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第9章動量矩定理理論力學第9章動量矩定理理論力學9.2動量矩9.3動量矩定理的推導和舉例9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程第9章
動量矩定理9.5相對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程動力學9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.3動量矩定理的推導和舉例9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程第9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.1轉(zhuǎn)動慣量的一般公式如圖所示,已知剛體上任一點的質(zhì)量為mi,與軸z的距離為ri,則各點質(zhì)量mi與ri2的乘積之和定義為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量,記為Jz。即對于質(zhì)量連續(xù)體,可寫成積分形式,即轉(zhuǎn)動慣量是一恒為正值的標量,單位:kgm2。1.轉(zhuǎn)動慣量9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.1轉(zhuǎn)動慣量的一般公式9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.1轉(zhuǎn)動慣量的一般公式2.回轉(zhuǎn)半徑(或稱慣性半徑)剛體對任一軸z的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑為
若已知剛體對某軸z的回轉(zhuǎn)半徑ρz和剛體的質(zhì)量m,則其轉(zhuǎn)動慣量可按下式計算9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.1轉(zhuǎn)動慣量的一般公式2北京建筑工程學院唐曉雯3.簡單形體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細圓環(huán)
均質(zhì)薄圓盤
均質(zhì)細長桿CmrCmrCml9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.1轉(zhuǎn)動慣量的一般公式北京建筑工程學院唐曉雯3.簡單形體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.2轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于剛體對過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。即式中,
Jz—表示剛體對任一軸z的轉(zhuǎn)動慣量;
JzC—為剛體對通過質(zhì)心C且與z軸平行的軸zC的轉(zhuǎn)動慣量;
m—為剛體的質(zhì)量;
d—為z與zC軸之間的距離。
9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1.2轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量例9-1均質(zhì)細圓環(huán)質(zhì)量為m1,半徑為r,其上固結(jié)一質(zhì)量為m2的均質(zhì)細桿AB,系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)以角速度,繞過點O并垂直于圖面的z軸轉(zhuǎn)動。已知∠C1AB=60,求系統(tǒng)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量1.圓環(huán)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量解:2.桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量3.系統(tǒng)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量9.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量1.圓環(huán)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量解:29.2動量矩
質(zhì)點Q的動量mv對點O的矩,定義為質(zhì)點Q對點O的動量矩。即上式投影到各坐標軸可得動量mv對各坐標軸的矩。9.2.1質(zhì)點的動量矩1.對點的動量矩2.對軸的動量矩9.2動量矩質(zhì)點Q的動量mv對點LO
=∑MO(mv)=∑rmv類似的可得質(zhì)點系對各坐標軸的動量矩表達式
質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點對某點O的動量矩的矢量和,稱為這質(zhì)點系對該點O的動量主矩或動量矩。用LO表示,有1.對點的動量矩2.對軸的動量矩9.2.2質(zhì)點系的動量矩Lx=∑Mx(mv)=∑m(yvzzvy)Ly=∑My(mv)=∑m(zvxxvz)Lz=∑Mz(mv)=∑m(x
vyyvx)9.2動量矩LO=∑MO(mv)=∑rmv類似的可得質(zhì)點系對各坐平動剛體對質(zhì)心的為動量矩LC=0,故由1.平動剛體得9.2.3剛體的動量矩即,平動剛體任一點的動量矩,等于將其質(zhì)量集中在質(zhì)心時,質(zhì)心的動量對該點的矩。9.2動量矩平動剛體對質(zhì)心的為動量矩LC=0,故由1.平動剛體得9.CmixzyOvirirCm1.平動剛體9.2.3剛體的動量矩9.2動量矩CmixzyOvirirCm1.平動剛體9.2.3剛體的
