線性代數(shù)緒論分析課件

LinearAlgebra

Exordium線性代數(shù)

緒論LinearAlgebra

Exordium線性代1這節(jié)課我們主要解決以下三個問題：1、什么是線性代數(shù)？2、為什么要學線性代數(shù)？3、怎么做才能學好線性代數(shù)？這節(jié)課我們主要解決以下三個問題：1、什么是線性代數(shù)？2、為什

一、什么是線性代數(shù)？（一）線性線性linear，指量與量之間按比例、成直線的關系線性就是一次，只有數(shù)乘和加減線性就是變量都是一次的，沒有變量之間的乘法一元線性函數(shù)在平面直角坐標系中的關系描述為一條直線，所以把這種函數(shù)形象地稱為“線性”函數(shù)，顯然，過原點的直線是最簡單的線性函數(shù)。一、什么是線性代數(shù)？（一）線性線性linear，指量與量之對于線性問題，將含變量的項放在等式的一端，不含變量的項放在另一端；若不含變量的項為零，則稱為齊次線性問題，否則，稱為非齊次線性問題。非齊次線性非線性非齊次線性齊次線性非線性對于線性問題，將含變量的項放在等式的一端，不含變量的

代數(shù)學的英文名稱是algebra，是9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原與對消的科學”。什么叫做對消，大家知道的有正負對消，就是解方程時所謂的移項，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的x把它暴露出來，還原了x的本來面目，所以方程是和代數(shù)緊密聯(lián)系的，所以我們一說到代數(shù)，就會聯(lián)系到解方程?！按鷶?shù)”這一詞在我國出現(xiàn)較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學”，一直沿用至今。（二）代數(shù)代數(shù)學的英文名稱是algebra，是9世紀阿拉伯3、已知一個變化著的圓的直徑，試寫出它的面積。請大家嘗試做如下三件事：1、試用等式一般地表示加法交換律2、試用算式直接表示：5加上什么數(shù)等于3；實際問題向“表示數(shù)的數(shù)字”提出了挑戰(zhàn)。

要表示任意的數(shù)、未知（待求）的數(shù)、變化的數(shù)，數(shù)字就無能為力了。因為它們只能表示單個的數(shù)、已知的數(shù)、固定的數(shù)。3、已知一個變化著的圓的直徑，試寫出它的請大家嘗試做如下三件于是人們被迫用文字詞匯、用問號“？”表示數(shù)。

但這樣既零亂又難寫，于是人們希望用統(tǒng)一的、簡單好寫的符號表示這些數(shù)。

于是想到字母……沒想到這個小小的無奈之舉，竟然是種瓜得豆:

先是須研究代數(shù)式（從而導致代數(shù)學）

進而有代換、迭代（字母代式），有變化、聯(lián)系（函數(shù)的研究），進一步是整個數(shù)學的符號化、抽象化、形式化最后，再拓展字母所代表的事物：圖形、集合、法則……直到抽象的元素，使數(shù)學高速發(fā)展。

于是人們被迫用文字詞匯、用問號“？”表示數(shù)?？梢?，由小小的“字母代數(shù)”這個舉措，及由它的發(fā)展形成的“代數(shù)思想”，實在是太重要了。

所以說人類記數(shù)的高級階段是用字母表示數(shù)。

用文字代表數(shù)，即設某量為x這樣的做法,只是運用代數(shù)方法的第一步。它后面進一步的是“式”的運算，有“式”參與運算就是代數(shù)。

代數(shù)是用抽象的字母代替具體的數(shù)字進行運算分析，因此，抽象是代數(shù)的特點，學好代數(shù)可以發(fā)展抽象化形式化的思想和運用數(shù)學符號運算推理的能力。可見，由小小的“字母代數(shù)”這個舉措，及由

歷史上《線性代數(shù)》的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數(shù)這一學科的誕生與發(fā)展。

另外，近現(xiàn)代數(shù)學分析與幾何學等數(shù)學分支的要求也促使了《線性代數(shù)》的進一步發(fā)展。線性代數(shù)研究的都是線性問題（加法和數(shù)乘）歷史上《線性代數(shù)》的第一個問題是關于解線另外（一）線性方程組：求解線性方程組是數(shù)學問題中最重要的問題，超過75%的科學研究和工程應用中的數(shù)學問題，在某個階段都涉及線性方程組的求解。

