復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分1第1頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,2第2頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.3第3頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2.積分的定義:4第4頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(5第5頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于定義的說明:6第6頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月二、積分存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,7第7頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月8第8頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)線積分的存在定理,9第9頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時(shí),10第10頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月在形式上可以看成是公式11第11頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月三、復(fù)積分的基本性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式12第12頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]13第13頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解根據(jù)估值不等式知14第14頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月15第15頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月四、復(fù)積分的計(jì)算方法16第16頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.17第17頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-1解直線方程為18第18頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)19第19頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x20第20頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x21第21頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為22第22頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-3解積分路徑的參數(shù)方程為23第23頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).24第24頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解積分路徑的參數(shù)方程為25第25頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月五、小結(jié)與思考本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.26第26頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)柯西定理與柯西公式一、柯西定理二、牛頓-萊布尼茲公式三、復(fù)合閉路定理四、柯西積分公式五、高階導(dǎo)數(shù)公式27第27頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月一、柯西定理觀察上節(jié)例1,此時(shí)積分與路線無關(guān).觀察上節(jié)例4,28第28頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察上節(jié)例5,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.29第29頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-2柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.30第30頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.31第31頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解根據(jù)柯西－古薩定理,有32第32頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解根據(jù)柯西－古薩定理得33第33頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月34第34頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-3由定理3-2可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)二、復(fù)積分的牛頓萊布尼茲公式35第35頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月36第36頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-4證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.37第37頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月由于積分與路線無關(guān),38第38頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月39第39頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月由積分的估值性質(zhì),40第40頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]41第41頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月原函數(shù)的概念定義3-1:原函數(shù)之間的關(guān)系:證42第42頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]43第43頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月不定積分的定義:定理3-5(復(fù)積分牛頓-萊布尼茲公式)44第44頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.45第45頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月典型例題例解由牛頓-萊布尼茲公式知,46第46頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)47第47頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月三、復(fù)合閉路定理1.閉路變形原理︵︵48第48頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月︵︵︵︵︵︵︵︵49第49頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月得︵︵︵︵50第50頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).51第51頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復(fù)合閉路定理3-6那末52第52頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月53第53頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月典型例題例解依題意知,54第54頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)復(fù)合閉路定理,55第55頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,56第56頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月四、柯西積分公式根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個(gè)值.57第57頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月58第58頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-8證59第59頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月60第60頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分值為零時(shí)才有可能.[證畢]柯西積分公式61第61頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.62第62頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題例解63第63頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月由柯西積分公式64第64頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解由柯西積分公式65第65頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解由柯西積分公式66第66頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)答案67第67頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月五、高階導(dǎo)數(shù)公式問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?68第68頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-9證69第69頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得70第70頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月71第71頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月72第72頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月再利用以上方法求極限73第73頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.74第74頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月典型例題例解75第75頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月76第76頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)復(fù)合閉路定理77第77頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月78第78頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解79第79頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月80第80頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得81第81頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月82第82頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)答案