數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的中地運(yùn)用

“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用一、以數(shù)助形“數(shù)(代數(shù))”與“形(幾何)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的．體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面．“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”．全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個(gè)方面來體會(huì)．此外還應(yīng)該注意體會(huì)“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢(shì)與局限性，相互補(bǔ)充．“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位．要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：(1)利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化(在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化)；(2)利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等．例1．已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)A(x，y)和B(x，y)之間的距離可以用公式1122AB7l-X2)2+(yi-y2)2計(jì)算.利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線y€2x+10的距離?解：設(shè)P(x,2x,10)是直線y€2x,10上的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離是OP€、?■'(x-0)2+(2x+10-0)2€J5(x+4)2+20當(dāng)x€-4時(shí)，OP€2^5.最小所以原點(diǎn)到直線y€2x,10的距離為2拓.【說明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問題，有時(shí)可以避免添加輔助線(這是平面幾何的一大難點(diǎn)).在高中“解析幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問題代數(shù)化.例.已知AABC的三邊長分別為m2-n2、2mn和m2,n2(、為正整數(shù)，且m?n).求AABC的面積(用含、的代數(shù)式表示).【分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計(jì)算，但運(yùn)用“海倫公式”一般計(jì)算比較繁，能避免最好不用.本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形有沒有特殊之處.代數(shù)運(yùn)算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：(m2+n2)2-(m2-n2)2=(2m2)(22=)仙也就是說，AABC的三邊滿足勾股定理，即AABC是一個(gè)直角三角形.“海倫公式”三角形三邊長為、、，為周長的一半，則三角形的面積為：S=、：'p(p-a)(p-b)(p-c).解：由三邊的關(guān)系：(m2-n2)2+(2mn)2二(m2+n2)2.所以AABC是直角三角形.1所以AABC的面積二—…(m2一n2)(2mn)二mn(m2一n2).2【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手法.另外，熟練的代數(shù)運(yùn)算在這道題中起到了比較重要的作用.代數(shù)運(yùn)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)基本功，就像武俠小說中所說的“內(nèi)功”，沒有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例.直線y€bx+c與拋物線y€ax2相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x、x,直線y=bx+c與12111軸的父點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x.求證：一=一+ -?3xxx312【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問題，只是由于、、的符號(hào)不確定，導(dǎo)致拋物線和直線在坐標(biāo)系中位置不確定，考慮問題需要進(jìn)行分類討論，比較麻煩.如果將問題代數(shù)化，看成有關(guān)方程的問題，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，就省去了分類的麻煩.解：???直線y€bx+c與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,3bx+c二0.3c?x€— .3b1b——x3cJ直線y€bx+c與拋物線y€ax2兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為￡、，???x、x為關(guān)于的一元二次方程ax2，bx，c€0的兩個(gè)不等實(shí)根.12cxx€，—12ab1 1x+x—+——€ 2xxxx1212111 € + xxx312字并沒有揭示這類方法的所有本質(zhì).“面積”是剪拼問題中的一個(gè)“不變量”，幾乎所有的剪拼問題，都可以先抓住“面積”這個(gè)不變量來進(jìn)行“數(shù)”的計(jì)算.另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來刻畫“圖形”的大小特征的一個(gè)概念. 因此，所謂“面積法”，實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn).

