(完整版)圓錐曲線經(jīng)典中點弦問題

(完整版)圓錐曲線經(jīng)典中點弦問題中點弦問題專題練習(xí)一、選擇題（共8小題）1.已知橢圓$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{4}=1$，以及橢圓內(nèi)一點P（4，2），則以P為中點的弦所在直線的斜率為（）A.2B.1C.2D.-22.已知A（1，2）為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{16}=1$的上半部分上的一點，B為橢圓的下半部分上的一點，則直線AB的斜率為（）A.-1B.1C.2D.-23.AB是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則$\angleKAB\cdot\angleKOM$的值為（）A.$e^{-1}$B.$1-e$C.$e$D.$e^2-1$4.橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為（）A.$3x+2y-12=0$B.$2x+3y-12=0$C.$4x+9y-144=0$D.$9x+4y-144=0$5.若橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的弦中點為（4，2），則此弦所在直線的斜率是（）A.2B.-2C.$\frac{4}{3}$D.$-\frac{4}{3}$6.已知橢圓$\frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9}=1$的一條弦所在直線方程是$x-y+3=0$，弦的中點坐標(biāo)是（-2，1），則橢圓的離心率是（）A.$\frac{\sqrt{13}}{3}$B.$\frac{\sqrt{10}}{3}$C.$\frac{\sqrt{5}}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$7.直線y=x+1被橢圓$x^2+2y^2=4$所截得的弦的中點坐標(biāo)是（）A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)8.以橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$內(nèi)一點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程為（）A.$4x-3y-3=0$B.$x-4y+3=0$C.$4x+y-5=0$D.$x+4y-5=0$二、填空題（共9小題）9.過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$內(nèi)一點M（2，1）引橢圓的動弦AB，則弦AB的中點N的軌跡方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{5}{2}$。10.已知點（1，1）是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一條弦的中點，則此弦所在的直線方程為：$x+y=2a$。11.橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的斜率為$\frac{4}{3}$，直線方程為$4x+3y-18=0$。12.橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為$4x+3y-18=0$。13.過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$內(nèi)一定點（1，$-\frac{a}$）作弦，則弦中點的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。14.設(shè)AB是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，則$k_{AB}\cdotk_{OM}=b^2-a^2$。15.以橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$內(nèi)的點M（1，1）為中點的弦所在直線方程為$4x-y-3=0$。16.在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$內(nèi)以點P（-2，1）為中點的弦所在的直線方程為$bx+ay=a^2b-2ab^2$。17.求直線$y=x+2$與橢圓$x^2+2y^2=4$的交點，然后求出線段的中點坐標(biāo)。18.求以坐標(biāo)軸為對稱軸，一焦點為$(0,2)$，截直線$y=3x-2$所得弦的中點的橫坐標(biāo)為$a$的橢圓方程。19.已知點$M(4,2)$是直線$l$被橢圓$x^2+4y^2=36$截得的弦$AB$的中點，求直線$l$的方程。20.已知直線與橢圓$4x^2+9y^2=36$相交于$A$、$B$兩點，且弦$AB$的中點坐標(biāo)為$M(1,1)$，求直線$AB$的方程。21.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一條焦點為$(0,\sqrt{3})$，離心率為$\frac{1}{2}$，求另一焦點的坐標(biāo)。22.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$與雙曲線$2x^2-2y^2=1$共焦點，且過點$(1,2)$的直線與橢圓交于$A$、$B$兩點，求以點$P(2,-1)$為中點的弦$AB$所在的直線方程。23.直線$l:x-2y-4=0$與橢圓$x^2+my^2=16$相交于$A$、$B$兩點，弦$AB$的中點為$P(2,-1)$。求$m$的值，以及橢圓的中心為$O$時，$\triangleAOB$的面積。24.設(shè)$AB$是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的一條弦，$O$是橢圓的中心，點$M$在弦$AB$上，且滿足$k_{AB}\cdotk_{OM}$為定值。證明：點$M$的軌跡是一條橢圓。25.已知橢圓$C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$和點$P(1,2)$，直線$l$經(jīng)過點$P$并與橢圓$C$交于$A$、$B$兩點，求當(dāng)$l$的傾斜角變化時，中不平行于對稱軸的一條弦$AB$的中點$M$的軌跡方程。