2023年九年級數(shù)學(xué)上冊重要考點(diǎn)題精講精練(人教版) 圓及垂徑定理（10大題型）（答案版）

圓及垂徑定理（答案版）圓的定義(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

注意：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.題型1：圓的概念1.到圓心的距離不大于半徑的點(diǎn)的集合是（）A．圓的外部 B．圓的內(nèi)部 C．圓 D．圓的內(nèi)部和圓【分析】根據(jù)圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合，以及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可解決．【解答】解：根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，知圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于的所有點(diǎn)的集合；圓是到圓心的距離等于半徑的所有點(diǎn)的集合．所以與圓心的距離不大于半徑的點(diǎn)所組成的圖形是圓的內(nèi)部（包括邊界）．故選：D．【變式1-1】下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）A．以點(diǎn)O為圓心 B．以10m長為半徑 C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點(diǎn)M【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項(xiàng)正確，故選：C．與圓有關(guān)的概念1.弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

2.弧

弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)?。涣踊。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.題型2：與圓有關(guān)的概念2.判斷題(對的打√，錯(cuò)的打×，并說明理由)

①半圓是弧，但弧不一定是半圓；（）

②弦是直徑；（）

③長度相等的兩段弧是等??；（）

④直徑是圓中最長的弦.（）【答案】①√②×③×④√.

【解析】①因?yàn)榘雸A是弧的一種，弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧三種，故正確；②直徑是弦，但弦不一定都是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，故錯(cuò)；③只有在同圓或等圓中，長度相等的兩段弧才是等弧，故錯(cuò)；④直徑是圓中最長的弦，正確.

【總結(jié)】理解弦與直徑的關(guān)系，等弧的定義.【變式2-1】下列說法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，不符合題意；B、長度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說法是錯(cuò)誤的，符合題意；C、圓中最長的弦是直徑，正確，不符合題意；D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，故選：B．【變式2-2】下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯(cuò)誤，不符合題意；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；⑤根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，正確的有3個(gè)，故選：C．題型3：確定圓心和圓3.將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C．畫出該輪的圓心；【分析】根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)即為所求；【解答】解：如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)O即為所求的圓心；【變式3-1】如圖所示，BD，CE是△ABC的高，求證：E，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【分析】求證E，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，△BCD是直角三角形，則三個(gè)頂點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)為圓心的圓上，因而只要再證明F到BC得中點(diǎn)的距離等于BC的一半就可以．【解答】證明：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分別為Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，∴DF＝EF＝BF＝CF．∴E，B，C，D四點(diǎn)在以F點(diǎn)為圓心，12BC為半徑的圓上．圓的性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；

②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.題型4：圓的對稱性4.已知：如圖，兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D．求證：AC=BD．【答案與解析】證明：過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，交大圓與E、F兩點(diǎn).如圖，則EF所在的直線是兩圓的對稱軸，所以AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【變式4-1】圓O所在平面上的一點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？【答案與解析】如圖所示,分兩種情況:（1）當(dāng)點(diǎn)P為圓O內(nèi)一點(diǎn)（如圖1），過點(diǎn)P作圓O的直徑，分別交圓O于A、B兩點(diǎn)，由題意可得P到圓O最大距離為10，最小距離為2，則AP=2，BP=10，所以圓O的半徑為.圖1圖2（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)（如圖2），作直線OP，分別交圓O于A、B，由題可得P到圓O最大距離為10，最小距離為2，則BP=10，AP=2，所以圓O的半徑.綜上所述，所求圓的半徑為6或4.【變式4-2】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長的取值范圍是.【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最長邊應(yīng)是半徑長，為5；根據(jù)垂線段最短，可得到當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短．∵直徑為10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圓的對稱性得AP=4，由勾股定理得OP=，∴OP最短為3.∴OP的長的取值范圍是3≤OP≤5.【總結(jié)】關(guān)鍵是知道OP何時(shí)最長與最短.垂徑定理及推論1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

