坐標(biāo)系與參數(shù)方程(題型歸納)

坐標(biāo)系與參數(shù)方程(題型歸納)坐標(biāo)系與參數(shù)方程極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系定義為在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O作為極點(diǎn)，引一條射線Ox作為極軸，并選取一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為：x=ρcosθ,y=ρsinθρ2=x2+y2tanθ=y/x,x≠0極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化前提為：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正方向重合，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。例如，極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ=1可以轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程x+y=1（在轉(zhuǎn)化成x,y時(shí)要設(shè)法構(gòu)造ρcosθ,ρsinθ，然后進(jìn)行整體代換即可）。求極坐標(biāo)方程的兩種方法處理極坐標(biāo)系中問(wèn)題大致有兩種思路：1.公式互化法：把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行互化；2.幾何法：利用幾何關(guān)系（工具如：三角函數(shù)的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ與θ的方程。參數(shù)方程參數(shù)方程定義為，如果曲線F(x,y)中的變量x,y均可以寫(xiě)成關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=g(t)，那么(x,y)就稱(chēng)為該曲線的參數(shù)方程，其中t稱(chēng)為參數(shù)。常見(jiàn)的消參技巧常見(jiàn)的消參技巧包括：1.代入法：將參數(shù)代入方程中進(jìn)行消元；2.整體消元法：通過(guò)整體消元得到參數(shù)的表達(dá)式；3.三角函數(shù)法：利用sin2θ+cos2θ=1消去參數(shù)。常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程如下：1.圓：(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程為：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ為參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角；2.橢圓：(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b)的參數(shù)方程為：x=acosθ，y=bsinθ。1.橢圓的參數(shù)方程為：x=acosθ,y=bsinθ，其中θ∈[0,2π)為參數(shù)，表示橢圓的離心角。2.雙曲線的參數(shù)方程為：x=asecθ,y=btanθ，其中θ∈[0,2π)為參數(shù)，表示雙曲線的離心角。3.拋物線的參數(shù)方程為：x=2pt^2,y=2pt，其中t為參數(shù)。4.直線的參數(shù)方程為：過(guò)點(diǎn)M(x,y)，傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為：x=x+tcosθ,y=y+tsinθ，其中t為參數(shù)，代表該點(diǎn)與M的距離。直線的參數(shù)方程進(jìn)一步討論：1.過(guò)定點(diǎn)P(x,y)，傾角為θ的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程形式為：x=x+tcosθ，y=y+tsinθ，其中t為參數(shù)，代表點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離。2.根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論：-經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x,y)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為：x=x+tcosα，y=y+tsinα，其中t為參數(shù)。-若直線l上兩點(diǎn)A、B的參數(shù)分別為t1、t2，線段AB的中點(diǎn)為P，點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)|AM|=|t1|,|BM|=|t2|;(2)|AB|=|t2-t1|;(3)|AM|·|BM|=|t1·t2|;(4)AB=|tB-tA|=√[(tB+tA)^2-4tA·tB];(5)t=(t1+t2)/2。常見(jiàn)的四種題型：1.方程互換；2.直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的應(yīng)用；3.最值問(wèn)題；4.簡(jiǎn)單的平面解析幾何問(wèn)題。極坐標(biāo)與參數(shù)方程經(jīng)典問(wèn)題：題型一：客觀題。的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求C1與C2的交點(diǎn)間的距離。解：（1）將曲線C1的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：$$\begin{aligned}x^2+y^2&=(2+2\cos\theta)^2+(2-2\sin\theta)^2\\&=8\cos^2\theta+8\sin^2\theta+8\cos\theta-8\sin\theta+8\\&=8\cos\theta-8\sin\theta+16\end{aligned}$$將曲線C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：$$\begin{aligned}x+y&=2\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+2\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\\&=2\sin\theta+2\cos\theta\end{aligned}$$（2）設