《自動控制原理》胡壽松002自動控制原理第二章課件

1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1傅里葉變換與拉普拉斯變換§2.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型§2.3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型§2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號流圖1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1傅里葉變換與拉普拉斯2

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是在系統(tǒng)分析和設(shè)計中首先要做的工作。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有兩種：機(jī)理分析法和實驗辨識法。

引言2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（3

依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的定律并通過理論推導(dǎo)來得到數(shù)學(xué)模型的方法。

機(jī)理分析法

實驗辨識法

給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。

數(shù)學(xué)模型有多種形式，常用的有：微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）、差分方程（離散系統(tǒng)）及狀態(tài)方程等。本章主要研究：微分方程、傳遞函數(shù)、方框圖和信號流圖。3依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的定律并通過理論41.電容2.電感3彈簧彈性力4阻尼器5牛頓定律6電機(jī)7二階方程的通解2-0預(yù)備知識—牢記一些典型時域數(shù)學(xué)模型41.電容2-0預(yù)備知識—牢記一些典型時域數(shù)學(xué)模型5§2.1傅里葉變換與拉普拉斯變換傅里葉變換自學(xué)5§2.1傅里葉變換與拉普拉斯變換傅里葉變換自學(xué)6拉氏變換及其性質(zhì)

1.定義

記X(s)=L[x(t)]

2.性質(zhì)和定理

1)線性性質(zhì)

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

6拉氏變換及其性質(zhì)72)微分定理若,則…72)微分定理若,則…8若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，3)積分定律X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…8若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各9

5)初值定理如果x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且

4)終值定理

若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，limx(t)存在，并且sX(s)除原點為單極點外，在jω軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒有其它極點，則函數(shù)x(t)的終值為：存在，則95)初值定理4)終值定理存在，則106)延遲定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)時標(biāo)變換8)卷積定理106)延遲定理8)卷積定理114.舉例

例2-3

求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。解：例2-4

求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。解：114.舉例例2-4求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變12例2-5

求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。解：

以上幾個函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。12例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變13例2-6

求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)13例2-6求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At14例2-7

求eat的拉氏變換。解:例2-8

求e

0.2t的拉氏變換。解：14例2-7求eat的拉氏變換。例2-8求e15

，求x(0)，x()。解：例2-9

若二.復(fù)習(xí)拉氏反變換

1.定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)2.求拉氏反變換的方法

①根據(jù)定義，用留數(shù)定理計算上式的積分值②查表法15，求x(0)，16

③部分分式法

一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均為實數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中p1,…,pn是

D(s)=0的根，稱為X(s)的極點。分兩種情況討論：（1）D(s)=0無重根。16③部分分式法通常m<n，a1,17式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點si處的留數(shù)。（2）D(s)=0有重根。設(shè)有r個重根p1

，則17式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點si處的留數(shù)。18（2）D(s)=0有重根。設(shè)有r個重根p1

，則18（2）D(s)=0有重根。設(shè)有r個重根p1，則19i=r+1,…,n…19i=r+1,…,n…203.舉例

例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)203.舉例例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：21的原函數(shù)x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)21的原函數(shù)x(t)。例2-11求解：s2+2s+22

的原函數(shù)x(t)。解：例2-12

求22的原函232.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

232.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

242.1基本概念

定義：數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的目的

是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。通過數(shù)學(xué)模型來研究自控系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律。

建立方法

解析法（機(jī)理模型）：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式

實驗法（實驗建模）：對系統(tǒng)施加典型測試信號（脈沖、階躍或正弦信號），記錄系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線或頻率響應(yīng)曲線，從而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率特性242.1基本概念定義：數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或252.2時域模型-微分方程2.2.1.建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟

確定元件輸入量和輸出量根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出元件的原始方程在可能條件下，對各元件的原始方程進(jìn)行適當(dāng)簡化，略去一些次要因素或進(jìn)行線性化處理消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關(guān)系的微分方程對微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量相關(guān)的各項置于等號左側(cè)，而與輸入量相關(guān)的置于等號右邊；等號左右各項均按降冪排列；將各項系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式圖2-1建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟252.2時域模型-微分方程2.2.1.建立系統(tǒng)或元26

