超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

§1.3超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余約束的幾何不變體系，僅根據(jù)靜力平衡條件不能求出其全部支座反力和內(nèi)力，還須考慮變形協(xié)調(diào)條件計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法是力法和位移法。這兩種基本方法的解題思路，都是設(shè)法將未知的超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算問題轉(zhuǎn)換成已知的結(jié)構(gòu)計(jì)算問題。轉(zhuǎn)換的橋梁就是基本體系，轉(zhuǎn)換的條件就是基本方程，轉(zhuǎn)換后要解決的關(guān)鍵問題就是求解基本未知量3.1力法力法是以多余未知力為基本未知量、一般用靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以變形協(xié)調(diào)條件建立基本方程來求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算方法超靜定結(jié)構(gòu)多余約束（或多余未知力）的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)，用n表示。確定超靜定次數(shù)的方法是：取消多余約束法，即去掉超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束，使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余約束的數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。在結(jié)構(gòu)上去掉多余約束的方法，通常有如下幾種：切斷一根鏈桿，或者移去一個(gè)支座鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束；將一個(gè)固定支座改成固定鉸支座，或?qū)⑹軓潡U件某處改成鉸接，相當(dāng)于去掉一個(gè)抗轉(zhuǎn)動(dòng)約束；去掉一個(gè)聯(lián)結(jié)兩剛片的鉸，或者撤去一個(gè)固定鉸支座，相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束；將一梁式桿切斷，或者撤去一個(gè)固定支座，相當(dāng)于去掉三個(gè)約束?，F(xiàn)以圖1-26a所示一次超靜定結(jié)構(gòu)為例，說明力法的基本原理。其中，要特別重視力法的三個(gè)基本概念圖1-261、 力法的基本未知量：取超靜定結(jié)構(gòu)中的多余未知力（如圖1-26a中的X1）作為力法的基本未知量，以乂「表示。多余未知力在超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析中處于關(guān)鍵的地位，因此，有必要將其突出出來，作為主攻目標(biāo)。力法這個(gè)名稱也因此而得。2、 力法的基本體系：將原結(jié)構(gòu)中的多余約束（如圖1-26a中的支座B）去掉，所得到的無任何外加因素的結(jié)構(gòu)，稱為力法的基本結(jié)構(gòu)（圖1-26b）；基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力共同作用下的體系，稱為力法的基本體系（圖1-26c）。在基本體系中，仍然保留原結(jié)構(gòu)的多余約束反力X/只是把它由被動(dòng)力改為主動(dòng)力，因此基本體系的受力狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)完全相同。由此看出，基本體系本身既是靜定結(jié)構(gòu)（可方便計(jì)算），又可用它代表原來的超靜定結(jié)構(gòu)。因此，它是由靜定結(jié)構(gòu)過渡到超靜定結(jié)構(gòu)的一座橋梁。3、 力法的基本方程：為求多余未知力，除平衡條件外，還須補(bǔ)充新的條件，即利用原結(jié)構(gòu)的已知變形條件。在本例中，基本體系沿多余未知力X］方向的位移A】應(yīng)與原結(jié)構(gòu)支座B處的豎向位移相同，即A=01（a）由圖1-26d和e可知，變形條件（a）可表示如下：內(nèi)I=知+如=01（b）根據(jù)疊加原理，閭=鈉，于是可進(jìn)一步將變形條件寫成顯含多余未知力X］的展開形式為占11陷+ =°（1-23）這就是在線性變形條件下一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程，其實(shí)質(zhì)是變形條件（三）多次超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算對(duì)于n次超靜定的一般情形，力法的基本未知量是n個(gè)多余約束力X/X2，…，Xn；力法的基本體系是以原結(jié)構(gòu)中去掉n個(gè)多余約束，而代之以相應(yīng)的n個(gè)多余未知力后所得到的靜定結(jié)構(gòu)；力法的基本方程是在n個(gè)多余約束處的n個(gè)變形條件一一基本體系中沿多余未知力方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。在線性變形體中，根據(jù)疊加原理，n個(gè)變形條件通?？蓪憺轷?1+缶必2+…+知泥疽&+d=也1由⑶1+布光+壇Xm+M％+亳=與婦西十如&十…十論瓦十％十J十…與（1-24）式（1-24）為n次超靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等因素共同作用下力法基本方程的一般形式，因?yàn)椴徽摻Y(jié)構(gòu)是什么型式、結(jié)構(gòu)的基本未知量和基本體系怎么選取，其力法基本方程均為此形式，故常稱為力法典型方程在方程（1-24）中，系數(shù)缶和自由項(xiàng)處、內(nèi)討、d都代表基本結(jié)構(gòu)的位移。位移符號(hào)中采用雙下標(biāo)表示，第一個(gè)下標(biāo)表示位移的方位，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。例如：壽一一基本結(jié)構(gòu)在與T單獨(dú)作用下，沿當(dāng)方向的位移；色爭(zhēng)、場(chǎng)、知——基本結(jié)構(gòu)在荷載、溫度改變、支座移動(dòng)單獨(dú)作用下，沿芯方向的位移；*原結(jié)構(gòu)沿蕪方向的實(shí)際位移。解力法方程（1-24）得到多余未知力而，茶，…，Xn的數(shù)值后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可根據(jù)平衡條件求出，或根據(jù)疊加原理用下式計(jì)算：Fq=F以1X]+ 十…十尸伽瓦j十Fqp%=Fm歸+PA72-^2+■■■■*■F蹄石?^kp（1-25）式中麗、昭和標(biāo)是基本結(jié)構(gòu)由于西=1作用而產(chǎn)生的內(nèi)力，螞、以和%是基本結(jié)構(gòu)由于荷載作用而產(chǎn)生的內(nèi)力。在應(yīng)用式（1-25）第一式畫出原結(jié)構(gòu)的彎矩圖后，也可以直接應(yīng)用平衡條件計(jì)算％和明，并畫出％圖和暗圖。（四）力法解題步驟確定超靜定次數(shù)n；選擇力法的基本體系建立力法典型方程（根據(jù)基本體系沿多余未知力方向的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移相等的條件）；計(jì)算系數(shù)彘、％和自由項(xiàng)％、&、&（為此，須作出基本結(jié)構(gòu)的各單位內(nèi)力圖和實(shí)際荷載內(nèi)力圖，由相應(yīng)的位移計(jì)算公式求出）；解力法典型方程，求出基本未知量菟；作結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖（將已求出的再視為外力，根據(jù)基本體系的平衡條件，直接求內(nèi)力；或根據(jù)疊加原理，利用式（1-25）計(jì)算）；校核（一般可分兩步進(jìn)行：一是利用平衡條件校核，這是必要條件；二是根據(jù)已知變形條件校核，這是充分條件。詳見本節(jié)第五部分“超靜定結(jié)構(gòu)最終內(nèi)力圖的校核”）?！纠?-16】試用力法作圖1-27a所示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。設(shè)各桿剛度的Eh="h幽=淑A比值為2 ，了。

TTffWCE-LTTffWCE-L圖1-27/解:（1）確定超靜定次數(shù)：n=1（此結(jié)構(gòu)為一次超靜定組合結(jié)構(gòu)）。（2） 選擇力法基本體系，如圖1-27b所示。（3） 建立力法典型方程：3]1電 =0（4） 計(jì)算系數(shù)福和自由項(xiàng)％:繪出基本結(jié)構(gòu)的而圖及虬圖，并求出DB桿的軸力區(qū)跑及％（圖1-27c、d）。計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)時(shí)，對(duì)梁桿只考慮彎矩影響，對(duì)桁桿應(yīng)計(jì)算軸力影響。由位移計(jì)算公式可求得如=習(xí)亍太十￡亍El] ER占JJ￡/]_4_119=12E^虬如譬y零=A_（|,1於取01）+_2_y（-10）（一：）*4_110成（5） 解力法方程，求而：將以上跖和上計(jì)值代入力法方程，可解得A=~—=-3.7JtN.w蝠 （〔「）作內(nèi)力圖：按疊加公式M項(xiàng)區(qū)"與作原結(jié)構(gòu)彎矩圖，如圖1-27e所示。再根據(jù)彎矩圖作出剪力圖，如圖1-27f所示。再由剪力圖作出軸力圖，如圖1-27g所示?！纠?-17】試求圖1-28a所示剛架由于溫度改變所產(chǎn)生的彎矩圖。各桿截面為矩形，高度10，線膨脹系數(shù)為a。設(shè)EI=常數(shù)。圖1-28解：(1)確定超靜定次數(shù)：n=1。選擇力法基本體系，如圖1-28b所示。建立力法典型方程：近P：與-PAjt=U計(jì)算系數(shù)石和自由項(xiàng)如：繪出基本體系的同圖及再n圖，如圖1-28c、d所示。由位移計(jì)算公式可求得11^1^2 3}1^2 23JJ￡1

=12^.￡>clM/X3ol-/x101+ftlx/-flOxf［心）12 』［I.21八■=100ct-22.5tf=77.5ft（5） 解力法方程，求幻：將以上知和坷弦值代入力法方程，可解得：（U）（6） 作最終彎矩圖：姬=而iT+Mj，如圖1-28。所示。由計(jì)算結(jié)果可知，在溫度變化影響下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與各桿剛度的絕對(duì)值有關(guān)?！纠?-18】圖1-29a所示結(jié)構(gòu)的A支座發(fā)生了水平位移a=0.5cm（向右），b=1cm（向下），"頊而，已知各桿的抗彎剛度研=3.公，1加.特試?yán)L制M圖。圖1-29-解：（1）確定超靜定次數(shù)：n=1。（2）選擇力法基本體系，如圖1-29b所示。

（3）建立力法典型方程：旬忒1十知十=0（4）計(jì)算系數(shù)知和自由項(xiàng)%、蚓:繪出基本體系的而1圖及虬圖（圖1-29c、d）,并求出虛設(shè)單位力作用下的支座反力（圖1-29c），由圖乘法及支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算公式可求得1 1 -|如=亙板*細(xì)物寸4+綿4?）=2卯斗-3血/=備（如妃妃）=弘燈口-3=可亍忒=-[4x(-0.01)+1x0.01]=0.03（5）（5）解力法方程，求玉：將以上占I】、%、⑶代入力法方程，可解得（6）作最終彎矩圖：由疊加法成‘財(cái)討"虬可作出最終彎矩圖，如圖1-29e所示。（五）結(jié)構(gòu)對(duì)稱性利用利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算的前提條件是結(jié)構(gòu)必須具有對(duì)稱性，對(duì)稱結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承條件的剛度分布均對(duì)稱于某軸，該軸為結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸。對(duì)稱結(jié)構(gòu)的受力和變形特點(diǎn)是：在正對(duì)稱荷載作用下，變形是對(duì)稱的，彎矩圖和軸力圖是對(duì)稱的，而剪力圖是反對(duì)稱的；在反對(duì)稱荷載作用下，變形是反對(duì)稱的，彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱的，而剪力圖是對(duì)稱的。利用這些特點(diǎn)，計(jì)算對(duì)稱連續(xù)梁或?qū)ΨQ剛架時(shí)，只須計(jì)算這些結(jié)構(gòu)的半邊結(jié)構(gòu)，這種方法稱為等效半邊梁法或等效半剛架法。取半邊結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)計(jì)算，能降低超靜定次數(shù)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。選取半邊結(jié)構(gòu)的基本原則是：在結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸切口處，按原結(jié)構(gòu)的受力和變形設(shè)置相應(yīng)的支承，得到原結(jié)構(gòu)的等效半邊結(jié)構(gòu)。其具體作法見圖1-30（在正對(duì)稱荷載作用下）和圖1-31（在反對(duì)稱荷載作用下）。圖1-31反對(duì)稱荷載作用下的等效半剛架【例1-19】試作圖1-32a所示剛架的彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。圖1-32此結(jié)構(gòu)是一個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由于荷載是反對(duì)稱的，故取半邊結(jié)構(gòu)如圖1-32b所示（注意：將中柱的抗彎剛度減半）。再取基本體系如圖1-32c所示。建立力法典型方程如下：跖W十A比=口分別作出而1和坊圖，如圖1-32d、e所示，由圖乘法可得『1J2 、如富1 3M如=亙“心工矽網(wǎng)=屯與/代入典型方程可解得由疊加公式作半邊結(jié)構(gòu)彎矩圖，如圖1-32f由疊加公式作半邊結(jié)構(gòu)彎矩圖，如圖1-32f所示。由對(duì)稱性得原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖對(duì)稱性得原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖1-32g所示。彈性支座是指受力后將發(fā)生位移，而外力解除后位移便可消失的支座。在工程實(shí)際中，可見于支承在細(xì)長(zhǎng)柔性墩上的連續(xù)梁、橋梁中的橋面梁、建筑工程中的交叉梁樓面等實(shí)例中。彈性支座的柔度系數(shù)（通常用表示）定乂為，彈性支座在單位力與"I作用下，沿力的方向所引起的位移。例如柔性墩柱化為彈遍F性支座，其 ，其中h為墩柱的長(zhǎng)度，EA為墩柱的剛度。用力法計(jì)算具有彈性支座的結(jié)構(gòu)時(shí)，可按組合結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式計(jì)算，即￡-2 ■4-= 擊十￡2戒F通擎（1-26）式中第一項(xiàng)為彎曲變形對(duì)位移的影響，第二項(xiàng)為彈性支座本身的變形對(duì)位移的影響；芥豌、矛^和小分別為基本結(jié)構(gòu)在各單位力和荷載作用下，在各彈性支座中所產(chǎn)生的軸力，亦即等于支座反力區(qū)用、眄'和&，可對(duì)比具有彈性支座的位移計(jì)算公式（1-7）?！纠?-20】試作圖1-33a所示連續(xù)梁的彎矩圖。圖中，A、B、C處均為彈性支座，各彈簧柔度系數(shù)相同，即寸如5=『=弗1"湖曬，梁的(a)1OkNAn\]\\\11(a)1OkNAn\]\\\11IB C_23斑ElJ圖1-33解：（1）確定超靜定次數(shù)n=1。（2）選擇力法基本體系，如圖1-33b所示。（3） 建立力法典型方程：,1忒1卜八守=°繪出麗圖和虬圖，并分別求出（4） 計(jì)算系數(shù)