多元函數(shù)的條件極值課件

§4條件極值

§4條件極值

一、問題引入例1要設(shè)計(jì)一個容積為V的長方形無蓋水箱,試問長、寬、高各等于多少時,可使得表面積達(dá)到最小?若設(shè)長、寬、高各等于x,y,z,則目標(biāo)函數(shù):約束條件:一、問題引入例1要設(shè)計(jì)一個容積為V的長例2設(shè)曲線求此曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離之最大、最小值.對此問題有目標(biāo)函數(shù):約束條件:定義設(shè)目標(biāo)函數(shù)為約束條件為如下一組方程:例2設(shè)曲線為簡便起見,記并設(shè)若存在則稱是

在約束條件之下的極小值稱是相應(yīng)的極小值點(diǎn)為簡便起見,記二、拉格朗日乘數(shù)法先從n=2,m=1的最簡情形說起,即設(shè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為若由確定了隱函數(shù)則使得目標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù)再由求出穩(wěn)定點(diǎn)在此點(diǎn)處滿足二、拉格朗日乘數(shù)法先從n=2,m=1的最簡情

極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足在點(diǎn)處恰好滿足:通過引入輔助函數(shù)把條件極值問題(1)轉(zhuǎn)化成為關(guān)于這個輔助函數(shù)的普通極值問題.在點(diǎn)處恰好滿足:拉格朗日乘數(shù)法引入輔助函數(shù)稱此函數(shù)為拉格朗日函數(shù),其中稱為拉格朗日乘數(shù).定理18.6設(shè)上述條件極值問題中的函數(shù)在區(qū)域D上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù).若D的內(nèi)點(diǎn)是該條件極值問題的極值點(diǎn),且拉格朗日乘數(shù)法引入輔助函數(shù)稱此函數(shù)為拉格則存在m個常數(shù)使得個方程的解:為拉格朗日函數(shù)(3)的穩(wěn)定點(diǎn),即它是如下

則存在m個常數(shù)當(dāng)n=2,m=1時引入輔助函數(shù)當(dāng)n=2,m=1時引入輔助函數(shù)極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域內(nèi)限制.對自變量除定義域內(nèi)限制外,還有其它條件限制.例如,轉(zhuǎn)化★求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法方法2拉格朗日乘數(shù)法.方法2拉格朗日乘數(shù)法.推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.例如,求函數(shù)下的極值.解方程組推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束例如,解:如圖,解:如圖,解2用拉格朗日乘數(shù)法解解方程組得：解2用拉格朗日乘數(shù)法解解方程組得：例2.求曲面與平面解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):到平面之間的最短距離.令得唯一駐點(diǎn)：根據(jù)問題的實(shí)際意義,知例2.求曲面與平面解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P的距離為問例3.要設(shè)計(jì)一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)

x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱,試問

得唯一駐點(diǎn)因此,當(dāng)高為所用材料最省.P169:1(1)(3)例3.要設(shè)計(jì)一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:(10數(shù)學(xué)一,二)習(xí)題(10數(shù)學(xué)一,二)習(xí)題提示：提示：()提示:由題設(shè)()提示:由題設(shè)解切線方程：法平面方程：解切線方程：法平面方程：多元函數(shù)的條件極值課件設(shè)函數(shù)與均可微且則下列結(jié)論正確的是()（A）若則2006研已知是在約束條件下的一個極值點(diǎn)，（B）若則（C）若