組合典型例題解析可編輯

組合典型例題解析----------------------------------2……………最新資料推薦…………………組合典型例題解析【例1】判斷下列各事件是排列問題，還是組合問題，并求出相應的排列數(shù)或組合數(shù).（3）10支球隊以單循環(huán)進行比賽（每兩隊比賽一次），這次比賽需要進行多少場解1）是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為A2=（2）是組合問題，因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有順序（3）是組合問題，因為每兩個隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別.（4）是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣（6）是排列問題.因為三個人中，擔任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為A3點評：排列、組合是不同的兩個事件，區(qū)分的辦法是首先弄清楚事件是什么？區(qū)分的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果解出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.數(shù).3……………最新資料推薦…………………解：考慮畫出如下樹形圖，按給出字母從左到右的順序來考慮.abcde5點評：排列的樹形圖與組合的樹形圖是有區(qū)別的.排列的樹形圖中其元素不能重復出現(xiàn)但可任意排列，而組合的樹形圖中其元素也不能重復出現(xiàn)，但元素出現(xiàn)的次序必須按照從左到右的順序（如元素b后面不能出現(xiàn)a，元素會出現(xiàn)重復或遺漏.—-—=──,求Cn的值.nnn8解：由組合數(shù)公式可得一=.一=.點評：本題先求n值，再求組合數(shù)化簡時常用公式Cm=，計算時常用AmnAmm4……………最新資料推薦…………………點評：注意題中對公式Cm+Cm1=Cm及Am=Cm·Am的應用.若逆用公式-C34n2n5……………最新資料推薦…………………1，2，…依次代入驗證求解.但在解這類方程時，必須注意檢驗，不僅要注意0≤m≤n，n>0，m，n∈Z，而且要注意組合數(shù)性質Cm=Cn-m的運用，以防止失根.lnn∈Z.nn3nx-1得n點評：本題也可利用組合數(shù)公式的變形式，將Cx+1，Cx-1都用Cxn來表示，即 n代入組合數(shù)公式，展開成階乘形式直接求解，是解方程的基本方法，讀者要好好掌握.而利用組合數(shù)的變形式，直接消去相同的非零公因式，則可以避免不必要的煩瑣計算，可使計算簡化，同時體現(xiàn)了數(shù)學中整體消元的思想方法.6……………最新資料推薦…………………學參加活動.（5）選取3名的總數(shù)有C3，因此選取方式共有N=C3－C3=6545－455=6090點評1）一般地說，從n個不同元素中，每次取出m個元素的組合，其中某一元n1（2）從n個不同元素里，每次取出m個元素的組合，其中某一元素不能在內的取法（3）從n個元素里選m個不同元素的組合，限定必須包含（或不包含）某個元素7……………最新資料推薦…………………素的子集，另一類是一個非特殊元素組成的子集.在解題時，就把問題分解成兩步：先在特殊元子集中組合，再從非特殊元子集中組合，最后根據(jù)乘法原理得整個問題的組合數(shù).（4）正確理解“至少”“至多”“恰有”等詞語的含義，要根據(jù)題設條件仔細研究，恰當分類，運用直接法或者運用間接法來求解.【例8】在一個圓周上有n個點（n≥4），用線段將它們彼此相連，若這些線段中的解：雖然可以算出共有C2CPB條線段，但這些線段在圓內不一定有交點，所以必須考慮怎樣的兩條線段在圓內有交點？如圖，交于圓內點P的兩條線段AB與CD的端合，即每個圓內的交點取決于圓周上的四個點；反之，圓周上的每4個點，雖然可連成C2=6條線段，但它們在圓內的交點有且只有一個，這樣，每個圓內的交點與圓周上每44個點之間建立了一一對應關系，所以這些線段在圓內共有交點個數(shù)為C4個.n【例9】10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結果.8……………最新資料推薦…………………點評：本題解決的辦法是將“事件”進行等價處理，如第一問“4只鞋子沒有成雙的”相當于這四只鞋子來自于4雙.因此分兩步完成，第一步取四雙鞋，第二步從每雙鞋中各取一只.希望同學們好好地體會這種思想方法.AAB對B∩A中的四人進行分類.（1）4人全部選出，此時完成這件事還需從其余7人中選（2）4人中選出3人，此時還需從A∩B中選出42245點評1）本題屬于交叉問題（A∩B有2個元素此類問題要借助集合知識按塊進行分類討論.9……………最新資料推薦…………………（3）還可按A∩B分類，但較麻煩，同學們不妨試一試.（3）三人中沒有指明誰是甲、乙、丙，而三人中誰是甲、乙、丙可有A3種方法，所32種分法，下面對其正確性進行研究：設a，b，c，d，2.C2d，e、f的所有排列只對應一種分堆方法，故分堆方法應為642=15種方法.A33設每堆2本的分法為x.分給甲、乙、丙每人兩本，則可分步進行，先平均分成3堆，……………最新資料推薦…………………322），A2.A2A2.A24點評1）以“書”為主元素比以“人”為主元素考慮要方便.（2）平均分組應防止重復.（3）平均（部分均勻）分成m組，則需除以Am，若有序，則再乘以全排列.m（4）復雜問題（如（7））可先組合（分組）后排序.答：每盒至少有一個小球，有165種不同放法.（2）因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應用，現(xiàn)建立如下數(shù)塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即上圖中1，2，3，4四個盒子相應放入3……………最新資料推薦…………………3位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有3答：允許空盒，有455種不同的放法.33種，即球的放法有C3=455（3）解法一：用（1）的處理問題的方法.在四個盒子中，每個盒子至少一個小球，就確定了一種放法.將三塊隔板放在6個小球的間隔中，有C3=10種插法，所以不同的放法總數(shù)等于余下的6個小球分別放入四個盒子（每5解法二：用（2）的處理問題的方法.球分別放在四個盒子中，每盒允許空盒，就確定了一種放法.將三塊隔板加上2個小球排成一列，有C2種排列，即有C2種放法.所以不同的放法總數(shù)等于余下的2個小球分別放入答：放球數(shù)不小于編號數(shù)的放法總數(shù)為10種.點評：這是一道有限制條件的“相異元素允許重復的組合”問題，上一道例題是一個有限制條件的“相異元素允許重復的排列”問題，它們的相同之處是“相異元素允許重復地選取”，不同之處是選取后一個是無序的組合，一個是有序的排列.盡管它們有著本質的區(qū)別，但類比于上述例題的數(shù)學模型，本例我們也可以建立相應的數(shù)學模型來處理.植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有多少種?……………最新資料推薦…………………每一種位置有A2種種植方法，因而共有（3＋2＋1）A2＝12種不同的選壟方法.4種方法，然后把那6壟插入A、B之間4個偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個?