同時，設(shè)$O$是橢圓的中心，求證：$OM$與$AB$的斜率之積為定值。26.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，(1)求斜率為$2$的平行弦的中點軌跡方程；(2)過點$A(2,1)$的直線$l$與橢圓相交，求$l$被截得的弦的中點軌跡方程；(3)過點$P$且被$P$點平分的弦所在的直線方程。27.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，(1)求過點$P$且被點$P$平分的弦所在直線的方程；(2)求斜率為$2$的平行弦的中點軌跡方程；(3)過點$A(2,1)$引直線與橢圓交于$B$、$C$兩點，求截得的弦$BC$中點的軌跡方程。28.已知某橢圓的焦點為$F_1(-4,0)$、$F_2(4,0)$，過點$F_2$并垂直于$x$軸的直線與橢圓的一個交點為$B$，且$|F_1B|+|F_2B|=10$。設(shè)橢圓上不同的兩點為$A(x_1,y_1)$、$C(x_2,y_2)$，滿足$|F_2A|、|F_2B|、|F_2C|$成等差數(shù)列。求該橢圓的方程，以及弦$AC$中點的橫坐標(biāo)。29.過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$內(nèi)一點$M(1,1)$的弦$AB$。(1)若點$M$恰為弦$AB$的中點，求直線$AB$的方程；(2)求過點$M$的弦的中點的軌跡方程。30.已知橢圓$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直線$l$與橢圓$C$相交于$A$、$B$兩點，點$P(2,1)$在直線$l$上，且$\angleAPB=90^\circ$。(1)求弦$AB$中點$M$的軌跡方程；(2)設(shè)直線$PA$、$PB$的斜率分別為$k_1$、$k_2$，求證：$k_1+k_2$為定值。2014年1月，panpan781104發(fā)布了高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析。以下是其中的三道選擇題。1.已知橢圓$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$，以及橢圓內(nèi)一點P(4,2)，則以P為中點的弦所在直線的斜率為（）A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$解析：設(shè)以點P為中點的弦所在直線與橢圓相交于點A(x1,y1)，B(x2,y2)，斜率為k。則，$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k$，兩式相減得，$\frac{y_2+y_1-4}{x_2+x_1-8}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。又$x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=4$，代入得$k=2$，故選A。2.已知A(1,2)為橢圓內(nèi)一點，則以A為中點的橢圓的弦所在的直線方程為（）A.x+2y+4=0B.x+2y-4=0C.2x+y+4=0D.2x+y-4=0解析：設(shè)直線的方程為$y-2=k(x-1)$，聯(lián)立直線與橢圓的方程代入可得：$(4+k^2)x^2+2k(2-k)x+k^2-4k-12=0$。因為A為橢圓的弦的中點，所以，解得$k=-2$，所以直線的方程為$2x+y-4=0$，故選D。3.AB是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則$\angleKAB·\angleKOM$的值為（）A.$e^{-1}$B.$1-e$C.$\frac{1}{2}$D.$e^2-1$解析：設(shè)弦AB所在直線方程為$y=kx+c$，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得$x_1+x_2$的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得$y_1+y_2$的表達(dá)式，進而根據(jù)點M為AB的中點，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進而代入$\angleKAB·\angleKOM$中求得結(jié)果。最終解得$\angleKAB·\angleKOM=e^2-1$，故選D。弦的性質(zhì)，列出N的軌跡方程。解答：解：設(shè)弦AB的斜率為k，則AB的方程為y﹣=k（x﹣2），將其代入橢圓方程x2+2y2=8中，得（k2+2）x2+4k（﹣1）x+8﹣4k2=0∴x1+x2=∴k=∴N的坐標(biāo)為（，）∴N的軌跡方程為x2+y2﹣4x=0．點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，應(yīng)用中點公式和斜率公式，屬于較難的綜合題。給定橢圓方程4x^2+9y^2=144，已知點P(3,2)是一條弦的中點，求這條弦的斜率和方程。解答：設(shè)弦的兩個端點為A(x1,y1)和B(x2,y2)。由于P(3,2)是弦的中點，因此中點公式可得x1+x2=6，y1+y2=4。將A和B代入橢圓方程得到4x1^2+9y1^2=144和4x2^2+9y2^2=144。將這兩個方程相減，得到4(x1^2-x2^2)+9(y1^2-y2^2)=0，即4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0。代入x1+x2=6和y1+y2=4，得到4(x1-x2)+9(y1-y2)=0，即4x1-4x2+9y1-9y2=0。將其化簡得到y(tǒng)1-y2=(4/9)(x1-x2)。根據(jù)中點公式，可以得到中點的坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(3,2)，因此(x1+x2)/2=3，即x1+x2=6。代入y1+y2=4，得到y(tǒng)1=2-y2。將其代入y1-y2=(4/9)(x1-x2)中，化簡得到y(tǒng)2=(1/5)x2+(6/5)。因此，弦的斜率為(2-y2-y1)/(3-x2-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)=(-4/3)/(5/3)=-4/5。