新疆伊犁州奎屯市第一高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期12月月考文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和簡單分式不等式的解法求出集合，然后根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡出，再計算即可.【詳解】由題知，于是.故選：C3.如圖是某市連續(xù)16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢統(tǒng)計圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，則下列說法不正確的是（）A.這16日空氣重度污染的頻率為0.5B.該市出現(xiàn)過連續(xù)4天空氣重度污染C.這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為203D.這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于200【答案】D【解析】【分析】通過計算可以判斷選項ABC正確，選項D不正確.【詳解】解：這16日空氣重度污染的頻率為，故A中說法正確；12日，13日，14日，15日連續(xù)4天空氣重度污染，故B中說法正確：中位數(shù)為，故C中說法正確；.故D中說法不正確．故選：D4.下列四個命題中真命題的序號是（）①“”是“”的充分不必要條件；②命題：“，”，命題“：，”，則為真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的逆否命題是真命題；A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】B【解析】【分析】對于①，利用充分條件和必要條件的定義判斷，對于②，先判斷命題的真假，再判斷的真假，對于③，全稱命題否定不特稱命題即可，對于④，由原命題的真假判斷逆否命題的真假【詳解】對于①，當時，，而當時，或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以①正確，對于②，因為時，，所以命題為真命題，因為的最大值為，所以命題假命題，所以為假命題，所以②錯誤，對于③，命題“，”的否定是“，”，所以③正確，對于④，當時，，所以命題“若，則”為假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以④錯誤，故選：B5.函數(shù)的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性和當時可選出答案.【詳解】由，得，則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱，排除A，B，當時，排除C，故選：D.6.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點時，此時直線在軸上的截距最小，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為.故選：B.7.若，，成等差數(shù)列，則的值等于A.1 B.0或 C. D.【答案】D【解析】【詳解】故選D8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A.32 B.34 C.36 D.38【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中的三視圖可知，該幾何體是由一個長、寬均為2，高為4的長方體截去一個長、寬均為1，高為4的長方體后剩余的部分，利用面積公式即可求解．【詳解】根據(jù)題中的三視圖可知，該幾何體是由一個長、寬均為2，高為4的長方體截去一個長、寬均為1，高為4的長方體后剩余的部分，所以該幾何體的表面積為，故選D．【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用，及空間幾何體的標間的計算，其中根據(jù)給定的幾何體的三視圖，還原得到空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，在利用面積公式準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題干可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，通過題干中的條件可求得的通項公式，代入數(shù)列中，利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，又，所以；則；所以.故選：D.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且在上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件先求出的值，結(jié)合在上恰有一個最大值和一個最小值，求出滿足條件的解.【詳解】由題意知，根據(jù)函數(shù)的部分圖象，因為，且，所以，又因為，所以，所以，解得：，故選：B.11.已知點P在曲線y上，a為曲線在點P處切線的傾斜角，則a的取值范圍A.（0，] B.[，） C.（，] D.[，π）【答案】A【解析】【分析】由切線斜率為切點處的導(dǎo)函數(shù),先求導(dǎo)可得,設(shè)t=ex＞0,則,設(shè)f（t）,即可求得的范圍,則可得的范圍,由,進而求得的范圍.【詳解】由題意得,令t=ex＞0,所以導(dǎo)函數(shù)為:①,令f（t）,t＞0,已知該函數(shù)在（0,1）上遞減,在（1,+∞）上遞增,∴f（x）min=f（1）=4,且x→0或x→+∞時,f（x）→+∞,所以①式中∈（0,1],設(shè)直線的傾斜角為a,故0＜tana≤1=tan,結(jié)合a∈[0,π）,且y=tanx在[0,）遞增,所以,故選:A【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求切線的傾斜角的范圍,考查運算能力.12.如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動.設(shè)頂點的軌跡方程是，在其兩個相鄰零點間的圖像與軸所圍區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先分析函數(shù)的周期性，再分析點的運動軌跡，從而得解.【詳解】從某一個頂點（比如）落在軸上的時候開始計算，到下一次點落在軸上，這個過程中四個頂點依次落在了軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4.下面考查點的運動軌跡，不妨考查正方形向右滾動，點從軸上開始運動的時候，首先是圍繞點運動個圓，該圓半徑為1，然后以點為中心，滾動到點落地，其間是以為半徑，旋轉(zhuǎn)，然后以為圓心，再旋轉(zhuǎn)，這時候以為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若一個圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為__________．【答案】##【解析】【分析】由側(cè)面積是底面積的倍求母線長，進而可以得高，然后可得體積.【詳解】因為側(cè)面積是底面積的倍，所以，所以，因此高為，所以圓錐的體積為.故答案為：14.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性列絕對值不等式求解即可.【詳解】由題意可得，故，解得.故答案為：15.在三棱錐中，底面ABC，，則此三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的外接球就是以為棱的長方體的外接球可求得結(jié)果.【詳解】因為底面ABC，所以，，又，所以三棱錐的外接球就是以為棱的長方體的外接球，其直徑為長方體的對角線，因為，，所以外接球的直徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三棱錐的外接球就是以為棱的長方體的外接球求解是解題關(guān)鍵.16.