圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1圓錐曲線的方程與性質(zhì)F的距離的和等于常數(shù)2a（大于|FF|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓x2x2a2y2y2a2x2x2b2②在x2=1和--y2+x2x2y2x2y2②對(duì)稱性：在曲線方程里，若以一y代替y方程不變，所以若點(diǎn)(x,y)在曲方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令A(yù)(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。2所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段AA、BB分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)a2-b2；ca越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程-=1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x=士a的外側(cè)。即②對(duì)稱性：雙曲線-=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線-=1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線-=1的方程里，對(duì)稱軸是x,b2），2）實(shí)軸：線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段BB叫做雙④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其⑥注意一=1與y2x2一（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。pp注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其yy2yl焦點(diǎn)坐標(biāo)2準(zhǔn)線方程2對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率22e=1x2yFoe=122(p,0)22y2yx2(p,0)標(biāo)準(zhǔn)方程xll在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。=0f(x,=0f方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y(2)一般方程：①當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-D,-E)半徑DE2-4F。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+-)2+(y+-)2=D2+E2-4FDE②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(--,--);③當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.MCMC｜=r點(diǎn)M在圓C上MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=(x-a)2+(y-b)2。（4）直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。A2+B2平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e>0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0橢圓雙曲線點(diǎn)的軌跡.2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為2．與定點(diǎn)和直線的距離之與定點(diǎn)和直線的距離相等的方程方程軌跡條件=2a,｜FF2a}.12|>2a}.點(diǎn)集{MMF｜=點(diǎn)M到直一y21a，yeR2長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b222p2pp2paa2準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.a2c2）a2且到頂點(diǎn)的距離相等.e=2c（c=p2______2pp【備注2】拋物線1）拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線方程x=--，開口向右；拋物線pppy2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(--,0)，準(zhǔn)線方程x=-，開口向左；拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-)，ppp拋物線x2=-2py（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,--準(zhǔn)線方程y=-，開口向下.ppp0p0pp（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為-，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離-，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.叫做焦半徑).（1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.（2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平的坐標(biāo)是(x',y').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則的坐標(biāo)是(x',y').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則叫做平移(或移軸)公式.（4）中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：+b2+a2a2(x-h)2b2b2a2-(x-h)2-(x-h)2b2a22=2p(x-h)2=-2p(x-h)2=2p(y-k)2=-2p(y-k)p2p2p2pa2ca2ca2ca2cp2p2p2p22.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.x2y2x2y28.橢圓-+=1（a＞b＞0）的焦半徑公式b2x0a2 ─0=0+;22x2y2x22、過橢圓-x2a2y2y2(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)A(x,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直b2x0x2y2x2y2（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F,F是焦點(diǎn),β.2x2x2a2y2y2=Ccax2x2a2y2y2x2x2a2y2y2(x-x)2 a2(y-y)2 0=A2a22b22.x2x2a2y2y212122b22+|OQ|2的最大值為2a2b2.2.x2x2a2y2y2則則||=_____x2x2a2y2y20a0.ax2x2a2y2y2（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F、F為其焦點(diǎn)記經(jīng)FPF=θ,則2.(2)Y.x212、設(shè)A、B是橢圓-x2a2y2y222x2x2a2y2y2（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC」x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17、橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).2、PT平分△PFF在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.16、若P(x,y)在雙曲線x2y2一x2y2和AQ交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.1y20b2x0-y=0一0.x2yx2a2a2y2xy2=1.x2y2（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)A(x,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，22b2x0x2y23、若P為雙曲線-一=1（a＞0,b＞0）----x2y2=Ccax2y2x2y2x2y2x2y22b2a2b2x2y2____=e.2x2y2一0P2P2P2P211、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線x2-y2=1（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F、F為其焦點(diǎn)記經(jīng)FPF=θ,則