(shè)C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則有：$$\begin{cases}x^2+y^2=8\cos\theta-8\sin\theta+16\\x+y=2\sin\theta+2\cos\theta\end{cases}$$將（1，1）代入上述方程組，解得：$$\begin{cases}x=1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}$$兩曲線交點(diǎn)間的距離為：$$\begin{aligned}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(1-1)^2+(1+\sqrt{2}-1)^2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$$解：（1）曲線C1的普通方程為y=2sinα，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ/sinθ-10。（2）點(diǎn)M到直線l的距離可以表示為ρcos(θ-π/4)-10的絕對(duì)值。由于ρ≥0，所以距離的最小值為10，當(dāng)θ=π/4時(shí)取到。最大值為√2ρ-10，當(dāng)θ=π/2時(shí)取到。因此，點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為10，最大值為2√2-10。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y35sin（為參數(shù)）。已知直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)(1,4)，求曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，得到(x-2)/7=(y-3)/5即5x-7y+16=0由已知直線l的斜率為2，過(guò)點(diǎn)(1,4)，可得直線l的普通方程為y-4=2(x-1)即y-2x+2=0將兩個(gè)方程聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)=(11/3,23/3)。在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，其極坐標(biāo)方程為ρ-4ρcosθ-3=0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ，直線l的直角坐標(biāo)方程為y=3x。要求解：（1）求曲線C1的普通方程和直線l的極坐標(biāo)方程。（2）若直線l與C1，C2在第一象限分別交于A，B兩點(diǎn)，P為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔPAB面積的最大值。（1）由極坐標(biāo)變換公式，可將曲線C1的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程為(x-2)^2+y^2=49，即(x-2)+y=7。直線l的極坐標(biāo)方程為θ=arctan3。（2）曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x-4)^2+y^2=16，設(shè)A(ρ1,θ1)，B(ρ2,θ2)，則由題意可得ρ1-4ρ1cos(2π/3)=3π和ρ2=8cos(π/3)=4，解得ρ1=3，ρ2=4。因此，AB=ρ1-ρ2=1，C2(4,0)到l的距離為d=23/4。以AB為底邊的ΔPAB的高的最大值為23/4，因此ΔPAB的面積的最大值為2+3=5。將圓x+y=1上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得曲線C。要求解：（1）寫(xiě)出C的參數(shù)方程。（2）設(shè)直線l：4x+y+1=0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程。（1）將圓的參數(shù)方程x=cosθ，y=sinθ代入，得曲線C的參數(shù)方程為x^2+y^2=x，即x=cos^2t，y=sint。（2）直線l與C的交點(diǎn)為P1(-1/5,6/5)和P2(1,0)，因此線段P1P2的中點(diǎn)為M(3/5,3/5)。由于直線l的斜率為-4，線段P1P2的中垂線斜率為1/4，因此中垂線的方程為y-x=3/5。將極坐標(biāo)變換公式代入，得直線的極坐標(biāo)方程為θ=arctan(4/3)。在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l傾斜角為α，其參數(shù)方程為x=-2+tcosα（t為參數(shù)）y=tsinα在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cosθ=0。（1）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求直線l傾斜角α的取值范圍；（2）設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+3y的取值范圍。解：（1）法一：由曲線C的極坐標(biāo)方程得ρ2-4ρcosθ=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0，即(x-2)2+y2=4∴曲線C是圓心為C(2,0)，半徑為2的圓?！咧本€l過(guò)點(diǎn)P(-2,0)，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-2與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)；∴當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k(x+2)，即kx-y+2k=0直線l與圓有公共點(diǎn)，則d=|2k-0|/sqrt(k2+1)≤2∴-3/√3≤k≤3/√3∵α∈[0,π)，∴α的取值范圍是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。法二：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0，將x=-2+tcosα，y=tsinα代入x2+y2-4x=0整理得t2-8tcosα+12=0∵直線l與曲線C有公共點(diǎn)，∴Δ=64cos2α-48≥0即cosα≥3/4或cosα≤-3/4，∵α∈[0,π)，∴α的取值范圍是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。（2）法一：設(shè)x+3y=m，由于圓x2+y2