三個基本的無源元件：質(zhì)量m,彈簧k,阻尼器f對應(yīng)三種阻礙運(yùn)動的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv

例2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。

KmfF(t)y(t)2.2.2機(jī)械平移系統(tǒng)舉例26解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：KmfF(t)27

（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即

（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（6）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形

（4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式KmfF(t)y(t)27（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即（5）將以上輔助28

2.2.3電路系統(tǒng)舉例

例2-2電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為RCur(t)

uc(t)L28令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為29

解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關(guān)系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)

uc(t)L（2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。（3）由KVL寫原始方程：i(t)29解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t30（6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為

2.2.4線性微分方程的一般特征

觀察實際物理系統(tǒng)的運(yùn)動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：30（6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令T1=L/R，T2=RC，31式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。

從工程可實現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束：

（1）方程的系數(shù)為實常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定；（2）左端的階次比右端的高,n>=m。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；（3）方程式兩端的各項的量綱應(yīng)一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。

3132

相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。上面兩個例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。比如比如令uc=q/C模擬技術(shù)：當(dāng)分析一個機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試驗的系統(tǒng)時，可以建造一個與它相似的電模擬系統(tǒng)，來代替對它的研究。32相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有33

用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時麻煩；當(dāng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對性能的影響。用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：

1)對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。

2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。2.2.5線性常系數(shù)微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1332.2.5線性常系數(shù)微分方程的求解微分方程式r(t)c34

例2-13

求解微分方程：

解：兩邊取拉氏變換

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始條件：y(0)=1,y(0)=234例2-13求解微分方程：解：兩邊取拉氏變換35

例2-14

圖示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。

解：設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。由KVL寫出電路方程

電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換RC

uruc35例2-14圖示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求36當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，

得

式中右端第一項是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0)=0時的響應(yīng)，故稱零狀態(tài)響應(yīng)；

第二項是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur(t)=0時的響應(yīng)，故稱零輸入響應(yīng)。36當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，得3737例2.15：用拉氏變換解微分方程iucurCRL3737例2.15：用拉氏變換解微分方程iucurCRL3838383839

用拉氏變換求解的優(yōu)點：1）復(fù)雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù)3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s代替,得到。當(dāng)然，階次高時，求拉氏反變換也不太容易，幸運(yùn)的是，往往并不需要求出解，可用圖解法預(yù)測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。39用拉氏變換求解的優(yōu)點：40重點建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式例如：牛頓第二定律、基爾霍夫定律、質(zhì)量守恒定律，剛體旋轉(zhuǎn)定律等建立的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式特點：方法直觀，但是微分方程的求解麻煩，尤其是高階系統(tǒng)。40重點41小偏差線性化：用臺勞級數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項。

一、假設(shè)：x,y在平衡點（x0,y0)附近變化，即

x=x0+△x,y=y0+△y二、近似處理略去高階無窮小項

嚴(yán)格地說，實際控制系統(tǒng)的某些元件含有一定的非線性特性，而非線性微分方程的求解非常困難。如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模型近似，稱為非線性模型的線性化。三、數(shù)學(xué)方法§2.2.6非線性微分方程的線性化41小偏差線性化：用臺勞級數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項。二、近42取一次近似，且令即有解：在工作點(x0,y0)處展開臺勞級數(shù)例：已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。42取一次近似，且令即有解：在工作點(x0,y0)處展開432.3.1傳遞函數(shù)的定義和實際意義

微分方程是時域中的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是采用L[]法求解微分方程時引申出來的復(fù)頻域中的數(shù)學(xué)模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。1定義

在線性定常系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱為傳遞函數(shù)，用G(S)表示。2-3控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型432.3.1傳遞函數(shù)的定義和實際意義微分方程是時44即

可見，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無關(guān)，無論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱之為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)44即可見，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路45一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進(jìn)行拉氏變換得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定義，其傳遞函數(shù)為45一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入46G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價，只是把時域變換到復(fù)頻域而已，但它是一個函數(shù)，便于計算和采用方框圖表示，廣泛應(yīng)用。其分母多項式就是微分方程的特征多項式，決定系統(tǒng)的動態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來說，它只能反應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)部分。但在工程實際當(dāng)中：1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零。2）輸入在t=0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零；對于非0初始條件時，可采用疊加原理。46G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價，47試列寫零初始條件下網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s).例2.3.1

