2022-2023學(xué)年湖南省岳陽市三校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題正確的是（）A．進(jìn)制轉(zhuǎn)換：B．已知一組樣本數(shù)據(jù)為1，6，3，8，4，則中位數(shù)為3C．“若，則方程”的逆命題為真命題D．若命題：，，則：，2．若函數(shù)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<33．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，弦過，若的內(nèi)切圓的周長為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則（）A． B． C． D．4．6名同學(xué)安排到3個社區(qū)，，參加志愿者服務(wù)，每個社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．9 D．125．計算=A． B． C． D．6．已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，則=A．?1 B．0C．1 D．27．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．11．由數(shù)字0，1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的非一位數(shù)的個數(shù)為（）A．12 B．20 C．30 D．3112．已知函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_______.14．已知函數(shù)的零點(diǎn)，則整數(shù)的值為______.15．甲、乙、丙、丁名同學(xué)被隨機(jī)地分到三個社區(qū)參加社會實(shí)踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學(xué)，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是______________．16．將紅、黃、藍(lán)三種顏色的三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)，如圖，要求任意兩顆棋子不同行、不同列，且不在方格圖所在正方形的同一條對角線上，則不同放法共有________種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，，，時，求，，；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性18．（12分）已知曲線C的參數(shù)方程為（a參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點(diǎn)到直線l最大距離.19．（12分）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對，兩個公司的產(chǎn)品需求量進(jìn)行調(diào)研，準(zhǔn)備從國內(nèi)個人口超過萬的超大城市和（）個人口低于萬的小城市隨機(jī)抽取若干個進(jìn)行統(tǒng)計，若一次抽取個城市，全是小城市的概率為.（1）求的值；（2）若一次抽取個城市，則：①假設(shè)取出小城市的個數(shù)為，求的分布列和期望；②若取出的個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.20．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中.（1）若展開式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項(xiàng)，試求的值和常數(shù)項(xiàng).21．（12分）已知數(shù)列{an}和b（1）求an與b（2）記數(shù)列{anbn}的前n22．（10分）某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來.（為了方便計算，將2008年編號為1，2009年編號為2，以此類推……）年份人數(shù)（1）根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程，并用以預(yù)測2018年該校考入清華、北大的人數(shù)；（結(jié)果要求四舍五入至個位）（2）從這10年的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2年，記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年，求的分布數(shù)列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)進(jìn)制的轉(zhuǎn)化可判斷A，由中位數(shù)的概念可判斷B，寫出逆命題，再判斷其真假可判斷C.根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可判斷D.【詳解】A.,故正確.B.樣本數(shù)據(jù)1，6，3，8，4，則中位數(shù)為4.故不正確.C.“若，則方程”的逆命題為:“方程,則”，為假命題，故不正確.D.若命題：，.則：，，故不正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了進(jìn)制的轉(zhuǎn)化、逆命題，中位數(shù)以及全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由題可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，問題得解．【詳解】由題可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．3、A【解析】

設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．可得==?|F1F1|，即可得出．【詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c==2．如圖所示，設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．則==?|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、C【解析】分析：該題可以分為兩類進(jìn)行研究，一類是乙和丙之一在A社區(qū)，另一在B社區(qū)，另一類是乙和丙在B社區(qū)，計算出每一類的數(shù)據(jù)，然后求解即可.詳解：由題意將問題分為兩類求解：第一類，若乙與丙之一在甲社區(qū)，則安排種數(shù)為種；第二類，若乙與丙在B社區(qū)，則A社區(qū)還缺少一人，從剩下三人中選一人，另兩人去C社區(qū)，故安排方法種數(shù)為種；故不同的安排種數(shù)是種，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理，在解題的過程中，對問題進(jìn)行正確的分類是解題的關(guān)鍵，并且需要將每一類對應(yīng)的數(shù)據(jù)正確算出.5、B【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求結(jié)果.詳解：選B.點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為6、C【解析】

通過函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期，利用周期得到函數(shù)值.【詳解】由，得，所以．又，所以，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)所以故選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期，利用函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為，設(shè)正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．8、B【解析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，，，，，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.9、B【解析】