二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅．幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：（1） 利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等．（2） 利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運(yùn)算．比如：絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；a€b互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上關(guān)于-^一對(duì)稱，換句話說,數(shù)軸上實(shí)數(shù)a關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)為2b-a）；利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)；函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)（函數(shù)在x,0時(shí)有意義）；銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例．例.已知正實(shí)數(shù)x，求y，Jx2€4+J（2—x）2€1的最小值.分析：可以把Px2€4€\：'(2一x)2€1整理為\：'(x一0)2€(0—2)2+(x—2)2€(0—1)2,即看作是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)（x,0）到兩點(diǎn)（，）和（，）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題.解：y=J（x—O）2€（0—2）2€x—2）2€（0—1）2,令P（x,0）、（,）和（，）,則y，PA+PB.作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)B'（2,-1）,貝y 的最小值為tan?，-3tan?，-3求證：a+卩，45….已知tana，一2【分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角a、?（如圖），怎樣構(gòu)造這兩個(gè)角的和是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.將圖（）中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖（）的圖形，角a+?也就構(gòu)成了.證明：如圖（）,連接BC,易證：AABD今ACBE,從而AABC是等腰直角三角形，于是:€+卩二45?.例.求函數(shù)y-例.求函數(shù)y-x+1|+x一2+x一3的最小值.【分析】如圖，設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)一、、、的點(diǎn)分別為A、、(為動(dòng)點(diǎn))，則表示到、B三點(diǎn)之間的距離之和，即y二PA，PB，PC.A pBC-2 -1 Ox1 2 3 4容易看出：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，PA，PB，PC最小，所以y=AB，BC=4.最小例.若關(guān)于的方程x2+2kx+3k-0的兩根都在一和之間，求的取值范圍.【分析】令f(x)二x2+2kx+3k，其圖象與軸的橫坐標(biāo)就是方程f(x)二0的解.由y二f(x)的圖象可知，要使兩根都在－、和、之間，只須：bf(-1)>0，f(3)>0，f(-—)二f(-k)<0同時(shí)成立,2a由此即可解得-1<k<0或k>3.其中，f(-1)表示x二—1時(shí)的函數(shù)值.解：令f(x)二x2+2kx+3k，由題意及二次函數(shù)的圖象可知:了(-1)>0 [(-1)2+2k(-1)+3k>0<f⑶>0 即J32+2k-3+3k>0f(-f(-k)<0(-k)2+2k(-k)+3k<0解得：-1<k<0或k>3.【說明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數(shù)有密切的關(guān)系，有關(guān)二次方程、二次不等式中較繁難的問題運(yùn)用二次函數(shù)的圖象來解決常常會(huì)起到意想不到的效果.例.若a€0，且b€a+c,求證：方程ax2+bx+c，0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.【分析】首先可以想到的思路當(dāng)然是證明A，b2?4ac€0，但這并不容易.注意到二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，把“二次方程有兩個(gè)相異的實(shí)根”這個(gè)代數(shù)命題“翻譯”成幾何命題就是“二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)”考慮到此時(shí)a€0,拋物線開口向上，這個(gè)幾何命題可以進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化成“二次函數(shù)的圖象有一部分位于軸的下方，再把它翻譯成代數(shù)命題就是“二次函數(shù)至少在某一點(diǎn)上的函數(shù)值小于”證明：考查函數(shù)y，ax2+bx+c，a€0，???此拋物線開口向上.又Vb€a+c，即a一b+c…0，.?.當(dāng)x，?1時(shí)，二次函數(shù)的值f(一1)…0.故拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不等實(shí)根.例.已知：對(duì)于滿足0<p<4的所有實(shí)數(shù)，不等式x2+px€4x+p-3恒成立，求的取值范圍.【分析】不等式x2+px€4x+p—3可以變形為x2—4x+3€—p(x—1).考查二次函數(shù)y，x2—4x+3，(x—2)2—1和一次函數(shù)y，—p(x—1).12原不等式的幾何意義是“二次函數(shù)y的圖象在一次函數(shù)y的圖象的上方”原題條件的幾何意義12是“無論實(shí)數(shù)取0<p<4之內(nèi)的什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y的圖象總是在一次函數(shù)y的圖象的上方”12把原題所求的問題重新表述一下，就是：當(dāng)取那些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“無論實(shí)數(shù)取0<p<4些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“二次函數(shù)y的圖象總是在圖中的陰影區(qū)域的上方”觀察圖象，我們不難得到1x€-1或x,3，所以原問題的結(jié)論就是：的取值范圍是X€-1或x,3.【說明】本題一開始為什么要對(duì)不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路后認(rèn)真思考一下這個(gè)問題，習(xí)慣對(duì)這類問題的反思在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要.利用函數(shù)圖象解決不等式問題是一種比較常見的數(shù)形結(jié)合的方法，這種方法的要點(diǎn)是把不等式變形成兩個(gè)可以畫出圖象的函數(shù)（值）比較.初三數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（1）1．已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)A（x，y）和B（x，y）之間的距離可以用公式1122AB二：'（x—x）2+（y—y）2計(jì)算.利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線y=2x,10的距離.12122已知AABC的三邊長分別為m2-n2、2mn和m2,n（、為正整數(shù)，且m?n）.求AABC的面積（用含、的代數(shù)式表示）.-直線y€bX+C與拋物線y€此相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為JX2，直線y€bX+C與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3?求證:11xxx312．將如圖的五個(gè)邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形．.已知正實(shí)數(shù)X,求y€X2+4+J(2-x)2+1的最小值.1已知1已知tana=一21tan?€3，求證：a+?€.求函數(shù)y=x+1|+x一2+x一3的最小值.?若關(guān)于的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在一和之間，求的取值范圍..若a>0，且b>a+c，求證：方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.

初三數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（2）i設(shè)k€b=0，則直線y二kx€b與拋物線y二kx2+bx的位置關(guān)系是（ ）.有兩個(gè)不重合的交點(diǎn) .有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C沒有公共點(diǎn) .無法確定2在下列長度的四組線段中，不能組成直角三角形的是（ ）?.、、3Q .爲(wèi)+1、羽-1、2返C．8、1、517 ．3.、54.、55.5D、．文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊10米0處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了－60米，此時(shí)小明的位置在（）．TOC\o"1-5"\h\z.．玩具店 ．文具店 B.文具店西邊米 .玩具店東邊一米4已知實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次在原點(diǎn)的右邊和左邊，那么（ ）..ab<b .ab?b .a€b?0 .a一b?05函數(shù)y-x一3+x+5的最小值為（ ）..已知函數(shù)y=X和y=Jx€2的圖象如圖所示，則不等式+2?x的解集為（ ）.x<27如圖所示，在AABC7如圖所示，在AABC中，ZC二90。貝yDC= ，sinB= .8在數(shù)軸上數(shù)和的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為