早在公元2世紀之前，我國的《九章算術(shù)》一書中就有介紹線性方程組的章節(jié)“方程章”。書中的方程組是用算籌布列的，可以看作最古老的矩陣。書中的解法與現(xiàn)在的加減消元法相仿。這是人類歷史上最早出現(xiàn)的線性方程組。二、為什么要學線性代數(shù)：（一）線性方程組：求解線性方程組是數(shù)學問題中最重要的例1：求解線性方程組（1）利用消去法來求解：第二個方程減去第一個方程乘以2后，原方程組變?yōu)椋壕€性方程組的求解我們在中學甚至小學就已經(jīng)開始學習，可能大家覺得是一件非常簡單的事情。沒什么值得再研究學習的，是這樣的嗎？例1：求解線性方程組（1）利用消去法來求解：第二個方程減去第由第二個方程可直接得到：將其代入第一個方程可得：將方程組(1)中第二個方程中的第二個未知量的系數(shù)改為4，可得到下述方程組：（2）

用相同的處理方法可得到：由第二個方程可直接得到：將其代入第一個方程可得：將方程組則該方程組的解可取作：……該方程組有無窮多的解；再將方程組（2）的第二個方程右端項的6改為4，即：

（3）

還用相同的處理方法可得：無解則該方程組的解可取作：……該方程組有無窮多的解；再將方程組將方程組（3）的第二個方程右端項的4改為不等于6的任意常數(shù)a

（代數(shù)化）

,

即：

（4）

還用相同的處理方法可得：兩個未知量不論怎么取值，方程組都不可能成立，即該方程組也無解。將方程組（3）的第二個方程右端項的4改為（代數(shù)化）,即：這就迫使我們研究方程組在什么情況下有解，什么情況下無解，有解的話在什么情況下有唯一解什么情況下有無窮多解？要進行一般的討論，就需要將方程組進一步“代數(shù)化”即系數(shù)和等式右端項用一般的字母代替后，即為求解下面的問題：例2：求解線性方程組這就迫使我們研究方程組在什么情況下有解，還用消元法來求解：首先,假設,

,將第二個方程里的系數(shù)化為零，，即，此時原方程組變?yōu)椋?/p>

假設第二個方程里未知量的系數(shù)不為零，則從第二個方程可得：還用消元法來求解：首先,假設,,將第二個方程里的系數(shù)化為零利用相同的原理，可將第一個方程中的系數(shù)化為零，從而可得：我們把上述兩個解稱作代數(shù)解。在這個問題的求解過程中，我們做了兩個假設，得到了方程組的解。那么如果假設不成立呢？是不是有解？有的話是唯一解還是無窮多解？（回過頭來分析一下剛才的四個方程組）利用相同的原理，可將第一個方程中的系數(shù)化為零，從而可得：我們對于線性方程組我們主要研究三個問題:

例子中方程組有兩個未知量，那如果有五個，十個，一百個…把未知量的個數(shù)再代數(shù)一下，n個未知量呢？1、是否有解?2、有唯一解還是有無窮多解?3、有無窮多解的話通解怎么表示?(通解是指線性方程組所有解的代數(shù)表示)對于線性方程組我們主要研究三個問題:例子中方看圖61632135101189712415141每一行之和為34，每一列之和為34，對角線之和為34，小方格里數(shù)字之和為34，四個角上的數(shù)字之和為34.該魔方出現(xiàn)在德國著名藝術(shù)家杜勒1514年創(chuàng)造的版畫上.看圖6163213510118971一般4階杜勒魔方：行和=列和=對角線之和=四個小方格數(shù)字之和=四個角上的數(shù)字之和問你會寫出一個4階杜勒魔方嗎？4階杜勒魔方有多少個？如何構(gòu)造出所有杜勒魔方？一般4階杜勒魔方：行和=列和=對角線之和=四個小方格數(shù)字之和中學代數(shù)和線性代數(shù)多項式代數(shù)中學代數(shù)和線性代數(shù)多項式代數(shù)行列式理論克萊姆法則行列式理論克萊姆法則矩陣理論n維向量、n維向量空間矩陣理論n維向量、n維向量空間（二）行列式：近代線性方程組的研究是在1678年由萊布尼茲開創(chuàng)的；

