同濟(jì)版大一高數(shù)下第七章習(xí)題課1xg課件

高等數(shù)學(xué)第三十三講1高等數(shù)學(xué)第三十三講1一階微分方程的習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題解法及應(yīng)用第七章2一階微分方程的習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程3一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:例1.求下列方程的通解(只介紹解題的思路）解：解：解解：解：（貝努里）（齊次）4例1.求下列方程的通解(只介紹解題的思路）解：解：解解：解例2.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解兩邊同時積分5例2.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為6方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,例3.求下列方程的通解:將方程改寫為(貝努里方程)解通解7例3.求下列方程的通解:將方程改寫為(貝努里方程)解通解方法1這是一個齊次方程.方法2化為微分形式故這是一個全微分方程.8方法1這是一個齊次方程.方法2化為微分形式解：方程兩邊同乘以，得代入公式，得解之得故原方程通解為9解：方程兩邊同乘以，得代入公式，得解之得故原方程通解為9例4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:10例4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x(2)由一階線性微分方程解的公式得于是例4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:11(2)由一階線性微分方程解的公式得于是例4.設(shè)F(x)＝已知函數(shù)在任意點則(P505題33)例5處增量為提示：題中隱含初值問題12已知函數(shù)在任意點則(P505題33)例5處增量為提示：題練習(xí)題:P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去C得P353題3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:提示:這是一階線性方程,其中13練習(xí)題:P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去提示:可化為關(guān)于x

的一階線性方程提示:為貝努里方程,令提示:為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式14提示:可化為關(guān)于x的一階線性方程提示:為貝努里方程原方程化為故原方程通解提示:令上式兩邊同時平方得則15原方程化為故原方程通解提示:令上式兩邊同時平方得則15練習(xí)題:P354題5.已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:設(shè)曲線y=f(x)上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱切線上的動點為(X,Y),16練習(xí)題:P354題5.已知某曲線經(jīng)過點(1,1例3.求下列方程的通解:將方程改寫為(貝努里方程)解原方程兩邊同除以得原方程整理為通解17例3.求下列