大學(xué)物理學(xué)上冊(cè)(趙近芳)第2章習(xí)題解答

大學(xué)物理學(xué)上冊(cè)(趙近芳)第2章習(xí)題解答2.1選擇題(1)一質(zhì)量為M的斜面原來(lái)靜止于水平光滑平面上，將一質(zhì)量為m的木塊輕輕放于斜面上。如果此后木塊能靜止于斜面上，則斜面將保持靜止。(5)質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過(guò)一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)。如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為aA<0，aB=0。(3)對(duì)功的概念有以下幾種說(shuō)法：①保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢(shì)能增加。②質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零。③作用力與反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。在上述說(shuō)法中，只有②是正確的。2.2填空題(1)某質(zhì)點(diǎn)在力F=(4+5x)i(SI)的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)。在從x=0移動(dòng)到x=10m的過(guò)程中，力F所做功為290J。(2)質(zhì)量為m的物體在水平面上作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為v時(shí)僅在摩擦力作用下開(kāi)始作勻減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)距離s后速度減為零。則物體加速度的大小為v^2/(2s)，物體與水平面間的摩擦系數(shù)為v^2/(2gs)。(3)在光滑的水平面內(nèi)有兩個(gè)物體A和B，已知m_A=2m_B。（a）物體A以一定的動(dòng)能Ek與靜止的物體B發(fā)生完全彈性碰撞，則碰撞后兩物體的總動(dòng)能為Ek。（b）物體A以一定的動(dòng)能Ek與靜止的物體B發(fā)生完全非彈性碰撞，則碰撞后兩物體的總動(dòng)能為2Ek/3。2.3在下列情況下，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)所受合力的特點(diǎn)：（1）質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合力為零；（2）質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，所受合力為大小、方向均保持不變的力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反；（3）質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受合力為向心力；（4）質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，所受合力為向心力和切向力的合力。2.4舉例說(shuō)明以下兩種說(shuō)法是不正確的：(1)物體受到的摩擦力的方向總是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反；(2)摩擦力總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的。解：(1)例如，人走路時(shí)，所受地面的摩擦力與人的運(yùn)動(dòng)方向相同；(2)當(dāng)車(chē)作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，放在車(chē)上的物體受到車(chē)子對(duì)它的摩擦力，該摩擦力是引起物體相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的原因。2.5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是什么？在什么情況下，即使外力不為零，也可用動(dòng)量守恒定律近似求解？解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零。當(dāng)系統(tǒng)只受有限大小的外力作用，且作用時(shí)間很短時(shí)，有限大小外力的沖量可忽略，故也可用動(dòng)量守恒定律近似求解。2.6在經(jīng)典力學(xué)中，下列哪些物理量與參考系的選取有關(guān)：質(zhì)量、動(dòng)量、沖量、動(dòng)能、勢(shì)能、功？解：在經(jīng)典力學(xué)中，動(dòng)量、動(dòng)能、勢(shì)能、功與參考系的選取有關(guān)。2.7一細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為$m_1$的物體，另一邊穿在質(zhì)量為$m_2$的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)?，F(xiàn)看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度$a'$下滑。求$m_1$，$m_2$相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力（繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)）。解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為$a_1$，其對(duì)于$m_2$則為牽連加速度，又知$m_2$對(duì)繩子的相對(duì)加速度為$a'$，故$m_2$對(duì)地加速度為$a_2=a_1-a'$。由圖(b)可知，$a_2=a_1-a'$，即$a_1=\frac{a_2+a'}{2}$。又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力$f$在數(shù)值上等于繩的張力$T$，由牛頓定律，有$m_1g-T=m_1a_1$，$T-m_2g=m_2a_2$。聯(lián)立上述式子，得到$m_1$和$m_2$相對(duì)于地面的加速度分別為$\frac{m_2g-m_1a'}{m_1+m_2}$和$\frac{m_1g-m_2a'}{m_1+m_2}$，繩的張力為$\frac{1}{2(m_1+m_2)}(2m_1m_2g-(m_1+m_2)m_2a')$，柱體與繩子間的摩擦力為繩的張力。