行列式的概念最早則是由日本數(shù)學家關孝和在

1683年提出來的；

1693年，萊布尼茲使用指標數(shù)的系統(tǒng)集合來表示方程組的系數(shù)，并得到現(xiàn)在稱為結(jié)式的一個行列式。

1750年，瑞士數(shù)學家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了由系數(shù)行列式來確定線性方程組解的克萊姆法則。（二）行列式：近代線性方程組的研究是在1678年由萊

1815年，法國數(shù)學家柯西首先提出行列式這個名稱，第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙重足標標記法；1841年，英國數(shù)學家凱萊首先創(chuàng)用了行列式記號∣∣。1815年，法國數(shù)學家柯西首先提出行列式這

在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數(shù)學家范德蒙，1772年，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是行列式理論的奠基人。

同年，法國數(shù)學家拉普拉斯在《對積分和世界體系的探討》中，證明了范德蒙的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用r階子式及其余子式來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。

1841年，雅可比給出了當行列式的元素是t的函數(shù)時，它的導數(shù)公式，引出了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式。在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論同年，（三）矩陣：

用行列式只能討論線性方程組中方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的情況，這對線性方程組的解的研究來說有很大的局限性。

1850年西爾威斯特首先提出矩陣的概念，1858年卡萊建立了矩陣的運算法則。利用矩陣來研究線性方程組的解得到了很大的發(fā)展。

在此基礎上，矩陣的相關理論也得到了長足的發(fā)展。矩陣論也逐漸成為數(shù)學的一個重要分支。哈密爾頓、夫羅貝紐斯、約當、梅茨勒等人對矩陣論都作出了出色的工作。（三）矩陣：用行列式只能討論線性方程組中方程個數(shù)和未

矩陣相關理論知識在解決實際問題中也發(fā)揮著越來越重要的作用：用矩陣知識可以做投入產(chǎn)出分析、價格矩陣、產(chǎn)銷矩陣及破譯密碼、編寫復雜的密碼等方面應用；數(shù)字圖像處理的實質(zhì)就是矩陣的運算，每一幅灰度圖像就對應著一個矩陣；著名的搜索引擎Google則應用了矩陣的特征值和特征向量理論；矩陣相似于對角陣的理論是機械振動、線性電路分析及自動控制理論中不可缺少的工具。矩陣相關理論知識在解決實際問題中也發(fā)揮著用矩陣知識可

1990年美國在合理利用與濫用太平洋的西北部大面積森林問題上，北方的斑點貓頭鷹成為一個爭論的焦點。環(huán)境保護學家試圖說服聯(lián)邦政府如果采伐原始森林的行為得不到制止的話，貓頭鷹將瀕臨滅絕的危險，因為貓頭鷹喜好在那里居??；而木材行業(yè)卻說，如果政府出臺制止伐木政策的話，預計將失去3萬到10萬個工作崗位。最終由數(shù)學家進行調(diào)研，采用了矩陣的特征值特征向量的方法給予解決。1990年美國在合理利用與濫用太平洋的西北部（四）向量、向量組、向量空間：對矩陣的進一步分析研究產(chǎn)生了向量的相關理論，有了向量，向量組，向量空間的相關概念知識后，得以使我們將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來。進一步的，我們可以對代數(shù)有了直觀的理解。這種關系在我們學過相關知識后會有一個更清晰的認識。綜上所述，我們可以得到這樣的結(jié)論：《線性代數(shù)》，不僅僅是用來研究線性方程組的求解的，而且還是其他很多研究工作的研究工具。（四）向量、向量組、向量空間：對矩陣的進一步分析研究三、怎么做才能學好線性代數(shù)：（一）學好《線性代數(shù)》要注意的幾點問題：1、線性代數(shù)是大學幾門數(shù)學里相對來說最容易的，這門課對數(shù)學的基礎要求很低，