設剛體以角速度繞固定軸
z
轉(zhuǎn)動,剛體內(nèi)任一點A的質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動半徑為ri
,則剛體對軸z
的動量矩為即可見,作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩,等于該剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。2.定軸轉(zhuǎn)動剛體9.2動量矩9.2.3剛體的動量矩設剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動,剛體內(nèi)任
設平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面Cx'y',且該對稱平面在固定平面Oxy內(nèi)運動,則剛體對點O動量矩的動量矩等于對軸z
的動量矩。由其中LC=JC
,最后可得3.平面運動剛體
可得13.1動量矩9.2.3剛體的動量矩設平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面Cx'y',且該
例9-2如圖所示,系統(tǒng)由滑輪A、B及物塊C組成。已知:滑輪A的質(zhì)量為m1、半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為J1,滑輪B的質(zhì)量為m2、半徑為r、轉(zhuǎn)動慣量為J2,且R=2r,物塊C的質(zhì)量為m3、速度為v,繩與滑輪之間不打滑。求圖示瞬時系統(tǒng)對O軸的動量矩。9.2動量矩例9-2如圖所示,系統(tǒng)由滑輪A、B及解:9.2動量矩滑輪A繞O做定軸轉(zhuǎn)動,其動量矩為
:滑輪B做平面運動,其動量矩為:物塊C做平動,其動量矩為:所以,系統(tǒng)對O軸的動量矩為:因為:解:9.2動量矩滑輪A繞O做定軸轉(zhuǎn)動,其動量矩為:9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理右邊=將其兩端用質(zhì)點的矢徑r作矢積,得左邊可改寫為9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理右邊=將其兩端9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理因而上式第二項等于零,于是得到當矩心O固定時9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理因而上式第二項9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理將上式投影到固定坐標軸系上,則得結(jié)論
質(zhì)點對某固定點(或固定軸)的動量矩對時間的導數(shù),等于作用于質(zhì)點的力對該點(或該軸)的矩?!|(zhì)點的動量矩定理。9.3動量矩定理9.3.1質(zhì)點的動量矩定理將上式投影到固對于質(zhì)點系有其中可分為外力對O點的矩和內(nèi)力對O點的矩二項即而內(nèi)力對O點的矩所以有9.3動量矩定理9.3.2質(zhì)點系的動量矩定理對于質(zhì)點系有其中可9.3動量矩定理注意到所以有將上式投影到固定坐標軸系上,則得9.3.2質(zhì)點系的動量矩定理9.3動量矩定理注意到所以有將上式投影到固定坐標軸系上,則13.2動量矩定理的推導和舉例結(jié)論
質(zhì)點系對某固定點(或固定軸)的動量矩對時間的導數(shù),等于作用于質(zhì)點系的全部外力對該點(或該軸)的矩的矢量和(或代數(shù)和)——質(zhì)點系的動量矩定理。9.3.2質(zhì)點系的動量矩定理13.2動量矩定理的推導和舉例結(jié)論質(zhì)點系對某固北京建筑工程學院唐曉雯則
若作用于質(zhì)點上的力對某定點(或某定軸)的矩為零,則質(zhì)點對該點(或軸)的動量矩保持不變——質(zhì)點動量矩守恒定律。1.質(zhì)點動量矩守恒定理或若9.3動量矩定理9.3.3動量矩守恒定理結(jié)論北京建筑工程學院唐曉雯則若作用于質(zhì)點上的力對某定點9.3動量矩定理(1)如果∑MO(Fi(e))
0,則由上面第一式可知,LO=常矢量。(2)如果∑Mz(Fi(e))
0,則由上面第二式可知,Lz=
常量。對定點的動量矩定理對定軸的動量矩定理結(jié)論
當作用于質(zhì)點系的所有外力對某固定點(或固定軸)的主矩始終等于零,則質(zhì)點系對該點(或該軸)的動量矩保持不變——質(zhì)點系的動量矩守恒定理。9.3.3動量矩守恒定理2.質(zhì)點系動量矩守恒定理9.3動量矩定理(1)如果∑MO(Fi(e))9.3動量矩定理例9-3半徑為r的定滑輪可繞過質(zhì)心的固定軸O(z)轉(zhuǎn)動,該輪對軸O(z)的轉(zhuǎn)動慣量為Jz。在滑輪上繞一柔軟的繩子,其兩端各系一重為W1和W2的重物A和B,且Wl>W2,如圖所示。求此兩重物的加速度和滑輪的角加速度。9.3動量矩定理9.3動量矩定理解:
取滑輪、重物
A
、B
和繩索為研究對象,受力如圖。對滑輪的轉(zhuǎn)軸O
應用動量矩定理,有系統(tǒng)的動量矩由三部分組成:系統(tǒng)的外力主矩為(1)(2)(3)9.3動量矩定理解:取滑輪、重物A、B9.3動量矩定理由動量矩定理得兩重物的加速度為:滑輪的角加速度為:9.3動量矩定理由動量矩定理9.3動量矩定理例9-4如圖所示,已知主動力偶矩為M,求:(1)例9-2中物塊C的加速度,(2)AB段繩索的拉力。9.3動量矩定理9.3動量矩定理解:(1)例9-2中物塊C的加速度。取系統(tǒng)為研究對象,受力如圖所示,其外力對軸O的力矩為:在例9-2中已求出系統(tǒng)的動量矩為:
代入動量矩定理,得9.3動量矩定理取系統(tǒng)為研究對象,受力如圖所示,其9.3動量矩定理解:(1)例9-2中物塊C的加速度。
物塊C的加速度為:9.3動量矩定理物塊C的加速度為:9.3動量矩定理解:(2)AB段繩索的拉力。取滑輪A為研究對象,受力如圖所示,其外力對軸O的力矩為而滑輪A對軸O的動量矩為
據(jù)得AB段繩索的拉力為:9.3動量矩定理取滑輪A為研究對象,受力如圖所示,
設剛體在主動力F1,F2,···,Fn作用下繞定軸z
轉(zhuǎn)動,與此同時,軸承上產(chǎn)生了約束力FA和FB。
用Mz
=∑Mz(F(e))
表示作用在剛體上的外力對轉(zhuǎn)軸
z
的主矩(約束力FA,
FB自動消去)。剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩Lz=Jzω于是根據(jù)動量矩定理可得9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程設剛體在主動力F1,F2,··考慮到則上式可寫成或即,定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積,等于作用于剛體的外力對轉(zhuǎn)軸的主矩——剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程。9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程考慮到則上式可寫成或即,定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程例9-5已知定滑輪半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為JO,帶動定滑輪的膠帶拉力為FT1和FT2。求定滑輪的角加速度。
解:(2)根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程有所以
(1)定滑輪受力如圖(b)9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程例9-5已知定滑輪9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程例9-6圖示一質(zhì)量為m的物理擺(也稱復擺)在鉛垂平面內(nèi)擺動,點C為其質(zhì)心,質(zhì)心C到懸掛點O的距離為a,擺對懸掛點O的轉(zhuǎn)動慣量為JO。求物理擺微小擺動的周期。9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程例9-6圖示一質(zhì)量9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程
解:(2)物理擺的轉(zhuǎn)動微分方程為:(1)物理擺受力如圖所示因為是微小擺動,有所以,上式又可寫為這是簡諧運動的標準微分方程,其通解為:9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解:(2)物理擺的轉(zhuǎn)動
解:9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程式中:0稱為角振幅,是初位相,其值可由運動初始條件確定。復擺的擺動周期為:
解:9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程式中:0稱為角9.5相對于質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程9.5.1質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理
即質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的一階導數(shù),等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩—相對于質(zhì)心的動量矩定理。
對于剛體,質(zhì)心運動定理建立了外力與質(zhì)心運動的關系;質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理建立了外力與剛體在平移參考系內(nèi)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的關系;二者完全確定了剛體一般運動的動力學方程,為研究剛體運動奠定了基礎。9.5相對于質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程9.5.9.5.2剛體平面運動微分方程9.5相對于質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程圖示為一具有質(zhì)量對稱面(平行于運動平面)的剛體,在等價于質(zhì)量對稱面的平面力系(F1、F2、Fn)的作用下作平面運動,其質(zhì)心C位于平面圖形S內(nèi)。由運動學知識,可將平面運動看作隨同質(zhì)心的平動與繞通過質(zhì)心而垂直于圖平面的軸轉(zhuǎn)動的合成。于是,由質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理有:9.5.2剛體平面運動微分方程9.5相對于質(zhì)心的動量矩
這兩個方程都是剛體平面運動的微分方程。
或者
需要指出的是,若上述投影方程中各式等號的左側(cè)各項均恒等于零,則得到靜力學
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