求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由此判斷出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)或時，為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有項(xiàng).故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】令所以,選B.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等11、D【解析】

分成兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)三種情況，利用所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，計算出每種情況下的方法數(shù)然后相加，求得所求的方法總數(shù).【詳解】兩位數(shù)：含數(shù)字1，2的數(shù)有個，或含數(shù)字3，0的數(shù)有1個.三位數(shù)：含數(shù)字0，1，2的數(shù)有個，含數(shù)字1，2，3有個.四位數(shù)：有個.所以共有個.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類加法計數(shù)原理，考查一個數(shù)能被整除的數(shù)字特征，考查簡單的排列組合計算，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析：求導(dǎo)得到在處的切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得在處的切線方程.詳解：已知函數(shù)，則則即在處的切線斜率為2，又則在處的切線方程為即.故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用定積分求得陰影部分的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式，即可求解．【詳解】由題意，結(jié)合定積分可得陰影部分的面積為，由幾何概型的計算公式可得，黃豆在陰影部分的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的幾何意義求解陰影部分的面積，以及幾何概型及其概率的計算問題，其中解答中利用定積分的幾何意義求得陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、3【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知若存在零點(diǎn)則零點(diǎn)唯一，由零點(diǎn)存在定理可判斷出零點(diǎn)所在區(qū)間，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意知：在上單調(diào)遞增若存在零點(diǎn)，則存在唯一一個零點(diǎn)又，由零點(diǎn)存在定理可知：，則本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

可把甲乙看成一個整體，再分到三個社區(qū)，算出對應(yīng)的方法種數(shù)，再由題意算出所有的分配種數(shù)，結(jié)合古典概型公式求解即可【詳解】把甲乙看作一個整體，再與其他兩人分到三個社區(qū)共有種方法，而所有的分配方法有種，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的應(yīng)用，古典概型的求法，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

根據(jù)題意，用間接法分析，先計算三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)任意兩顆棋子不同行、不同列的放法數(shù)目，再排除其中在同一條對角線上的數(shù)目，分析即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，用間接法分析：若三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)，且任意兩顆棋子不同行、不同列，第一顆棋子有種放法，第二顆棋子有種放法，第三顆棋子有種放法，則任意兩顆棋子不同行、不同列的放法有種，其中在正方形的同一條對角線上的放法有種，則滿足題意的放法有種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）猜想，見解析【解析】

（1）由復(fù)數(shù)模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復(fù)數(shù)的一般形式進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因?yàn)?，，所以因?yàn)椋?，所以猜想成?【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的簡單運(yùn)算和合情推理，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.18、（1）（2）【解析】

（1）利用平方和為1消去參數(shù)得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標(biāo)方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標(biāo)方程為因?yàn)閳A心到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）8；（2）①分布列見解析，；②.【解析】

（1）先由題意，得到共個城市，取出2個的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有，由題中數(shù)據(jù)，得到，求解，即可得出結(jié)果；（2）①先由題意，得到的可能取值為，，，，，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出分布列，得出數(shù)學(xué)期望；②分別求出四個城市全是超大城市，以及四個城市全是小城市的情況，進(jìn)而可求出對應(yīng)的概率.【詳解】（1）由題意，共個城市，取出2個的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有種，故全是小城市的概率是，整理得，即，，解得；（2）①由題意可知的可能取值為，，，，.；；；；.故的分布列為X01234P.②若4個城市全是超大城市，共有種情況；若4個城市全是小城市，共有種情況；故全為超大城市的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，以及古典概型的概率，熟記對應(yīng)的概念及公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6和第7項(xiàng)，，（2），常數(shù)項(xiàng)為【解析】

（1）根據(jù)條件求出的值，然后判斷第幾項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，并求之；（2）常數(shù)項(xiàng)其實(shí)說明的指數(shù)為，根據(jù)這一特點(diǎn)，利用項(xiàng)數(shù)與第幾項(xiàng)的關(guān)系求解出的值.【詳解】解：