常見輔助線做法（考點(diǎn)）：過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．題型5：垂徑定理與計(jì)算5.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的長．【答案】解：連接OC，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴CE=DE∴OE在Rt△OCE中，由勾股定理得：∴CD【解析】【分析】連接OC，先利用勾股定理求出CE的長，再根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE=8?！咀兪?-1】如圖，AB是⊙O的弦，C為AB的中點(diǎn)，OC的延長線與⊙O交于點(diǎn)D，若CD=2，AB=12，求【答案】解：連接AO，∵點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)，半徑OD與AB相交于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵AB=12，∴AC=BC=6，設(shè)⊙O的半徑為R，∵CD=2，∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，即：R2=（R-2）2+62，∴R=10答：⊙O的半徑長為10．【解析】【分析】連接AO，設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，OC=R-2，利用垂徑定理的推論得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。【變式5-2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的長．【答案】解：∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝16cm，∴CE＝12CD＝8cm在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，∴OE=OC∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．【解析】【分析】先利用垂徑定理求出CE的長，再利用勾股定理求出OE的長，最后利用線段的和差可得AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．題型6：垂徑定理與證明6.如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點(diǎn)，OC＝OD，求證：AC＝BD.【答案】證明：作OH⊥AB于H，如圖，則AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD.【解析】【分析】作OH⊥AB于H，由垂徑定理可得AH＝BH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CH＝DH，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行證明.【變式6-1】已知：如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，AO平分∠BAC．求證：AB＝AC．【答案】解：證明：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，

∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，

∴OD=OE，

在Rt△ADO和Rt△AEO中

AO=AOOD=OE

∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）

∴【解析】【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，利用垂徑定理可證得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分線的性質(zhì)可證得OD=OE，利用HL可證得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可證得結(jié)論.【變式6-2】如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求證：AC【答案】證明：作半徑OE⊥AB交圓于E點(diǎn).∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴AE=BE，∴AE即：AC=【解析】【分析】作半徑OE⊥AB交圓于E點(diǎn)，則OE⊥CD，由垂徑定理可得AE=BE，CE題型7：垂徑定理分類討論問題7.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【解析】【解答】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點(diǎn)為M、N由題意知OM⊥CD，CM=在Rt△BON中，由勾股定理得在Rt△DOM中，由勾股定理得∴MN②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF的交點(diǎn)為N、P，連接OB由題意知PN⊥AB，EP=在Rt△BON中，由勾股定理得在Rt△EPO中，由勾股定理得∴NP∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案為：D.【分析】分兩種情況：①當(dāng)油面沒超過圓心O，油面寬為8cm；②當(dāng)油面超過圓心O，油面寬為8cm；根據(jù)垂徑定理及勾股定理分別解答即可.【變式7-1】已知圓中兩條平行的弦之間距離為1，其中一弦長為8，若半徑為5，則另一弦長為（）A．6 B．221 C．6或221 D．以上說法都不對【分析】如圖，分CD＝8和AB＝8這兩種情況，利用垂徑定理和勾股定理分別求解可得．【解答】解：如圖，①若CD＝8，則CF=12CD＝∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，則AE=21∴AB＝2AE＝221；②若AB＝8，則AE=12AB＝∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝4，則CF＝3，∴CD＝2CF＝6；綜上，另一弦長為6或221，故選：C．【變式7-2】已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【分析】分兩種情況，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM=12AB=12×96＝48（cm），OD＝OC如圖1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC=AM2+如圖2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50﹣14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+綜上所述，AC的長為80cm或60cm，故選：B．題型8：垂徑定理翻折問題8.如圖，⊙O的半徑為4，將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為．【答案】43【解析】【解答】解：過O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA，Rt△OAD中，OD=CD=12OC=2，OA=4根據(jù)勾股定理，得：AD=OA2-O由垂徑定理得，AB=2AD=43，故答案：43．【分析】過O作垂直于AB的半徑OC，設(shè)交點(diǎn)為D，根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出OD的長；連接OA，根據(jù)勾股定理可求出AD的長，由垂徑定理知AB=2AD，即可求出AB的長度．【變式8-1】如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，求折痕AB的長.【答案】解：如圖：作OD⊥AB于D，連接OA.根據(jù)題意得：OD＝12OA＝1cm再根據(jù)勾股定理得：AD＝0A2-0D2＝2由垂徑定理得：AB＝23cm.【解析】【分析】在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得AD的長，再根據(jù)垂徑定理得AB的長.【變式8-2】如圖,AB是以點(diǎn)O為圓心的圓形紙片的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E,AB=10,BE=3.將陰影部分沿著弦AC翻折壓平，翻折后，弧AC對應(yīng)的弧為G，則點(diǎn)O與弧G【答案】點(diǎn)在圓外【解析】【解答】解：如圖，連接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，∵AB=10,BE∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,∵CD⊥∴CE2∴AC2∵OF⊥AC，∴CF=12∴OF∵152>∴OF>∴FG<∴OF>∴點(diǎn)O與弧G所在圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.故答案是：點(diǎn)在圓外.【分析】連接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，判斷OF與FG的數(shù)量關(guān)系即可判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.題型9：垂徑定理的應(yīng)用-拱橋問題9.如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑．（2）有一艘寬為7.8m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋？并說明理由．【答案】（1）解：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，

