．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）。根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)。(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ–3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。(ⅰ)說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；(ⅱ)給出檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸數(shù)據(jù)，求樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程是否出現(xiàn)了異常情況。四、18.(1)設(shè)第i個(gè)零件的尺寸為xi，則樣本平均數(shù)為x?=(x1+x2+...+x16)/16=1.25，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=sqrt(((x1-x?)^2+(x2-x?)^2+...+(x16-x?)^2)/15)=0.05。根據(jù)題意，需要判斷是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可以利用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行判斷。根據(jù)中心極限定理，樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布近似于正態(tài)分布，因此可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷。設(shè)隨機(jī)變量Z=(x?-μ)/(s/sqrt(16))，則Z的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。根據(jù)題意，需要判斷P(|Z|>3)=P(Z<-3)+P(Z>3)<0.01，即P(Z<-3)或P(Z>3)<0.005。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知，P(Z<-3)≈0.0013，P(Z>3)≈0.0013，因此P(|Z|>3)≈0.0026>0.01，不需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。(2)根據(jù)題意，需要剔除σμ-3σ和σμ+3σ之外的數(shù)據(jù)，即剔除x?-3s和x?+3s之外的數(shù)據(jù)。根據(jù)樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義，有x?-3s=1.25-3×0.05=1.10，x?+3s=1.25+3×0.05=1.40。剔除數(shù)據(jù)后，剩下的數(shù)據(jù)可以用來(lái)估計(jì)μ和σ。設(shè)剩下的數(shù)據(jù)為x1,x2,...,xn，則n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?=(x1+x2+...+xn)/n，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=sqrt(((x1-x?)^2+(x2-x?)^2+...+(xn-x?)^2)/(n-1))。根據(jù)題意，需要估計(jì)μ和σ，精確到0.01。根據(jù)樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，有μ≈x?，σ≈s。將剩下的數(shù)據(jù)代入公式，可得x?=1.24，s=0.04，因此μ≈1.24，σ≈0.04，精確到0.01為1.24和0.04。19.(1)根據(jù)題意，需要求解方程x^2+y^2=1，其中a>b>0，且在橢圓C上恰有三點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P4(1,-1)。由于橢圓C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此還存在一點(diǎn)P3(-1,-1)，且P3在橢圓C上。因此，橢圓C的中心點(diǎn)為(0,0)。設(shè)橢圓C的方程為(x/a)^2+(y/b)^2=1，代入P1、P2、P4的坐標(biāo)可得3個(gè)方程：(1/a)^2+(1/b)^2=1(0/a)^2+(1/b)^2=1(1/a)^2+(-1/b)^2=1將第3個(gè)方程化簡(jiǎn)可得(1/a)^2+(1/b)^2=1，與第1個(gè)方程相同，因此只需解第1個(gè)和第2個(gè)方程即可。將第1個(gè)方程乘以b^2，第2個(gè)方程乘以a^2，兩個(gè)方程相加可得a^2+b^2=1，將b^2=1-a^2代入第1個(gè)方程可得(1/a)^2+(1/(1-a^2))=1，化簡(jiǎn)可得a^4-2a^2+1=0，解得a^2=1±sqrt(2)/2，因?yàn)閍>b>0，所以a=sqrt(2)/2，b=1。因此，橢圓C的方程為(x/sqrt(2))^2+y^2=1。(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b，代入橢圓C的方程可得(x/sqrt(2))^2+(kx+b)^2=1，化簡(jiǎn)可得(k^2+1/2)x^2+2kbx+(b^2-1)=0。由于直線(xiàn)l與橢圓C有交點(diǎn)，因此上述二次方程有實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)解的判別式大于等于0，即(2kb)^2-4(k^2+1/2)(b^2-1)≥0，化簡(jiǎn)可得k^2+b^2≤9/8。又因?yàn)橹本€(xiàn)P2A和P2B的斜率之和為-1，因此P2A和P2B的斜率分別為k1和k2，滿(mǎn)足k1+k2=-1。根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可得k1=(sinθ-cosθ)/(3cosθ-sinθ)，k2=(sinθ+cosθ)/(3cosθ+sinθ)，其中θ為直線(xiàn)l與x軸的夾角。代入k1+k2=-1可得sinθ=-2/5cosθ，代入k1和k2的式子可得k1=-1/2，k2=-3/2。因此，直線(xiàn)l的斜率為k=-1/2或k=-3/2。當(dāng)k=-1/2時(shí)，由k^2+b^2≤9/8可得b^2≤5/8，因此直線(xiàn)l位于以點(diǎn)(0,1/2)為圓心，以sqrt(5/8)為半徑的圓內(nèi)。當(dāng)k=-3/2時(shí)，由k^2+b^2≤9/8可得b^2≤1/8，因此直線(xiàn)l位于以點(diǎn)(0,sqrt(1/8))為圓心，以1/2為半徑的圓內(nèi)。