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abxyo實例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出abxyo實例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出1abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩2觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．播放觀察下列演示過程，注意當分割加細時，播放3曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，4曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為5實例2（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．實例2（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干6（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的7二、定積分的定義定義二、定積分的定義定義8被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和9注意：注意：10定理1定理2三、存在定理定理1定理2三、存在定理11曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義12幾何意義：幾何意義：13例1利用定義計算定積分解例1利用定義計算定積分解14高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細15例2利用定義計算定積分解例2利用定義計算定積分解16高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細17證明利用對數(shù)的性質(zhì)得證明利用對數(shù)的性質(zhì)得18極限運算與對數(shù)運算換序得極限運算與對數(shù)運算換序得19故故20五、小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限五、小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和21思考題將和式極限：表示成定積分.思考題將和式極限：表示成定積分.22思考題解答原式思考題解答原式23練習題練習題24高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細25練習題答案練習題答案26觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，27觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，28觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，29觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，30觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，31觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，32觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，33觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，34觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，35觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，36觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，37觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，38觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，39觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，40觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，41對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小．一、基本內(nèi)容對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性42證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)143證性質(zhì)2證性質(zhì)244補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3補充：不論的相對位置如何,上式總成立45證性質(zhì)4性質(zhì)5證性質(zhì)4性質(zhì)546解令于是解令于是47性質(zhì)5的推論：證（1）性質(zhì)5的推論：證（1）48證說明：

可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）證說明：49證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)650解解51解解52高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細53證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分54使即積分中值公式的幾何解釋：使即積分中值公式的幾何解釋：55解由積分中值定理知有使解由積分中值定理知有使56１．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）２．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大?。?、小結(jié)１．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）２．典型57思考題思考題58思考題解答例思考題解答例59練習題練習題60高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細61高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細62練習題答案練習題答案63變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為另64考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)65積分上限函數(shù)的性質(zhì)證積分上限函數(shù)的性質(zhì)證66由積分中值定理得由積分中值定理得67補充證補充證68例1求解分析：這是型不定式，應用洛必達法則.例1求解分析：這是型不定式，應用洛必達法則.69證證70高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細71證令證令72定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)73定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式74令令牛頓—萊布尼茨公式令令牛頓—萊布尼茨公式75微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.76例4求

原式例5設,求.解解例4求原式例5設77例6求

解由圖形可知例6求解由圖形可知78例7求

解解面積例7求解解面積793.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導數(shù)四、小結(jié)牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系．3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導數(shù)四、80思考題思考題81思考題解答思考題解答82練習題練習題83高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細84高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細85高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細86高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細87高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細88練習題答案練習題答案89高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細90定理一、換元公式定理一、換元公式91證證92高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細93應用換元公式時應注意:（1）（2）應用換元公式時應注意:（1）（2）94例1計算解令例1計算解令95例2計算解例2計算解96例3計算解原式例3計算解原式97例4計算解令原式例4計算解令原式98證證99高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細100奇函數(shù)例6計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積奇函數(shù)例6計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積101證（1）設證（1）設102（2）設（2）設103高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細104幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法二、小結(jié)幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法二、小結(jié)105思考題解令思考題解令106思考題解答計算中第二步是錯誤的.正確解法是思考題解答計算中第二步是錯誤的.正確解法是107練習題練習題108高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細109高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細110高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細111練習題答案練習題答案112定積分的分部積分公式推導一、分部積分公式定積分的分部積分公式推導一、分部積分公式113例1計算解令則例1計算解令則114例2計算解例2計算解115例3計算解例3計算解116例4設求解例4設117高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細118例5證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設例5證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設119積分關于下標的遞推公式直到下標減到0或1為止積分關于下標的遞推公式直到下標減到0或1為止120于是于是121定積分的分部積分公式二、小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）定積分的分部積分公式二、小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別122思考題思考題123思考題解答思考題解答124練習題練習題125高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細126練習題答案練習題答案127高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細128一、問題的提出計算定積分的方法：(1)求原函數(shù)；問題：(1)被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；(2)被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或表格給出的；(3)被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計算其原函數(shù)很困難．(2)利用牛頓－萊布尼茨公式得結(jié)果．一、問題的提出計算定積分的方法：(1)求原函數(shù)；問題：(129解決辦法：建立定積分的近似計算方法．常用方法：矩形法、梯形法、拋物線法．思路：解決辦法：建立定積分的近似計算方法．常用方法：矩形法、梯形法130二、矩形法則有二、矩形法則有131則有則有132三、梯形法梯形法就是在每個小區(qū)間上，以窄梯形的面積近似代替窄曲邊梯形的面積，如圖三、梯形法梯形法就是在每個小區(qū)間上，以窄梯形的面積近似代替窄133例１解相應的函數(shù)值為列表:例１解相應的函數(shù)值為列表:134利用矩形法公式（１），得利用矩形法公式（２），得利用矩形法公式（１），得利用矩形法公式（２），得135利用梯形法公式（３），得實際上是前面兩值的平均值，利用梯形法公式（３），得實際上是前面兩值的平均值，136四、拋物線法四、拋物線法137因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線,因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線,138高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細139于是所求面積為于是所求面積為140高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細141例２對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表所示,用拋物線法計算該圖形的面積.站號站號站號例２對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表所示,用拋物線法計算142高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細143解根據(jù)拋物線公式(4)，得解根據(jù)拋物線公式(4)，得144五、小結(jié)求定積分近似值的方法：矩形法、梯形法、拋物線法注意：對于以上三種方法當取得越大時近似程度就越好．五、小結(jié)求定積分近似值的方法：矩形法、梯形法、拋物線法注意：145練習題練習題146練習題答案練習題答案147一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分148高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細149高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細150例1計算廣義積分解例1計算廣義積分解151例2計算廣義積分解例2計算廣義積分解152證證153證證154二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分155高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細156定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分.定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分.157例5計算廣義積分解例5計算廣義積分解158證證159例7計算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.例7計算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.160例8計算廣義積分解瑕點例8計算廣義積分解瑕點161無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無窮限的廣義積分（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點）三、小結(jié)無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無窮限的廣義積分（注意：不能忽略162思考題積分的瑕點是哪幾點？思考題積分的瑕點是哪幾點？163思考題解答積分可能的瑕點是不是瑕點,的瑕點是思考題解答積分可能的瑕點是不164練習題練習題165高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細166高等數(shù)學ppt課件（完整版）詳細167練習題答案第五章習題課練習題答案第五章習題課168問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運動的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計算法牛頓-萊布尼茨公式一、主要內(nèi)容問題1:問題2:存在定理廣義積分定積分定積分定積分的牛頓-萊1691、問題的提出實例1（求曲邊梯形的面積A）1、問題的提出實例1（求曲邊梯形的面積A）170實例2（求變速直線運動的路程）方法:分割、求和、取極限.實例2（求變速直線運動的路程）方法:分割、求和、取極限.1712、定積分的定義定義2、定積分的定義定義172記為記為173可積的兩個充分條件：定理1定理23、存在定理可積的兩個充分條件：定理1定理23、存在定理1744、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)34、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3