∴OC⊥AB，

∴BD=12AB=6，

設(shè)拱橋的半徑r米，則OD=r-4，

在Rt△OBD中

OD2+BD2=OB2即（r-4）2+62=r2

解之：r=.6.5.（2）解：此貨船不能順利通過此圓弧形拱橋，理由如下，

如圖，連接OE

∵船艙頂部為長方形，并高出水面3m，

∴DF=3，

∴CF=4-3=1，

∴OF=OC-CF=6.5-1=5.5，

在Rt△EOF中

EF=OE2-OF2=6.5【解析】【分析】（1）設(shè)圓心為O，連接OC，OB，利用垂徑定理求出BD的長，設(shè)拱橋的半徑r米，可表示出OD的長，再利用勾股定理可得到關(guān)于r的方程，解方程求出r的值.（2）連接OE，利用已知船艙頂部為長方形，并高出水面3m，可得到DF的長，根據(jù)CF=CD=DF，可求出CF的長，從而可求出OF的長，利用勾股定理可求出EF的長，根據(jù)NE=2EF，可求出NE的長，再根據(jù)貨船寬為7.8m，將NE與7.8比較大小，可作出判斷.【變式9-1】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【答案】（1）解：連接OA，由題意得：AD=12AB＝30（米），OD＝（r﹣在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）解：連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）.∴A′B′＝32（米）.∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施.【解析】【分析】（1）連接OA，由垂徑定理得AD=12AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；

（2）連接OA′，則OE＝OP-PE＝30米，由垂徑定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股定理可得A′E，從而得出A'B'的長然后與30進(jìn)行比較即可判斷【變式9-2】中國的拱橋始建于東漢中后期，已有一千八百余年的歷史，如圖，一座拱橋在水面上方部分是AB，拱橋在水面上的跨度AB為8米，拱橋AB與水面的最大距離為3米.（1）用直尺和圓規(guī)作出AB所在圓的圓心O；（2）求拱橋AB所在圓的半徑.【答案】（1）解：如圖所示，點(diǎn)O即為所求；（2）解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)E，連結(jié)OA，則OD⊥AB，且AE=由題意得，DE=3設(shè)圓的半徑為r，在Rt△AEO中，A即42+解得r=即拱橋AB所在圓的半徑為25【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取異于點(diǎn)A,B的點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理，該圓的圓心應(yīng)即在線段AC,又在線段BC的垂直平分線上，故利用尺規(guī)作出線段AC,BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)就是弧AB所在圓的圓心；

