全等三角形的判定

全等三角形的判定知識(shí)回顧(1)

什么叫全等三角形？(2)全等三角形有哪些性質(zhì)？全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。思考：組成三角形的基本元素有幾個(gè)？三條邊和三個(gè)內(nèi)角

某檢查人員到工廠(chǎng)檢查三角形模型尺寸是否合格。其中標(biāo)準(zhǔn)模型尺寸如圖，如果你是檢查人員，你至少需要量出幾個(gè)數(shù)據(jù),才能判斷出兩個(gè)三角形模型全等呢？645βγα幫幫我探索全等三角形的判定條件（1）周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形一定全等嗎？想一想：想一想：（2）面積相等的兩個(gè)三角形一定全等嗎？∵AB＝A′B′，BC=B′C′,AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(全等三角形的定義）∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,（已知）在△ABC和△A′B′C′中，ABCA′B′

C′你能用全等三角形的定義判定兩個(gè)三角形全等嗎？((((((((((((AB＝A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，且∠A=∠A′,∠B=∠B′。那么

△ABC

與△A′B′C′是否全等呢？為什么？問(wèn)題思考

如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果滿(mǎn)足條件：ABCA′B′

C′((??((((

使△ABC

與△A′B′C′全等的條件能否再減少一些呢？聯(lián)想？？？((ABCA′B′

C′((((減少條件個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等的元素組數(shù)兩個(gè)三角形是否全等15?06全等（依據(jù)定義）？？((ABCA′B′

C′((((24?33？42？5？1探究新知問(wèn)題：對(duì)于兩個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，至少要滿(mǎn)足幾組元素對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形才會(huì)全等呢？ABCA′B′

C′

探討:兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），會(huì)有幾種可能的情況呢？一角對(duì)應(yīng)相等一邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形只有一組對(duì)應(yīng)相等的元素問(wèn)題：在每一種情況中，滿(mǎn)足一組對(duì)應(yīng)元素相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果不全等，請(qǐng)舉出一個(gè)反例來(lái)加以說(shuō)明?；?dòng)1：如果兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），這兩個(gè)三角形全等嗎？互動(dòng)交流不全等不全等一邊對(duì)應(yīng)相等7cm7cm一角對(duì)應(yīng)相等32°

32°

探究新知兩個(gè)三角形只有一組對(duì)應(yīng)元素相等

兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），會(huì)有幾種可能的情況呢？任務(wù)一：討論分類(lèi)兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)元素相等?互動(dòng)2：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），這兩個(gè)三角形全等嗎？互動(dòng)交流一邊及對(duì)角一邊及鄰角兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)元素相等探究新知兩角對(duì)應(yīng)等一邊一角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)相等

在每一種情況中，滿(mǎn)足兩組對(duì)應(yīng)元素相等的兩個(gè)三角形全等嗎？任務(wù)二：畫(huà)圖探索互動(dòng)2：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），這兩個(gè)三角形全等嗎？互動(dòng)交流第一組：畫(huà)一個(gè)三角形，要求它的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和75°；第二組：畫(huà)一個(gè)三角形，要求三角形的兩邊分別為5cm和6cm；第三組：畫(huà)一個(gè)三角形，要求三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為6cm，且這條長(zhǎng)6cm的邊是30°角的鄰邊；第四組：畫(huà)一個(gè)三角形，要求三角形的一個(gè)內(nèi)角為90°，一條邊為5cm，且這條長(zhǎng)5cm的邊是90°角的對(duì)邊；分組畫(huà)圖：分別按照下面的條件，用刻度尺或量角器畫(huà)三角形，畫(huà)完后同組的同學(xué)比較一下，所畫(huà)的圖形是否全等？

知識(shí)源于實(shí)踐不全等不全等兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)元素相等探究新知一邊一角對(duì)應(yīng)相等不全等不全等一邊對(duì)角5cm5cm一邊鄰角6cm6cm30°

