空間向量基本定理習(xí)題(含答案)

空間向量基本定理習(xí)題(含答案)中點(diǎn)，P為????的中點(diǎn)，Q為BN的中點(diǎn)，且????=????，若????=2，????=3，????=4，則PN的長(zhǎng)度為()A.1B.2C.3D.41.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，N為BB1的靠近M的三等分點(diǎn)，則與MN向量相等的向量是2a+b+3c。2.已知M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量OA，OB，OC，OP分別為a，b，c，x，則x=3a+3b+3c。3.在空間四邊形OABC中，OA=a，OC=c，OM=2MA，BN=NC，則MN=2a+2b+2c。4.在平行六面體A1B1C1D1-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且∠A1AB=∠A1AD=60°，A1A=3，則C1B的長(zhǎng)為√14。5.在正四面體ABCD中，DE和BF所成角的余弦值為1/3。6.在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)度為3，且AM和AB，AD的夾角都是60°，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)a=AB，b=AD，c=AM，則BN的長(zhǎng)度為√7。7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C的中點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，Q為BN的中點(diǎn)，且PM=NQ，則PN的長(zhǎng)度為3。1.解：根據(jù)向量加減法和數(shù)乘的定義，有：$\vec{OP}=\vec{NO}+\vec{OM}+\vec{ON}$$=\vec{NO}+\vec{OM}-\vec{NO}$$=\vec{OM}$因此，$\vec{OP}$的坐標(biāo)為$(3,3,3)$。2.解：根據(jù)向量加減法和數(shù)量積的定義，有：$\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}$$=(2\vec{MA}+\vec{OB})-(\vec{OA}+\vec{OM})$$=2\vec{MA}+\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OM}$因此，$\vec{MN}$的坐標(biāo)為$(6,3,-3)$。3.解：根據(jù)向量加減法和數(shù)量積的定義，有：$MN^2=|\vec{MN}|^2=(\vec{OB}-\vec{OA})^2$$=(\vec{OB}-\vec{OM}+\vec{OM}-\vec{OA})^2$$=(\vec{OB}-\vec{OM})^2+2(\vec{OB}-\vec{OM})\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})+(\vec{OM}-\vec{OA})^2$$=1+2\times1\times\cos60^\circ+1$$=5$因此，$MN=\sqrt{5}$。4.解：根據(jù)向量加減法和數(shù)量積的定義，有：$|\vec{AC}|=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD}+\vec{DA})^2}$$=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD}-\vec{AA})^2}$$=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD})^2-2(\vec{AB}+\vec{BD})\cdot\vec{AA}+|\vec{AA}|^2}$$=\sqrt{2-2\cos60^\circ+1}$$=\sqrt{5}$5.解：設(shè)$\vec{DA}=\vec{a},\vec{DC}=\vec{c}$，則有：$\vec{ab}\cdot\vec{bc}=\vec{ab}\cdot(\vec{ba}+\vec{ac})=\vec{ab}\cdot\vec{ba}+\vec{ab}\cdot\vec{ac}$$=\cos60^\circ+\vec{a}\cdot\vec{c}$$\vec{ab}\cdot\vec{ab}=\vec{ba}\cdot\vec{ba}=1$$\vec{bc}\cdot\vec{bc}=\vec{ba}\cdot\vec{ba}+\vec{ac}\cdot\vec{ac}+2\vec{ba}\cdot\vec{ac}$$=1+1-2\cos60^\circ=3$因此，$\cos\angleabc=\frac{\vec{ab}\cdot\vec{bc}}{|\vec{ab}|\cdot|\vec{bc}|}=\frac{\cos60^\circ+\vec{a}\cdot\vec{c}}{\sqrt{3}}=\frac{1+\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{5}{4\sqrt{3}}$。首先，這篇文章存在嚴(yán)重的格式錯(cuò)誤和不完整的句子，需要進(jìn)行修正和補(bǔ)充。同時(shí)，文章內(nèi)容涉及向量和幾何知識(shí)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)母膶?，以便更好地理解。修正后的文章如下：題目：已知三角形ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)F，BE與CF交于點(diǎn)M，求BM的長(zhǎng)度。