已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是___________【答案】【解析】【分析】設(shè)切點為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可把、用表示，從而可表示為關(guān)于的函數(shù)，再引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即得詳解】由可得，設(shè)切點為，則，所以曲線在切點處的切線方程為，整理得，所以，令，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故，則取值范圍是，故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中為直角坐標平面上的點.對任意三點共線.（1）求數(shù)列通項公式；（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標表示：，整理得，即可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項公式運算求解；（2）根據(jù)裂項相消求和，，代入運算理解．【小問1詳解】由題意得：，三點共線，則，可得，即.數(shù)列是首項為1公差為1的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】，所以18.已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足.（1）若a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，求a；（2）記△ABC的周長為L，求證：.【答案】（1）3（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊換角得到，再利用余弦定理即可得到值；（2）證法一：根據(jù)正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)的范圍即可證明；證法二：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，即可證明.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，所以.又，且，即，所以，故.因為成公差為2的等差數(shù)列，所以，又，所以，解得或（舍）.【小問2詳解】證法一：由（1）知，所以，，，又，所以，所以當，即時，，所以.證法二：由（1）知，所以（當且僅當時等號成立），所以，所以，故.19.某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰螅緦⒔o予適當金額的購車補貼．某調(diào)研機構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．（1）求實數(shù)的值；（2）估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)；（精確到0.01）（3）現(xiàn)在要從購車補貼金額的心理預(yù)期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行調(diào)查，求抽到2人中購車補貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．【答案】（1）；（2）平均數(shù)的估計值為3.5萬元，中位數(shù)的估計值為3.33萬元；（3）.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖所有頻率和為1可求得；（2）利用頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值乘以相應(yīng)頻率相加可求得平均數(shù)，判斷中位數(shù)對應(yīng)的區(qū)間，求出頻率0.5對應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）先算出從購車補貼金額心理預(yù)期值在的6人中，在間的有4人，然后根據(jù)列舉法列出所有可能的基本事件15種，選出都在預(yù)期值間的情況6種，利用古典概型公式計算即可?！拘?詳解】由題意知，，解得．【小問2詳解】平均數(shù)的估計值為萬元因為，則中位數(shù)在區(qū)間（3，4）內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為，則，得，所以中位數(shù)的估計值為3.33萬元．【小問3詳解】從購車補貼金額的心理預(yù)期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補貼金額的心理預(yù)期值在[3，4）間的有4人，記為a，b，c，d，購車補貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，則基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15種情況．其中購車補貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種情況，所以抽到2人中購車補貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間的概率．20.如圖，在三棱柱中，，，，平面.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)平面得到，再根據(jù)為等腰直角三角形得到，從而平面.（2）利用可得所求距離.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以.因為，，所以，又，所以平面.（2）設(shè)點到平面的距離為，因為平面，所以，.則，，又，所以是等邊三角形，故.，.所以.【點睛】線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.而面面垂直的證明可以通過線面垂直得到，也可以通過證明二面角是直二面角.點到平面的距離的計算可利用面面垂直或線面垂直得到點到平面的距離，也可以根據(jù)等積法把點到平面的距離歸結(jié)為一個容易求得的幾何體的體積.21.已知函數(shù).（1）討論的極值點的個數(shù)；（2）若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.【答案】(1)時，有一個極值點；當時，有兩個極值點.(2)或或【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，討論的解是否在，在時判斷解左右的導(dǎo)數(shù)符號，確定極值點的個數(shù).（2）利用（1）所求，對a討論，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，應(yīng)用零點存在定理判斷何時方程在上有且只有一個實根.【詳解】（1）的定義域為，.由得或.當時，由得，由得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，無極大值；當，即時，由得，或，由得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，在處取得極大值.綜上，當時，有一個極值點；當時，有兩個極值點.（2）當時，設(shè)，則在上有且只有一個零點.顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的.①當時，由（1）知函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，所以在上的最小值為，由于，要使在上有且只有一個零點，需滿足或，解得或.②當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，∴當時，總有.∵，∴，又∴在上必有零點.∵在上單調(diào)遞增，∴當時，在上有且只有一個零點.綜上，當或或時，方程在上有且只有一個實根.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)性，恰當取值滿足零點存在定理是關(guān)鍵，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化問題的能力及計算能力，屬于難題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點，，求的值.【答案】(1)曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的