如圖RLC電路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解:

零初始條件下取拉氏變換：傳遞函數(shù)：47試列寫零初始條件下網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s).48傳遞函數(shù)的基本概念[例2.3.2]求下圖的傳遞函數(shù)：B為虛地點，所以所以：48傳遞函數(shù)的基本概念[例2.3.2]求下圖的傳遞函數(shù)：B49傳遞函數(shù)的基本概念[總結(jié)]:

傳遞函數(shù)是由線性微分方程（線性系統(tǒng)）當(dāng)初始值為零時進(jìn)行拉氏變化得到的。

已知傳遞函數(shù)G(s)和輸入函數(shù)X(s)，可得出輸出Y(s)。通過反變換可求出時域表達(dá)式y(tǒng)(t)?？梢杂森h(huán)節(jié)的微分方程直接得出傳遞函數(shù)，只要將各階導(dǎo)數(shù)用各階s代替即可。即：49傳遞函數(shù)的基本概念[總結(jié)]:已知傳遞函數(shù)G(s)和50

2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對應(yīng)。

(b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。

(c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因為拉氏變換是一種線性變換。(d)傳遞函數(shù)描述的是一對確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對中間變量不反應(yīng)。

(e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動情況。（零狀態(tài)解）(f)傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s的有理分式，它的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。并且所有的系數(shù)均為實數(shù)。(g)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。

系統(tǒng)辨識

502.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)512.3.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認(rèn)為典型環(huán)節(jié)有6種，這些典型環(huán)節(jié),對應(yīng)典型電路。這樣劃分對系統(tǒng)分析和研究帶來很大的方便。分述如下：

自動控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來描述，任一復(fù)雜的傳遞函數(shù)G(s)，都可表示為：512.3.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)可看成是若干稱為典521.比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運(yùn)動方程式c(t)=K

r(t)

傳遞函數(shù)G(s)=K

單位階躍響應(yīng)C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。

r(t)1c(t)t0K521.比例環(huán)節(jié)r(t)1c(t)t0K5353比例環(huán)節(jié):

輸出量無滯后，按比例復(fù)現(xiàn)輸入量

電位器5353比例環(huán)節(jié):電位器5454慣性環(huán)節(jié)該環(huán)節(jié)存在儲能元件，典型慣性環(huán)節(jié)的微分方程為一階常微分方程，其特點是當(dāng)系統(tǒng)輸入有階躍變化時，系統(tǒng)輸出是由零逐漸跟上，如圖所示。(a)為系統(tǒng)的輸入變化，(b)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。輸出按單調(diào)指數(shù)規(guī)律上升.5454慣性環(huán)節(jié)55

慣性環(huán)節(jié)中因含有儲能元件，故突變的輸入信號不能立即復(fù)現(xiàn)。其運(yùn)動方程為

傳遞函數(shù)為2.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)由運(yùn)算放大器構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)55慣性環(huán)節(jié)中因含有儲能元件，故突變的輸入信號不562.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：

式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負(fù)實極點p=1/T，無零點。傳遞函數(shù)：

j

01/T單位階躍響應(yīng):562.慣性環(huán)節(jié)式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣57

階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T57階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。0tc(t)0.58積分環(huán)節(jié)積分電路3.積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的積分，其動態(tài)特性方程為

傳遞函數(shù)為58積分環(huán)節(jié)積分電路3.積分環(huán)節(jié)輸出量正比于593.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：593.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：60單位階躍響應(yīng)：

當(dāng)輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。r(t)t01c(t)t01T60單位階躍響應(yīng)：當(dāng)輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間61

微分環(huán)節(jié)RC電路4.微分環(huán)節(jié)

理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入量的導(dǎo)數(shù)成比例，即

傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)61微分環(huán)節(jié)RC電路4.微分環(huán)節(jié)62

式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，ξ

為阻尼比，n為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點：傳遞函數(shù)為：或5.二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：62傳遞函數(shù)為：或5.二階振蕩環(huán)節(jié)63單位階躍響應(yīng)：式中，β=cos－1ξ。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