解：首先，根據(jù)題目中給出的條件，可以得到向量公式：$\vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}$$\vec{CE}=\vec{CA}-\vec{AE}=\vec{AB}-\vec{AE}=\vec{AB}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}\vec{AB}$因此，$\vec{AD}=\vec{CE}$，即AD和CE平行。又因?yàn)镈E與AB交于點(diǎn)F，BE與CF交于點(diǎn)M，所以可以得到向量公式：$\vec{FM}=\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}$$\vec{FM}=\vec{FC}+\vec{CE}+\vec{EM}$將上述兩個(gè)公式聯(lián)立，可以得到：$\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{FC}+\vec{CE}+\vec{EM}$化簡(jiǎn)后得到：$\vec{BM}=\vec{EM}+\vec{FC}-\vec{FA}$又因?yàn)锳B=AC，所以$\vec{FA}=-\vec{EA}$。因此，可以將上述公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：$\vec{BM}=\vec{EM}+\vec{FC}+\vec{EA}$根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，可以得到：$\frac{BM}{EA}=\frac{FM}{FA}$因此，只需要求出$\vec{FM}$和$\vec{FA}$的模長(zhǎng)即可求出BM的長(zhǎng)度。根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，可以得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{|\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}|^2}$$|\vec{FA}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AF}|^2}$將上述公式代入，可以得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AB}+\vec{EM}+\vec{FC}|^2}$$|\vec{FA}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AB}|^2}$將向量代入，化簡(jiǎn)后得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{17}$$|\vec{FA}|=3$因此，根據(jù)上述公式，可以得到：$BM=\frac{|\vec{FM}|}{|\vec{FA}|}\cdotEA=\sqrt{17}$因此，BM的長(zhǎng)度為$\sqrt{17}$。2+2×1×1×2=5，因此|???+???+???|=√5，即向量???+???+???的模長(zhǎng)為√5。對(duì)于三角形??????，設(shè)????為中線，則|????|=|???+??+???|=|????|/2=33/2。同時(shí)，由向量幾何的知識(shí)可知，????=1/2(????+????)，因此????+????=33。對(duì)于四邊形????????，設(shè)??為對(duì)角線????的中點(diǎn)，則?????????+??????????+4????????????????=??????????????+?????????，即向量?????????+??????????+4(?????)的模長(zhǎng)為向量????????????+?????????的模長(zhǎng)。根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義，將向量拆分為坐標(biāo)形式，即可計(jì)算出向量的模長(zhǎng)。對(duì)于三角形??????，設(shè)??為中線????上的中點(diǎn)，則|?????|=1/2|????|，|?????|=1/2|????|。根據(jù)余弦定理，可得向量?????和?????的模長(zhǎng)，從而得到向量??????????+2(?????)的模長(zhǎng)。同時(shí)，向量?????和?????的夾角均為60°，因此?????·?????=1/2|????||????|=1/2×√3，代入向量積的公式，即可計(jì)算出向量???????的模長(zhǎng)。對(duì)于四邊形????????，設(shè)??為對(duì)角線????的交點(diǎn)，則向量?????=1/2(?????+?????)。根據(jù)向量的加法和減法，可得向量?????=?????+?????+1/3(??????3?????)。同時(shí)，由于????=2，?????=1，???=(?1,0)，因此可以計(jì)算出向量?????????和向量?????????????的模長(zhǎng)，從而得到向量?????的模長(zhǎng)。這篇文章是一道數(shù)學(xué)題的解答。題目中有一大串公式，但是其中有些格式錯(cuò)誤需要修正。此外，也有一些段落明顯有問(wèn)題需要?jiǎng)h除。修正后的文章如下：題目描述：已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，且$|\overrightarrow|+|\overrightarrow{c}|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow\cdot\overrightarrow{c}=4-2\cos60^{\circ}+1\times10^9$。求$|\overrightarrow{BM}|$。解答：設(shè)$\overrightarrow{BM}$與$\overrightarrow{AP}$所成的角為$\theta$，則$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{BM}\cdot\overrightar