湖南省長(zhǎng)沙市育紅中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市育紅中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬(wàn)斤；銷售額的單位：萬(wàn)元，a是常數(shù)），若種植2萬(wàn)斤，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（

）A.8萬(wàn)斤 B.6萬(wàn)斤 C.3萬(wàn)斤 D.5萬(wàn)斤參考答案：B【分析】銷售的利潤(rùn)為，利用可得，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得利潤(rùn)的最大值.【詳解】設(shè)銷售的利潤(rùn)為，由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤(rùn)最大，故選B.【點(diǎn)睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．3.過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：C5.觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）參考答案：A【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其規(guī)律，我們可以歸納推斷出，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；（x4）'=4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；（cosx）'=﹣sinx中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；…我們可以推斷，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又∵g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（x）奇函數(shù)故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故選A．6.與命題“若則”的等價(jià)的命題是

（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則參考答案：D略7.某學(xué)校高中部組織赴美游學(xué)活動(dòng)，其中高一240人，高二260人，高三300人，現(xiàn)需按年級(jí)抽樣分配參加名額40人，高二參加人數(shù)為A.12

B.13

C.14

D.15參考答案：B8.如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正確的是 （)．參考答案：A略9.“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）A．充而分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，及橢圓的定義，我們分別判斷“m＞n＞0”?“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)“m＞n＞0”時(shí)”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”成立，即“m＞n＞0”?”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”為真命題，當(dāng)“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”時(shí)“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”也為真命題，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．10.直線的斜率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.14．曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；③若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于.其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是

.參考答案：②③12.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：則的值為

.X1234P參考答案：13.從,這七個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同數(shù)字作為二次函數(shù)的系數(shù)則可組成不同的函數(shù)_______個(gè),其中以軸作為該函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸的函數(shù)有______個(gè)參考答案：

解析：

，；14.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________________參考答案：略15.已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)為

__；參考答案：416.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：有如下運(yùn)算和結(jié)論：①a24＝；②數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數(shù)列；③數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項(xiàng)和為；④若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝.其中正確的結(jié)論有________．(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)參考答案：①③④17.設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1∶PF2＝2∶1，則△PF1F2的面積等于

．

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）令分母xex+1=g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：x=﹣1時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值，g（﹣1）＞0．可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．f′（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．h′（x）=ax（x﹣）ex．對(duì)a分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（1）令分母xex+1=g（x），可得：g′（x）=ex（1+x），可得x=﹣1時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．f′（x）=，可得x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＞0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，f（0）=1．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．則h′（x）=ax（x﹣）ex．①a≥時(shí)，h′（x）=ax2ex＞0，函數(shù)h（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（0）=0，滿足條件．②0＜a＜時(shí)，函數(shù)h（x）在x=處取得極小值即最小值，x∈時(shí)單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（0）=0，不滿足條件，舍去．綜上可得：正實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19.已知正方形的中心為直線x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交點(diǎn)，一條邊所在的直線方程是x+3y﹣5=0，求其他三邊所在直線的方程．參考答案：【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程．【專題】計(jì)算題；待定系數(shù)法；直線與圓．【分析】根據(jù)兩條直線相交求出正方形的中心C的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的一條邊所在的方程設(shè)出其它三邊的直線方程，再由C到正方形四條邊的距離相等列出方程，求出直線方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得，所以正方形中心C的坐標(biāo)為（﹣1，0）．點(diǎn)C到直線x+3y﹣5=0的距離d==．設(shè)與x+3y﹣5=0平行的一邊所在直線的方程是x+3y+m=0（m≠﹣5），則點(diǎn)C到直線x+3y+m=0的距離d==，解得m=﹣5（舍去）或m=7，所以與x+3y﹣5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0．設(shè)與x+3y﹣5=0垂直的邊所在直線的方程是3x﹣y+n=0，則點(diǎn)C到直線3x﹣y+n=0的距離d==，解得n=﹣3或n=9，所以與x+3y﹣5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x﹣y﹣3=0和3x﹣y+9=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線平行與垂直故選的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．20.設(shè)數(shù)列滿足．（Ⅰ）求；（II）由（I）猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；參考答案：解：（1）由，得……………2分由，得，……………4分由，得……………………6分（2）由（1）猜想…………………7分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)時(shí)，，猜想成立；………………8分②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，…9分那么當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立………12分由①②知，對(duì)于任意都有猜想成立…………13分

略21.（本小題12分）數(shù)列是等差數(shù)列、數(shù)列是等比數(shù)列。已知，點(diǎn)在直線上。滿足。（1）求通項(xiàng)公式、；（2）若，求的值。參考答案：解：（1）