2022-2023學(xué)年山西省太原市第五十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省太原市第五十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等比數(shù)列{an}中，若a6=6，a9=9，則a3為（）A．2 B． C． D．4參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，由a6=6，a9=9，得．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】欲求在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故選A．3.若將函數(shù)f（x）=x6表示為f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6為實(shí)數(shù)，則a3等于（）A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20參考答案：D【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理．【分析】把函數(shù)f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6按照二項(xiàng)式定理展開，結(jié)合已知條件，求得a3的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6=1﹣?（1+x）+?（1+x）2﹣?（1+x）3+…+?（1+x）6，又f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6為實(shí)數(shù)，則a3=﹣=﹣20，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值是（）

A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C5.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．5 B．8 C．10 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程可求得p的值，進(jìn)而利用拋物線的定義可求得|AB|=x1+x2+4，根據(jù)線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離求得x1+x2的值，代入|AB|=x1+x2+4，求得答案．【解答】解：由拋物線方程可知p=4|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+4由線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3得（x1+x2）=3∴|AB|=x1+x2+4=10故答案為：106.已知直線l過點(diǎn)且與以、為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.或

參考答案：D7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由不等式組所確定的圖形的面積等于（

）（A）75π

（B）60π

（C）50π

（D）45π參考答案：C8.不等式組表示的平面區(qū)域是

(

)參考答案：B9.已知是R上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是

（

）A.

B.

C.D.參考答案：D略10.若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這樣的直線有（

）條A.1條

B.2條

C.3條

D.以上都不對(duì)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則當(dāng)且僅當(dāng)=

時(shí)，函數(shù)的最大值為

；參考答案：０；１12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)直線OC1與平面CB1D1成的角為，則▲．參考答案：

13.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2、S3，則=

．參考答案：3【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】確定拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出S12+S22+S32，利用點(diǎn)F是△ABC的重心，即可求得結(jié)論【解答】解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），∴S1=|y1|，S2=|y2|，S3=|y3|，∴S12+S22+S32=（y12+y22+y32）=x1+x2+x3，∵，∴點(diǎn)F是△ABC的重心．∴x1+x2+x3=3．∴S12+S22+S32=3．故答案為3．14.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：[－1，2)∪(2，+∞)

函數(shù)有意義，則：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組可得函數(shù)的定義域?yàn)閇－1，2)∪(2，+∞).點(diǎn)睛：求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．

15.“x＞1”是“x2＞1”的

條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）參考答案：充分不必要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用向量相等的定義是解決本題的關(guān)鍵．16.定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為參考答案：217.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=，b=，A=60°，則B的度數(shù)為____．參考答案：45°

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，已知acos2+ccos2=b（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）若B=，S=4求b．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，整理后再利用正弦定理化簡(jiǎn)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可得證；（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinB與已知面積代入求出ac的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理得出b的值即可．【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA?+sinC?=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化簡(jiǎn)得：a+c=2b，∴a，b，c成等差數(shù)列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．19.某校為評(píng)估新教改對(duì)教學(xué)的影響，挑選了水平相當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)平行班進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．甲班采用創(chuàng)新教法，乙班仍采用傳統(tǒng)教法，一段時(shí)間后進(jìn)行水平測(cè)試，成績(jī)結(jié)果全部落在區(qū)間內(nèi)（滿分100分），并繪制頻率分布直方圖如圖，兩個(gè)班人數(shù)均為60人，成績(jī)80分及以上為優(yōu)良．（1）根據(jù)以上信息填好下列2×2聯(lián)表，并判斷出有多大的把握認(rèn)為學(xué)生成績(jī)優(yōu)良與班級(jí)有關(guān)？是否優(yōu)良班級(jí)優(yōu)良（人數(shù)）非優(yōu)良（人數(shù)）合計(jì)甲

乙

合計(jì)

（2）以班級(jí)分層抽樣，抽取成績(jī)優(yōu)良的5人參加座談，現(xiàn)從5人中隨機(jī)選2人來作書面發(fā)言，求2人都來自甲班的概率．下面的臨界值表供參考：P（x2?k）0.100.050.010k2.7063.8416.635（以下臨界值及公式僅供參考，n=a+b+c+d）參考答案：【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)．【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，利用公式計(jì)算K2的值，對(duì)照臨界值即可得結(jié)論；（2）利用分層抽樣原理與列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，填寫2×2列聯(lián)表如下；是否優(yōu)良班級(jí)優(yōu)良（人數(shù)）非優(yōu)良（人數(shù)）合計(jì)甲303060乙204060合計(jì)5070120計(jì)算，則有90%的把握認(rèn)為學(xué)生成績(jī)優(yōu)良與班級(jí)有關(guān)；（2）分層抽樣甲班抽取了3人，記作a1，a2，a3，乙班抽取了2人，記作b1，b2，從中任意抽取2人，有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}10種情形，其中2人都來自甲班的有3種情形，則至少有2人來自甲班的概率為P=．20.已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e2（a為實(shí)數(shù)）．（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)y=g（x）在x=1處的切線方程；（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）若存在兩不等實(shí)數(shù)x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2e2f（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）當(dāng)a=5時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)y=g（x），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，通過導(dǎo)數(shù)求解切點(diǎn)斜率，然后求解x=1處的切線方程；（2）求解f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，列表，然后求解在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）化簡(jiǎn)方程g（x）=2e2f（x），構(gòu)造新函數(shù)，通過求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出函數(shù)的極值以及區(qū)間上的最值，然后推出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e2，g（1）=e．g′（x）=（﹣x2+3x+2）e2，故切線的斜率為g′（1）=4e．所以切線方程為：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e．…（2）函數(shù)f（x）=xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），則f′（x）=lnx+1，lnx+1=0，解得x=．xf′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減極小值（最小值）單調(diào)遞增①當(dāng)t≥時(shí)，在區(qū)間（t，t+2）上f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min=f（t）=tlnt．②當(dāng)t∈時(shí)，在區(qū)間（t，）上f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間上f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min=f（）=﹣

…（3）由g（x）=2e2f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，a=x+2lnx+，令h（x）=x+2lnx+，h′（x）=1+=．x1（1，e）h′（x）﹣0+h（x）單調(diào)遞減極小值（最小值）單調(diào)遞增，h（1）=4，．．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為4．…21.（本小題滿分12分）設(shè)命題p：“直線x+y-m=0與圓不相交”，命題q：“有一正根和一負(fù)根。”如果pq為真且pq為假，求m的取值范圍．參考答案：對(duì)命題P：由x+y-m=0和得

則，∴∴P為真時(shí)

3分對(duì)命題q：則有題意得得∴q為真時(shí)