063單位階躍響應(yīng)：式中，β=cos－1ξ。響應(yīng)曲線c(t)646.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數(shù)為：單位階躍響應(yīng)：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01無理函數(shù)的工程近似：AB646.延遲環(huán)節(jié)c(t)=1(t)r(t)t0652.4控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2.4.1結(jié)構(gòu)圖的基本組成

微分方程、傳遞函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，都是用純數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述系統(tǒng)特性，不能反映系統(tǒng)中各元部件對整個系統(tǒng)性能的影響。定義:

由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖又稱為方框圖、方塊圖等，既能描述系統(tǒng)中各變量間的定量關(guān)系，又能明顯地表示系統(tǒng)各部件對系統(tǒng)性能的影響。

652.4控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2.4.1結(jié)構(gòu)圖的基本組成66方框（環(huán)節(jié)）方框表示對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)輸出的象函數(shù)等于輸入的象函數(shù)乘以方框中的傳遞函數(shù)或者頻率特性信號線信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁邊標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點.綜合點（比較點）比較點表示對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算，

“＋”表示相加，“－”表示相減。進(jìn)行相加或相減的量應(yīng)具有相同的量綱單位分支點（引出點）引出點表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。66方框（環(huán)節(jié)）綜合點（比較點）672）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。信號的傳遞嚴(yán)格遵照單向性原則，對于輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨(dú)表示。

(b)對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行一定的代數(shù)運(yùn)算和等效變換，可方便地求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(c)s=0時，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動態(tài)特性。672）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：68結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟

(1)列寫每個元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。

(2)設(shè)初始條件為零，對這些方程進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。

(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。68結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟

(1)列寫每個元件的原始方69

例2-16

畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

R

C

u1

u2

解：(1)列寫各元件的原始方程式

i69RCu1u2解：(1)列寫各元件70(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)70(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將7171

結(jié)構(gòu)圖的繪制

例2.17

繪制如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。中間變量：i,i1,i2;信號量：ur,uc

根據(jù)電路定律，得到以下方程7171結(jié)構(gòu)圖的繪制例2.17繪制如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的7272

按照上述方程，可以分別繪制相應(yīng)元件的結(jié)構(gòu)圖，如圖(a)～(d)所示。然后，根據(jù)相互關(guān)系將這些結(jié)構(gòu)圖在相同信號處連接起來，就得到整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sI)(sUc1R)(1sICs)(2sI)(1sI)(2sI)(sI11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sUc1RCs)(2sI)(1sI)(sI(a)(b)(c)(d)(e)7272按照上述方程，可以分別繪制相應(yīng)元件的結(jié)構(gòu)圖，如圖73總結(jié)建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程對各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的方框圖和比較點。置系統(tǒng)輸入量于左端，輸出量于右端，便得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。從與系統(tǒng)輸入量有關(guān)的比較點開始，依據(jù)信號流向，把各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。73總結(jié)建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程74練習(xí)繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)74練習(xí)Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC75

2.4.2結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式

(1)串聯(lián)。相互間無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。

故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由圖可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)752.4.2結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式G2(s)U(s)C76

(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。

由圖有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+76(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等77C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+77C(s)=C1(s)C2(s)G1(s)78

(3)反饋連接

連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點處做加法時為正反饋，做減法時為負(fù)反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。78(3)反饋連接由圖有C(s)=79G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定義：G(s)：前向通道傳遞函數(shù)

E(s)C(s)H(s)：反饋通道傳遞函數(shù)

C(s)B(s)H(s)=1單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中負(fù)反饋時取“+”號，正反饋時取“-”號。79G(s)R(s)C(s)定義：R(s)C(s)G(s)802.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++802.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)81（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0有

（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++81（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)（3）兩個輸入量同時作用于82（4）控制輸入下的誤差傳遞函數(shù)（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++82（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個輸入量同時作用于833.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點

閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點通過定量分析，更令人信服。（1）外部擾動的抑制——較好的抗干擾能力（2）系統(tǒng)精度有可能僅取決于反饋通道的精度（3）各傳遞函數(shù)具有相同的特征方程式。動態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無關(guān)833.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點通過842.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換