（2）如圖，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)E，連結(jié)OA，根據(jù)垂徑定理可知OD⊥AB，且AE=EB=4，設(shè)圓的半徑為r，在Rt題型10：垂徑定理的應(yīng)用-油管問題10.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【解析】【解答】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點(diǎn)為M、N由題意知OM⊥CD，CM=在Rt△BON中，由勾股定理得在Rt△DOM中，由勾股定理得∴MN②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF的交點(diǎn)為N、P，連接OB由題意知PN⊥AB，EP=在Rt△BON中，由勾股定理得在Rt△EPO中，由勾股定理得∴NP∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案為：D.【分析】分兩種情況：①當(dāng)油面沒超過圓心O，油面寬為8cm；②當(dāng)油面超過圓心O，油面寬為8cm；根據(jù)垂徑定理及勾股定理分別解答即可.【變式10-1】在半徑為17dm的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油后，橫截面如圖．（1）若油面寬AB=16dm，求油的最大深度．（2）在（1）的條件下，若油面寬變?yōu)镃D=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【答案】（1）解：作OF⊥AB交AB于F，交圓于G，連接OA，∴AF=12AB=8由勾股定理得，OF=OA2則GF=OG-OF=2dm；（2）解：連接OC，∵OE⊥CD，∴CE=12EF=15OE=OC2則EF=OG-OE-FG=7dm，答：油的最大深度上升了7dm．【解析】【分析】(1)作OF⊥AB交AB于F，交圓于G，連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AF的長，根據(jù)勾股定理求出OF，計(jì)算即可；(2)連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE的長，根據(jù)勾股定理求出答案．【變式10-2】在直徑為1000毫米的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油.其橫截面如圖.油面寬AB=600毫米.（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?00毫米，此時(shí)油面上升了多少毫米？【答案】（1）解：OF⊥AB交AB于F，交圓于G，連接OA，∴AF=12AB=300mm，由勾股定理得，OF=OA2-AF2=400mm（2）解：連接OC，∵OE⊥CD，∴CE=400mm，OE=OC2-CE2=300mm，則EF=OG﹣OE﹣FG=100mm，同理，當(dāng)CD在圓心O上方時(shí)，可得EF=700mm.【解析】【分析】（1）OF⊥AB交AB于F，交圓于G，連接OA，根據(jù)垂徑定理得出AF的長，由勾股定理算出OF的長，最后根據(jù)GF=OG﹣OF即可算出答案；

（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理得出CE的長，根據(jù)勾股定理算出OE的長，由EF=OG﹣OE﹣FG算出EF的長，同理，當(dāng)CD在圓心O上方時(shí)，可得EF的長，綜上所述即可得出答案。一、單選題1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（）A． B．2 C．2 D．8【答案】C【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH=OC2-O∴CD=2CH=215．故答案為：C．【分析】作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得出HC=HD，在Rt△OPH中，根據(jù)含30°的直角三角形的邊之間的關(guān)系得出OH=12OP=1，在Rt△OHC中，根據(jù)勾股定理算出CH2．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AB⊥CD，OA=2，CD=23，則∠D等于（）A．20° B．25° C．30° 【答案】C【解析】【解答】解：如圖，在RtΔOCE中，OC=2，CE=3,則∠BOC=60°則【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE的長，利用正弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值找出∠BOC的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得出答案。3．如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若AB的度數(shù)為60°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．60° B．30° C．35° D．45°【答案】B【解析】【解答】解：連接OC，∵BD是⊙O的直徑，BD⊥AC，∴AB=BC∴∠BOC=∠AOB=60°，∴∠BDC=12∠BOC=30°故選：B．【分析】由垂徑定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根據(jù)圓周角定理求解．4．某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道．如圖所示，污水水面AB寬為80cm，管道頂端最高點(diǎn)到水面的距離為20cm，則修理人員需準(zhǔn)備的新管道的半徑為（）A．50cm B．503cm C．100cm D．80cm【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，邊接ACCO=AO在Rt△AOC中，AAO2解，得AO=50故答案為：A【分析】連接OA作弦心距，就可以構(gòu)造成直角三角形．設(shè)出半徑弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．5．如圖，AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)OC，若OC=5，CD=8，則AE的長是：（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】B【解析】【解答】AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=12CD=【分析】要求AE的長，已知圓的半徑長，因此只需求出OE的長。根據(jù)垂徑定理和勾股定理易求解。6．如圖，C、D是以AB為直徑、O為圓心的半圓上的兩點(diǎn)，OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E，下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AD=DC B．∠ACB=90°C．△AOD是等邊三角形 D．BC=2EO【答案】C【解析】【解答】連接CD，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴DO⊥AC，∴AD=CD，故A.B符合題意；∵AO=DO，不一定等于AD，因此C不符合題意；∵O為圓心，∴AO:AB=1:2，∵EO∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴EO:AB=AO:BC=1:2，∴BC=2EO，故D符合題意；故答案為：C.【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，再根據(jù)平行可得DO⊥AC，根據(jù)垂徑定理可得AD=CD，然后再證明7．下面說法正確的是（）A．圓上兩點(diǎn)間的部分叫做弦B．垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧C．圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半D．90度的角所對的弦是直徑【答案】B【解析】【解答】解：A、錯(cuò)誤．圓上兩點(diǎn)間的部分叫做?。瓸、正確．垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。瓹、錯(cuò)誤．同弧所對的圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半．D、錯(cuò)誤.90度的圓周角所對的弦是直徑．故選B．【分析】根據(jù)弧、垂徑定理、圓周角定理、90度圓周角的性質(zhì)一一判斷即可．二、填空題8．經(jīng)過點(diǎn)A且半徑為1厘米的圓的圓心的軌跡是．【答案】以A為圓心，1厘米為半徑的圓【解析】【解答】解：經(jīng)過點(diǎn)A且半徑為1厘米的圓的圓心的軌跡是以A為圓心，1厘米為半徑的圓．故答案為：以A為圓心，1厘米為半徑的圓【分析】根據(jù)圓的定義進(jìn)行解答即可.9．如圖，在圓O中有折線ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，則弦AB【答案】10【解析】【解答】如圖，作OD⊥AB垂足為D，作OE//AB交BC于E，過E點(diǎn)作EF⊥AB，垂足為F，∵OE//AB，