30°

兩邊對(duì)應(yīng)相等6cm6cm5cm5cm兩角對(duì)應(yīng)相等30°

75°

30°

75°

兩個(gè)三角形有三組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），會(huì)有幾種可能的情況呢？任務(wù)：討論分類(lèi)互動(dòng)3：如果兩個(gè)三角形有三組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），這兩個(gè)三角形全等嗎？互動(dòng)交流兩個(gè)三角形有三組對(duì)應(yīng)元素相等兩角及其夾邊兩角及一角的對(duì)邊三角對(duì)應(yīng)相等三邊對(duì)應(yīng)相等一邊兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊一角對(duì)應(yīng)相等兩邊及一邊的對(duì)角兩邊及其夾角滿(mǎn)足這些條件的三角形全等嗎？作圖：已知△ABC，再畫(huà)一個(gè)ΔA′B′C′,使B′C′=BC,∠B′=∠B,∠C′=∠C.（同學(xué)們自己畫(huà)圖）。1、畫(huà)線(xiàn)段B′C′=BC2、在B′C′的同旁，分別以B′、C′為頂點(diǎn)作∠MB′C′=∠B,∠NC′B′=∠C,B′M、C′N(xiāo)交于點(diǎn)A′,得△A′B′C′已知兩角及其夾邊如何作一個(gè)三角形呢？我探究現(xiàn)在同學(xué)們把我們所畫(huà)的兩個(gè)三角形重合在一起，你發(fā)現(xiàn)了什么？完全重合!由全等三角形定義你能得到什么結(jié)論？如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)呢?∠A=∠AAB=AB∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）ACBA′CB′′證明:在△ABC與△A'B'C'中′′′′′′∠B=∠B′兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA).在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C',△ABC和△A'B'C'全等嗎？為什么？ACBB'A'C'探索分析：能否轉(zhuǎn)化為ASA?證明：∵∠A=∠A',∠B=∠B'(已知)

∴∠C=∠C'(三角形內(nèi)角和定理)∠B=∠B'在△ABC和△A'B'C'中BC=B'C'

∠C=∠C'∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）你能從上題中得到什么結(jié)論？?jī)山羌耙唤堑膶?duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）。如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)呢?證明:在△ABC與△ABC中∠A=∠A∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）ACBA′CB′′′′′′∠B=∠B′′′BC=BC

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”。

兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”（ASA）（AAS）歸納解：在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB

（ASA)∠1=∠2∠3=∠4（公共邊）例2、已知：如圖，AB為的角平分線(xiàn)

，∠ABD=∠ABC,求證：AC=AD分析：要證AC=AD,只需證明△ACB≌△ADB,根據(jù)“ASA”即可證。證明：在△ACB和△ADB中

∴△ACB≌△ADB（ASA)∴AC=AD∵ACDB∠CAB=∠DABAB=AB（公共邊）∠ABC=∠ABD∵AB為的角平分線(xiàn)

∴∠CAB=∠DAB

三角形全等判定方法3用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF例2、如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=CA.連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB.連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離.為什么？分析：如果能證明△ABC≌△DEC

，就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中，CA=CD,CB=CE.如果能得出∠ACB=∠DCE，△ABC和△DEC就全等了ABCDE證明：在△ABC和△DEC中CA=CD∠ACB=∠DCECB=CE∴△ABC≌△DEC（SAS）∴AB=DE已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD。問(wèn)AD=CD，BD平分∠ADC嗎？ABCD例題推廣證明：在△ABD與△CBD中AB=CB∠ABD=∠CBDBD=BD∴△ABD≌△CBD（SAS）∴AD=CD∠ADB=∠CDB即BD平分∠ADC2、如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠DADBEFC【證明】∵BF=BE+EFCE=CF+FE

而B(niǎo)E=CF∴BF=CE在△ABF和△DCE中，BF=CE∠B=∠CAB=DC則△BAD≌△BAC(SAS).即∠A=∠D．1、如圖（1），AB＝AC，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，那么△ABE≌△ACF．

2、根據(jù)（1）的證明，若連結(jié)BC，如（2）．請(qǐng)證明：△EBC≌△FCB2、如圖，AB、CD均被點(diǎn)O平分，求證：AC=BD如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說(shuō)明其中理由嗎?議一議怎么辦，

可以幫幫我嗎？1．如圖所示，有一塊三角形鏡子，小明不小心摔破成Ⅰ、Ⅱ兩塊，現(xiàn)需配制同樣大小的鏡子．為了方便起見(jiàn)，需帶上

塊即可，其理由是

．2、如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）A、帶①去B、帶②去C、帶③去D、帶①和②去

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：

三角形全等判定方法4應(yīng)用遷移，鞏固提高例1.如下圖，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接A與BC中點(diǎn)D的支架。求證：△ABD≌△ACD分析：要證明△ABD≌△ACD，首先要看這兩個(gè)三角形的三條邊是否對(duì)應(yīng)相等。證明:∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=CD.

AB=AC,BD=CD,AD=AD,

∴△ABD≌△ACD（SSS）．在△ABD和△ACD中,思考已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AD=FB（如圖），要用“邊邊邊”證明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個(gè)條件？解：要證明△ABC≌△FDE，還應(yīng)該有AB=DF這個(gè)條件∵DB是AB與DF的公共部分，且AD=FB∴AD+DB=FB+DB

即AB=FＤ思考已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AD=FB（如圖），要用“邊邊邊”證明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個(gè)條件？證明:∵AD=FB,

∴AD＋DB=FB＋DB

，即AB=FD.在

△

ABC和△

FDE中，AC=FE,AB=FD,BC=DE,∴△ABC≌△FDE(SSS).思考已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A，B，D，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AD