變換的原則：變換前后應(yīng)保持信號等效。1.分支點后移GRCRGRC1/GR2.分支點前移GRCCGRCGC842.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換GRCRGRC1/GR2.854.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F854.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGC865分支點換位

865分支點換位876.比較點互換或合并R1CR2++R3R1CR2++R3R1CR2+R3876.比較點互換或合并R1CR2++R3R1C887相加點和分支點一般不能變位

887相加點和分支點一般不能變位892.4.4結(jié)構(gòu)圖的簡化

對于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當(dāng)需要確定系統(tǒng)的傳函時，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。892.4.4結(jié)構(gòu)圖的簡化9090注意對綜合點和分支點進(jìn)行移動位置，消除交叉回路。但在移動中一定要注意以下幾點：①必須保持移動前后信號的等效性；②相鄰綜合點可以互相換位和合并；③相鄰分支點可以互相換位；④綜合點和分支點之間一般不宜交換位置。

9090注意對綜合點和分支點進(jìn)行移動位置，消除交叉回路。但在9191

序號原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則

1串聯(lián)等效

2并聯(lián)等效

3反饋等效9191序號原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則1串聯(lián)等效2并9292

4等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移

92924等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移9393

8引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引出點（一般不采用)11負(fù)號在支路上移動

93938引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引94例2.9G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)94例2.9G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s9595例2.10：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然若不移動比較點或引出點的位置就無法化簡。H2(s)9595例2.10：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s9696首先將間的引出點后移到方框的輸出端接著將組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為H2(s)H2(s)9696首先將間的引出點后移到方框的輸出9797得到圖為然后將組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為：

H2(s)/G4(s)H2(s)9797得到圖為H2(s)/G4(s)H2(s)9898得到圖為最后將求得其傳遞函數(shù)為：H2(s)/G4(s)9898得到圖為H2(s)/G4(s)9999練習(xí)：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然化簡該結(jié)構(gòu)圖也需要移動比較點和引出點，需要注意得是，引出點和比較點之間是不宜隨便移動的。因此我們將比較點前移，將引出點后移。得到圖為9999練習(xí)：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R100100將兩個比較點合并，并將求出的等效傳遞函數(shù)：得到圖為得到系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)：100100將兩個比較點合并，并將求出1012.4.3閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)常采用反饋結(jié)構(gòu)，又稱閉環(huán)控制系統(tǒng)。通常，控制系統(tǒng)會受到兩類外作用信號的影響。一類是有用信號，或稱為輸入信號、給定值、參考輸入等，常用r(t)表示；另一類則是擾動，或稱為干擾、噪聲等，常用n(t)表示。通過對反饋控制系統(tǒng)建立微分方程模型，直接在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，可求取反饋控制系統(tǒng)的傳函。通過對反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化也能求傳函。1012.4.3閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)常采用102反饋通道傳遞函數(shù)從輸出端反送到參考輸入端的信號通道，稱為反饋通道

前向通道傳遞函數(shù)前向通道是指從輸入端到輸出端的通道102反饋通道傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù)103系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)上圖中將反饋的輸出通路斷開，反饋信號對于參考輸入信號的傳遞函數(shù)稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。這時前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。103系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)104

作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)輸出為：

作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)輸出為：104作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞105105系統(tǒng)總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各外作用引起輸出的綜合因而得到系統(tǒng)總輸出為：105105系統(tǒng)總輸出106RCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2106RCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方107方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1107方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H2108

例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。RG1G2CG3RG1G2CG3解：108例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞109RG1G2CG3RG1G2CG31/G2109RG1G2CG3RG1G2CG31/G21102.5.1信號流圖的基本概念

1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1為輸入信號(變量)；x2為輸出信號(變量)；a12為兩信號之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。信號傳遞關(guān)系函數(shù)運(yùn)算關(guān)系變量因果關(guān)系x1a12x22-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式1102.5.1信號流圖的基本概念x1a12x22-5控1112-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框圖信號流圖例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1輸入節(jié)點x4輸出節(jié)點x2，x3中間節(jié)點（混合節(jié)點）1112-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式例1:x2=112EiEEoI1II2++－－2-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式