特別地，當(dāng)$a'=0$時(shí)，$a_1=a_2$，表示柱體與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；當(dāng)$a'=2g$時(shí)，$T=f=0$，表示柱體與繩之間無(wú)任何作用力，此時(shí)$m_1$和$m_2$均作自由落體運(yùn)動(dòng)。2.8一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定斜面上沿著斜面運(yùn)動(dòng)，斜面的傾角為α，初速度為v，且v的方向與斜面底邊的水平線AB平行。我們需要求出這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：當(dāng)物體置于斜面上時(shí)，它會(huì)受到重力mg和斜面支持力N的作用。我們建立坐標(biāo)系，取v方向?yàn)閄軸，平行斜面與X軸垂直方向?yàn)閅軸。如題2.8圖所示。根據(jù)力學(xué)原理，我們可以得到以下公式：X方向：Fx=x=vt①Y方向：Fy=mgsinα=ma②根據(jù)①和②式，我們可以消去時(shí)間t，得出運(yùn)動(dòng)軌跡方程：y=1/2gsinαx^2/v^22.9一個(gè)質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)受到一恒力的作用，力的分量為fx=6N，fy=-7N。當(dāng)t=0時(shí)，x=y=0，vx=-2m/s，vy=？我們需要求出當(dāng)t=2s時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的(1)位矢；(2)速度。解：根據(jù)牛頓第二定律，我們可以求出加速度：ax=fx/m=6/16=3/8m/s^2ay=fy/m=-7/16m/s^2根據(jù)加速度和初速度，我們可以求出速度：vx'=vx+∫axdt=-2+3/8*2=-1/4m/svy'=vy+∫aydt=-7/16*2=-7/8m/s因此，當(dāng)t=2s時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度為v=-i-j/48m/s。接下來(lái)，我們可以求出位矢：r=(vx*t+1/2ax*t^2)i+(ay*t^2)jr=(-2*2+1/2*3/8*2^2)i+(-7/16*2^2)jr=-i-j/48m2.10一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受到與速度成正比的阻力kv（k為常數(shù)）的作用。當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v。我們需要證明：(1)t時(shí)刻的速度為v=ve^(-kt/m)；(2)到t的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為x=(1-e^(-kt/m))vm/k；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為x'=v/k；(4)當(dāng)t=mk時(shí)，速度減至v的1/e，其中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。解：根據(jù)牛頓第二定律，我們可以得到以下公式：ma=-kv分離變量并積分得到：∫dv/v=∫-k/mdtlnv=-kt/m+Cv=Ce^(-kt/m)根據(jù)初始條件v(0)=v，我們可以得到C=v，因此：v=ve^(-kt/m)根據(jù)速度和阻力，我們可以得到加速度：a=-kv/m根據(jù)加速度和時(shí)間t，我們可以得到速度：v=vm-e^(-kt/m)vm根據(jù)速度和時(shí)間t，我們可以得到位移：x=∫vdt=∫(vm-e^(-kt/m)vm)dtx=(vm/m)e^(-kt/m)+C根據(jù)初始條件x(0)=0，我們可以得到C=0，因此：x=(1-e^(-kt/m))vm/k當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí)，速度趨近于零，因此質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為：x'=∫vdt=∫ve^(-kt/m)dtx'=vm/k當(dāng)t=mk時(shí)，速度為：v=ve^(-kt/m)=ve^(-k(mk)/m)=ve^(-k)因此，速度減至v的1/e。2.11題：一質(zhì)量為m的物體以與地面的仰角為30°的初速度v從地面拋出，忽略空氣阻力，求物體落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量增量。解：根據(jù)題意畫(huà)出如下示意圖：在忽略空氣阻力的情況下，物體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下。由于拋物線具有對(duì)y軸對(duì)稱性，故末速度與x軸夾角也為30°。因此，動(dòng)量的增量為：Δp=mv-mv=0根據(jù)矢量圖，動(dòng)量增量大小為mv，方向豎直向下。2.12題：一質(zhì)量為m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞。拋出1秒后，小球跳回到原高度，速度仍為水平方向且大小與拋出時(shí)相等。求小球與桌面碰撞過(guò)程中，桌面給予小球的沖量大小和方向，并回答在碰撞過(guò)程中小球的動(dòng)量是否守恒。解：由題知，小球落地時(shí)間為0.5秒。因?yàn)樾∏驗(yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，所以小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為v1=gt=0.5g，小球上跳速度的大小也為v2=0.5g。設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的增量為：Δp=mv2-mv1動(dòng)量增量方向豎直向上，大小為Δp=mg。碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒。這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程中，小球受到地面給予的沖力作用。另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰撞后末動(dòng)量方向斜向上，這也說(shuō)明動(dòng)量不守恒。2.13題：作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為F=(10+2t)iN，其中t的單位是秒。第一問(wèn)：求4秒后物體的動(dòng)量和速度變化，以及力給物體的沖量。第二問(wèn)：為了使這力的沖量為200N·s，該力應(yīng)在物體上作用多久？對(duì)于一個(gè)靜止的物體和一個(gè)具有初速度為-6m/s的物體，回答這兩個(gè)問(wèn)題。