根據(jù)點斜式，可以得到直線方程為y-2=(-4/5)(x-3)，即4x+5y-22=0。因此，弦的斜率為-4/5，方程為4x+5y-22=0。12.已知橢圓方程為4x^2+9y^2=144，點P(3,2)為一弦的中點，求該弦所在直線方程。解析：設(shè)該弦兩端點為E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，則有：-P(3,2)為該弦的中點，即：(x1+x2)/2=3，(y1+y2)/2=2，解得：x1+x2=6，y1+y2=4。-由于該弦過點P，所以E、F、P三點共線，即斜率相等，可得該弦所在直線的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。-將E、F兩點代入橢圓方程，可得：4x1^2+9y1^2=144，4x2^2+9y2^2=144。-將斜率代入點斜式直線方程中，可得：y-y1=k(x-x1)，y-y2=k(x-x2)。-將上述兩式相減，化簡可得：(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0。-將x1+x2=6，y1+y2=4代入上式，可以得到x1-x2=2(y2-y1)/3。-將上式代入橢圓方程中，整理得到：2x+3y-12=0，即為所求的直線方程。13.過橢圓4x^2+9y^2=1內(nèi)一定點(1,0)作弦，求弦中點的軌跡方程。解析：設(shè)該弦兩端點為E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，該弦中點為M(x,y)，則有：-由于點M在該弦的中點上，可得：x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。-由于該弦過點(1,0)，所以E、F、(1,0)三點共線，即斜率相等，可得該弦所在直線的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。-將E、F兩點代入橢圓方程，可得：4x1^2+9y1^2=1，4x2^2+9y2^2=1。-將斜率代入點斜式直線方程中，可得：y-y1=k(x-x1)，y-y2=k(x-x2)。-將上述兩式相加，化簡可得：(x1+x2)(y1+y2)=k(x1-x2)(y1-y2)。-將x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2代入上式，可得：2x/9+2y^2/4(x-1)=0，整理得到4x^2+9y^2-4x=0，即為所求的軌跡方程。∴k=，由此可得以點P（﹣2，1）為中點的弦所在的直線方程為x﹣2y+4=0．答案為x﹣2y+4=0．點評：本題考查了直線與橢圓相交的中點弦問題和“點差法”等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題。需要注意計算過程中的符號和細(xì)節(jié)。利用韋達(dá)定理，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的。已知橢圓與雙曲線2x^2-2y^2=1共焦點，且過（）。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(2)求斜率為2的一組平行弦的中點軌跡方程。分析：(1)求出雙曲線的焦點，由此設(shè)出橢圓方程，把點（，）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程。(2)設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標(biāo)為（x，y），把y=2x+b代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出軌跡方程為y=-x，求出直線y=2x+b和橢圓相切時的b值，即得軌跡方程中自變量x的范圍。解答：(1)依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為x^2/0.5-y^2/0.5=1，則c=1。因為橢圓與雙曲線共焦點，設(shè)橢圓方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1，因為橢圓過（，），所以a^2+b^2=2，又因為橢圓與雙曲線共焦點，所以c^2=a^2+b^2=2，代入得到橢圓方程為x^2/2+y^2/2=1。(2)依題意，設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標(biāo)為（x，y），則y=2x+b且x^2/2+(2x+b)^2/2=1，化簡得到9x^2+8bx+2b^2-2=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得到x1+x2=-8b/9。因為弦的中點坐標(biāo)為（2，-1），所以2=(x1+x2)/2，解得x1=-14/9，x2=10/9。將x1和x2代入y=2x+b，得到y(tǒng)1=-31/9，y2=-7/9，所以斜率為2的弦的兩個端點為(-14/9,-31/9)和(10/9,-7/9)。設(shè)斜率為2的直線與橢圓相切的點為（x0，y0），則y0=2x0+b，代入橢圓方程得到5x0^2+4bx0+2b^2-2=0，因為直線與橢圓相切，所以方程只有一個實根，即b^2-5=0，解得b=±√5。所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±√5。因為斜率為2的直線與橢圓相切，所以直線與橢圓的交點只有一個，即x1=x2，代入y=2x±√5得到y(tǒng)=±√5-2/9，所以中點軌跡方程為y=-x。點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用；求點的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量x的范圍，是解題的易錯點。直線l：x-2y-4=0與橢圓x^2+my^2=16相交于A、B兩點，弦AB的中點為P（2，-1）。(1)求m的值；(2)設(shè)橢圓的中心為O，求△AOB的面積。分析：(1)先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2的表達(dá)式，進而根據(jù)其中點的坐標(biāo)求得m