綜上所述，直線(xiàn)l必過(guò)兩個(gè)固定點(diǎn)，分別為以點(diǎn)(0,1/2)為圓心，以sqrt(5/8)為半徑的圓上的一點(diǎn)和以點(diǎn)(0,sqrt(1/8))為圓心，以1/2為半徑的圓上的一點(diǎn)，因此直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)。剔除下面文章的格式錯(cuò)誤，刪除明顯有問(wèn)題的段落,然后再小幅度的改寫(xiě)每段話(huà)。根據(jù)三角函數(shù)的和差公式，可以得到cos(B+C)的值為cosBcosC-sinBsinC。將B=π/6，C=π/3代入公式中，可以得到cos(B+C)=-1/2，從而cosA=1/2。由于A的取值范圍為π/3<A<π，因此A=π/2。又因?yàn)閍=3，所以2R=a/sinA=3/sin(π/3)=3*2/√3=2√3。根據(jù)正弦定理，可以得到sinBsinC=bc/4R^2=2/3，從而可以得到bc=8。根據(jù)余弦定理，可以得到a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入已知數(shù)據(jù)可以得到(b+c)^2=33，從而b+c=√33。因此，△ABC的周長(zhǎng)為3+√33。解1：根據(jù)題意可以得到AB⊥PA，CD⊥PD，由于AB∥CD，因此可以得到AB⊥平面PAB。因此，平面PAB⊥平面PAD。解2：設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z)，則有m·(0,2,0)=0，即2y=0，因此y=0。又因?yàn)閙·(2,0,0)=0，即2x=0，因此x=0。因此，m=(0,0,1)。設(shè)平面PBC的法向量為n=(x1,y1,z1)，則有n·(0,0,2)=0，即2z1=0，因此z1=0。又因?yàn)閚·(2,2,0)=0，即2x1+2y1=0，因此y1=-x1。因此，n=(x1,-x1,0)。設(shè)二面角A-PB-C的大小為θ，則有m·n/|m||n|=cosθ。由于二面角A-PB-C為鈍角，因此cosθ的值應(yīng)為負(fù)數(shù)。(1)記正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸為隨機(jī)變量Z，則Z服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)。因此，P(x≥1)=1-P(x<1)=1-P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=1-0.9974=0.0026。根據(jù)題意可得，X服從二項(xiàng)分布B(16,0.0026)。(1)根據(jù)公式E(X)=μ，其中μ為正態(tài)分布的均值，代入數(shù)據(jù)得E(X)=16×0.0026=0.0416。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，因?yàn)檎龖B(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之間，而在此區(qū)間之外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。(2)(i)根據(jù)條件可得μx=9.97，σ=0.212，代入公式得μσ=9.334，μ+3σ=10.606，因此零件尺寸的取值范圍為(9.334，10.606)。由于數(shù)據(jù)9.22小于9.334，因此需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，剔除數(shù)據(jù)9.22后重新計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，得到μ=10.02，σ=0.09，因此σ的估計(jì)值為0.009。(ii)對(duì)于橢圓C，根據(jù)題目中給出的四個(gè)點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3(-1,-1)，P4(3/2,0)，我們可以發(fā)現(xiàn)P1(1,1)一定不在橢圓C上，因?yàn)镻1(1,1)和P4(3/2,0)都在直線(xiàn)y=x-1上，而橢圓C與這條直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)。另外，由P2(0,1)在橢圓C上得b=1，由P4(3/2,0)在橢圓C上得a=2，因此橢圓C的方程為x^2/4+y^2=1。對(duì)于直線(xiàn)l，設(shè)其方程為y=kx+m(m≠1)，與橢圓C聯(lián)立得(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0，解得x1·x2=1+4k^2。設(shè)A(x1,y1)為直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的性質(zhì)，有y1=kx1+m，代入橢圓C的方程得x1^2/4+(kx1+m)^2=1，解得x1=4/(4k^2+1)，代入y1=kx1+m得y1=4k/(4k^2+1)+m。同理，設(shè)B(x2,y2)為直線(xiàn)l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，有x2=4/(4k^2+1)，y2=4k/(4k^2+1)+m。因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以x1≠x2，因此x1·x2=1+4k^2不成立，即直線(xiàn)l不與橢圓C相交。(1)對(duì)于第一題，根據(jù)已知條件可以得到直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2)-1，過(guò)定點(diǎn)(2,-1)。當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(s,t)，B(s,-t)，由斜率之和為-1得到t-1/s+(-t-1)/s=-1，解得s=2，此時(shí)l的方程為x=2，也過(guò)定點(diǎn)(2,-1)。另外，需要注意刪除明顯有問(wèn)題的段落。(2)對(duì)于第二題，首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(a*exp(x)-1)(2*exp(x)+1)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性討論f(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)的情況。當(dāng)a<=0時(shí)，f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，