解：（1）若物體原來(lái)靜止，則Δp=∫Fdt=∫(10+2t)idt=56kg·m/si，沿x軸正向。Δp方向豎直向上，大小為Δp=5.6m/si。根據(jù)動(dòng)量守恒定理，Δp=mv，所以物體的速度變化為v=Δp/m=0.56m/si。根據(jù)沖量定義，I=Δp=56kg·m/si。若物體原來(lái)具有初速度為-6m/s，則Δp=mv2-mv1+∫Fdt=m(v2-v1)+∫(10+2t)idt根據(jù)動(dòng)量守恒定理，Δp=0，所以m(v2-v1)=-∫(10+2t)idt=-(70i+8t^2)i因此，物體的速度變化為v=(70/10-8t^2/10)m/si。（2）根據(jù)沖量定義，I=∫Fdt=(10t+t^2)iN·s。為了使力的沖量為200N·s，解方程10t+t^2=200得到t≈18.4秒。對(duì)于一個(gè)靜止的物體，根據(jù)動(dòng)量守恒定理，物體的動(dòng)量增量為Δp=mv=56kg·m/si，速度為v=Δp/m=5.6m/si。對(duì)于一個(gè)具有初速度為-6m/s的物體，根據(jù)動(dòng)量守恒定理，物體的動(dòng)量增量為Δp=mv2-mv1=-(70i+8t^2)i，速度為v=(70/10-8t^2/10)m/si。這表明，只要力函數(shù)保持不變，作用時(shí)間相同，無(wú)論物體是否有初動(dòng)量，初動(dòng)量大小如何，物體獲得的動(dòng)量增量（即沖量）都是相同的，這就是動(dòng)量定理。同樣地，對(duì)于兩種情況，作用時(shí)間相同，即I=∫(10+2t)dt=10t+t^2，即t+10t-200=0，解得t=10s，(t'=20s舍去)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為r=acos(ωt)i+bsin(ωt)j。求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及t=π/2時(shí)的動(dòng)量。解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為p=mv=mω(-asin(ωt)i+bcos(ωt)j)。將t=0和t=π/2分別代入上式，得p1=-mωai，p2=mωbj，則動(dòng)量的增量即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為I=Δp=p2-p1=-mω(ai+bj)。一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為v(SI)，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為F=(a-bt)N(a,b為常數(shù))，其中t以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量；(3)求子彈的質(zhì)量。解：(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有F=(a-bt)=0，得t=a/b，子彈走完槍筒全長(zhǎng)的時(shí)間為t'=2t=2a/b；(2)子彈所受的沖量為I=∫(a-bt)dt=at-(1/2)bt^2，將t=a/b代入，得I=a^2/2b；(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量m=Ia^2/v^2b。一炮彈質(zhì)量為m，以速率v飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為T(mén)，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為v+(2kT/mk)和v-(2T/m(k+1))。證明：設(shè)一塊為m1，則另一塊為m2，m1=km2且m1+m2=m。因此，m1=m/(k+1)，m2=km/(k+1)。設(shè)m1的速度為v1，m2的速度為v2，則有T=1/2m1v1^2+1/2m2v2^2-mv^2。聯(lián)立m1=km2和m1v1+m2v2=mv，解得v2=(k+1)v1-kv。將其代入T=1/2m1v1^2+1/2m2v2^2-mv^2中，整理得2T=(v1-v)^2(km/(k+1))。因此，v1=v±(2kT/mk)^(1/2)，代入v2=(k+1)v1-kv中，得v2=v?(2T/m(k+1))^(1/2)。(1)由題可知，合力為恒力，因此可以直接使用力乘位移來(lái)計(jì)算功。代入數(shù)值計(jì)算得到A合=-45J。(2)平均功率的計(jì)算公式為P=A/Δt，代入數(shù)據(jù)得到P=75W。(3)由動(dòng)能定理可以得到ΔE=A=-45J，因此動(dòng)能減少了45J。(2.18)在第一次擊打鐵釘時(shí)，外力所做的功為A1=∫f'dy=∫-fdy=∫kydy=k/2。根據(jù)題意，第二次擊打鐵釘時(shí)外力所做的功也為k/2。因?yàn)殍F錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同，所以兩次外力所做的功相等，即A1=A2。根據(jù)功的定義，A=?(mv^2)/2，因此k/2=?(mv^2)/2。代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到第二次擊打鐵釘時(shí)能將小釘擊入木板內(nèi)0.414cm。(2.19)根據(jù)保守力場(chǎng)的定義，保守力場(chǎng)中的勢(shì)能只與物體的位置有關(guān)，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。因此，質(zhì)點(diǎn)所受的保守力大小為F(r)=-dE(p)/dr=nk/r^2，方向與位矢r的方向相反，指向力心。(2.20)在靜止時(shí)，彈簧A、B和重物C受力平衡，因此F(A)=F(B)=Mg。由彈性勢(shì)能的定義可知，彈性勢(shì)能與彈簧伸長(zhǎng)量的平方成正比，因此兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比為Δx1/Δx2=k2/k1，彈性勢(shì)能之比為(1/2)k1(Δx1)^2/(1/2)k2(Δx2)^2=k1/k2。2.21題中，要求計(jì)算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的點(diǎn)P的位置和物體在P點(diǎn)的勢(shì)能。根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可以得到物體在P點(diǎn)的距離，進(jìn)而計(jì)算出P點(diǎn)到月球表面的距離。根據(jù)引力勢(shì)能的公式，可以計(jì)算出物體在P點(diǎn)的勢(shì)能。2.22題中，一物