∴△COE為等邊三角形，∴OE＝CE＝OC＝4，

∵OD⊥AB，EF⊥AB，∴DF＝OE＝4，BE＝BC－CE＝2

在Rt△BEF中，∵∠B＝60°，

∴BF＝12BE＝1，

∴BD＝BF＋DF＝1＋4＝5，

由垂徑定理，得AB＝2BD＝10，

故答案為：【分析】作OD⊥AB垂足為D，作OE//AB交BC于E，過E點(diǎn)作EF⊥AB，垂足為F，利用已知易證△COE為等邊三角形，就可得出OE的長，再利用直角三角形的性質(zhì)求出BF的長，就可得出BD的長，然后利用垂徑定理求出AB的長。10．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=23cm，則⊙O的半徑為cm.【答案】2【解析】【解答】解：如圖作OE⊥BC于E.∵∠BAC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠A，∴∠BOC=120°，∠A=60°.∵OE⊥BC，∴BE=EC=3，∠BOE=∠COE=60°，∴∠OBE=30°，∴OB=2OE，設(shè)OE=x，OB=2x，∴4x2=x2+(3)2，∴x=1，∴【分析】如圖作OE⊥BC于E，根據(jù)垂徑定理可得BE=EC=3，∠BOE=∠COE.由∠BAC+∠BOC=180°結(jié)合圓周角定理可得∠BOC=120°，∠A=60°，從而可得∠OBE=30°，繼而得出OB=2OE；設(shè)OE=x，OB=2x，在Rt△BOE中，利用勾股定理可得4x2=x2+(3)2，求出三、解答題11．如圖，⊙O的半徑OC⊥AB，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，EF=3，求直徑AB的長．【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四邊形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6【解析】【分析】連接OD，由條件可得四邊形OFDE是矩形，根據(jù)矩形對角線相等可知OD=EF=3，利用同圓半徑相等即可解答。12．如圖，水平放置的一個(gè)油管的截面半徑為13cm，其中有油部分油面寬AB為24cm，求截面上有油部分油面高CD。

【答案】解：連接OA，在直角△OAC中，OA=13cm，AC=12AB=12×24=12cm

根據(jù)勾股定理得到OC=132-12【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC的長，根據(jù)勾股定理求得OC的長即可．13．某公園管理人員在巡視公園時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一條圓柱形的輸水管道破裂，通知維修人員到場檢測，維修員畫出水平放置的破裂管道有水部分的截面圖（如圖）．（1）請你幫忙補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面（不寫作法，但應(yīng)保留作圖痕跡）；（2）維修員量得這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=123cm，水面最深地方的高度為6cm，請你求出這個(gè)圓形截面的半徑r及破裂管道有水部分的截面圖的面積S．【答案】解：（1）如圖：（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，則CD=6cm．∵OC⊥AB，∴BD=AD=12AB∵