等腰三角形中的分類討論問題

關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討所謂分類討論思想，就是在解答數(shù)學(xué)題時有時無法用同一種形式去解決，而需要選定一個標(biāo)準，根據(jù)這個標(biāo)準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想。對于分類討論問題，初中教學(xué)階段雖然沒有對此方面的教學(xué)要求，但是需要用分類討論的思想去解決的問題卻經(jīng)常遇見，華東師大版七年級下冊教材中典型的分類討論問題是在“等腰三角形”一節(jié)中，主要有由于幾何圖形性質(zhì)不明確而需分類討論的問題和幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題。下面舉例簡要論述這兩類問題：、當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論例1、(1)已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm,求周長。(2)等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm,求周長。分析：由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進行分類討論。解(1)因為8+8>10，10+10>8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時，周長為8+8+10=26；當(dāng)腰長為10時，周長為10+10+8=28；故這個三角形的周長為26cm或28cn。解(2)當(dāng)腰長為3時，因為3+3<7，所以此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時，因為7+7>3，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。注意：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形。二、當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論例2、等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)；分析：題目沒有指明“頂角是底角的4倍”，還是“底角是頂角的4倍”因此必須進行分類討論。解：(1)當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為x,則底角為4x,?4x+4x+x=1800,?x=200,?4x=800于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：20°,80°,80°。(2)當(dāng)頂角是底角的4倍時，設(shè)底角為x,則頂角為4x,??x+x+4x=180??x=30??4x=120x+x+4x=180??x=30??4x=120于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：30°,30°,詼。故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為20,80,80或30,30,詼例3例3、已知等腰三角形的一個外角等于分析：已知等腰三角形的一個外角等于150°,求它的各個內(nèi)角。150,有兩種情況：與一個底角相鄰的外角等于帖。0;與頂角相鄰的外角等于150°。因此需要分類討論；解：(1)當(dāng)頂角的外角等于150°時,則頂角=180°-150°=30°,?每個底角=(180°-頂角)-2=750;(2)當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔?50時,則每個底角=180-150=30;?頂角=180°-底角2=180°-30°2=120°;故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為30°,75°,75°或120°,30°,30°三、當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時,必須分類討論例4、等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25：求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)。分析：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”,因此必須進行分類討論,另外,還要結(jié)合圖形,分高在三角形內(nèi)還是在三角形外。解：設(shè)AB=ACBD!AC(1)高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC勺內(nèi)部，如圖1,???/DBC=25???/0=90°-/DBC=9025o=65。，/ABC/0=65，/A=180-2X650=500。(2)當(dāng)高與另一腰的夾角為25°時，①如圖2,高在△ABC內(nèi)部時，當(dāng)/ABD=25時，/A=90-/ABD=65,???/0=/ABC=(180°-/A)-2=;②如圖3,高在△ABC外部時，/ABD=25,

???/BAD=900/ABD=9&25=65°，二/BAC=1800650=1150,???/ABCMC=(1800-1150)十2=故三角形各內(nèi)角為：65°,65°,50°或65,65,或115,,。四、由腰的垂直平分線所引起的分類討論例5、在三角形ABC中，AB=ACAB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為4°求底角B的度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；如圖相交有兩種情形；如圖4,AB邊的垂直平分線與AC邊交于點圖4解：(1)D,/ADE=4：則/A=9(i-/ADE=5：vAB=AC???/B=(180-50)-2=65\(2)如圖5,AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點D,/ADE=40,則/DAE=5o)???/BACrlsbvAB=AC；/B=(180-130)十2=25"故/B的大小為65°或25°。五、由腰上的中線引起的分類討論例6等腰三角形底邊為5cm一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm求腰長。分析：如圖6,由于題目中的“一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm,沒有指明是“(AB+AD-(BC+C)還是“(BC+CD-(AB+AD”的“差為3cm'，因此必須分兩種情況討論。解：如圖6,vBD為AC邊上的中線，?…AD=CD(1)當(dāng)(AB+AD-(BC+CD=3時，貝UAB-BC=3???BC=5???AB=BC+3=；(2)當(dāng)(BC+CD-(AB+AD=3時，貝UBC-AB=3vBC=5二AB=BC-3=?但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2,2,5；而2+2V5,不合題意，舍去；故腰長為&六、幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題例7、已知CD兩點在線段AB的中垂線上，且/ACB=5：/ADBigb,求/CAD的度數(shù)。分析：由于點CD可以在線段AB的同側(cè)也可以在線段AB的兩側(cè)，因此要分兩種情況進行討論。解:(1)如圖7,當(dāng)C、D兩點在線段AB的同側(cè)時，???C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，???CA二CBACAB是等腰三角形，又celab???CE是/ACB的角平分線，???/ACEMBCE而/ACB=50，?./ACE=25,同理可得/ADE=40,???/CADMADE-/ACE=4&250=150。(2)如圖8,當(dāng)C、D兩點在線段AB的兩側(cè)時，同⑴的方法可得/ACE=25,/ADE=4C,于是/CAD=180(/ADE/ACE=180°-(4OO+25C)=1800-650=1150。故/CAD的度數(shù)為15°或115°。例8、如圖9,已知△ABC中，BC>AB>AC/ACB=40,如果DE是直線AB上的兩點，且AD=ACBE=BC求/DCE的度數(shù)。分析：因為在不等邊△ABC中，DE是直線AB上的兩點，所以點DE可以在點A的同側(cè)，也可以在點A的兩側(cè)，因此需要分類討論。解:(1)當(dāng)點DE在點A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖10,圖10圖11BE=BC???/BEC=(180°-/ABC十2,AD=AC?/ADC=(180°-/DAC十2=/BAO2,/DCE/BEC/ADC???/DCE=(1800-/ABC十2-/BAO2=(180°-/ABC-/BAC十2=/ACBH2=4C0-2=2O0。(2)當(dāng)點DE在點A的同側(cè)，且點D在D的位置，E在E'的為時，如圖11,1212--2〕與(i)類似地也可以求得DCE二/ACB2-20°。(3)當(dāng)點DE在點A的兩側(cè)，且E點在E的位置時，如圖12圖13???BE'BEC180°CBE2ABC2,=BCAD=AC???/ADC=(1800-/DAC-2=/BAO2,又???DCE1800BECADCDCE180°ABCBAC2=1800-(1800-/ACB=900+/AC&2=900+400-2=110"。(4)當(dāng)點DE在點A的兩側(cè)，且點D在D的位置時如圖13???AD=AC???ADC180°DAC21800BAC2???BE=BC