由方框圖到信號流圖，有些中間變量可以不表示出來，如I1。有些中間變量（位于綜合點前，有輸出）必須表示出來，如Ei和E，用單位增益支路將它們分開。112EiEEoI1II2++－－2-5控制系統(tǒng)的信號流圖1132-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式G1G2RE1UYE1+－+－1-111-1RE1UE1Y1132-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式G1G2R1142-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式KMason公式：G——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的總增益（系統(tǒng)傳遞函數(shù)）

Δ=1－ΣLi+ΣLaLb-ΣLαLβLγ+…

Li

——

一個回路的總增益

LaLb——兩兩互不接觸的回路的總增益

LαLβLγ——三個互不接觸的回路的總增益Gk

——從輸入到輸出第k條通道的總增益Δk——Δ中去掉與第k條通道接觸的部分1142-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式KMason公式：115

回路——沿信號方向每一個節(jié)點只通過一次的閉路。通道——從輸入到輸出沿信號方向每個節(jié)點只通過一次的通道。接觸——指有公共的節(jié)點和支路。abcdefbe,cf

回路,becf不是回路abcd

是通道，aecd和abecd

不是

2-5控制系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式115

回路——沿信號方向每一個節(jié)點只通過一次的閉路。a116

下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32116下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。a43a1172.信號流圖的基本元素

(1)節(jié)點：用來表示變量，用符號“O”表示，并在近旁標(biāo)出所代表的變量。

(2)支路：連接兩節(jié)點的定向線段，用符號“”表示。支路具有兩個特征：

有向性限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向，用箭頭表示。

有權(quán)性限定了輸入與輸出兩個變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標(biāo)出的傳輸值(增益)表示。1172.信號流圖的基本元素118

3.信號流圖的幾個術(shù)語

節(jié)點及其類別

輸入節(jié)點(源點)

只有輸出支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。

混合節(jié)點

既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點，如圖中x2、x3。

輸出節(jié)點(匯點)

只有輸入支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x21183.信號流圖的幾個術(shù)語混合節(jié)點既有輸入支119

通道及其類別

通道從某一節(jié)點開始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。開通道如果通道從某一節(jié)點開始，終止在另一節(jié)點上，而且通道中的每個節(jié)點只經(jīng)過一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

閉通道(回環(huán))

如果通道的終點就是起點的開通道。如a23a32，a33(自回環(huán))

。119通道及其類別a33x1a12x2x3a120

前向通道

從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。

不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點和支路。4.信號流圖的基本性質(zhì)

1）信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。

2）節(jié)點表示系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點的信號之（代數(shù)）和；而從該節(jié)點流向各支路的信號，均用該節(jié)點變量表示。

3）信號在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點變量依賴于前一節(jié)點變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。

4）支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。

5）對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4120前向通道從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。a31212.5.2信號流圖的繪制方法

1.直接法

例2-19

RLC電路如圖2-28所示，試畫出信號流圖。解：(1)列寫原始方程

(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果關(guān)系RCur(t)

uc(t)Li(t)1212.5.2信號流圖的繪制方法解：(1)列寫原始方程122

(4)畫出信號流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R122(4)畫出信號流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(1232.翻譯法例2-20

畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應(yīng)的信號流圖。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)1232.翻譯法R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)124系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號流圖變量節(jié)點輸入變量源節(jié)點比較點引出點

混合節(jié)點傳輸線

方框支路輸出端匯節(jié)點124系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號流圖1252.8.3梅遜增益公式

1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街蠵—

總傳輸(增益)；

n—

從源節(jié)點至匯節(jié)點前向通道總數(shù)；

Pk—第K條前向通路的傳輸；

—信號流圖的特征式；

k—第k條前向通路特征式的余因子式1252.8.3梅遜增益公式式中P—總傳輸(增益126

線性代數(shù)方程的克萊姆法則

為所有不同回環(huán)的增益之和；

為每兩個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為每三個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。126為所有不同回環(huán)的增益之和；為每兩個互不接觸回環(huán)增益乘127

解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。x0ax8bcdefghijkm127解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道例128

例2-22

已知系統(tǒng)的信號流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。bx1gx2ax3jhci23efd

解：單回路：ac，abd，gi，ghj，

aegh

兩兩互不接觸回路：

ac與gi，ghj;abd與gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的傳輸：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab