MATLAB在優(yōu)化中的應(yīng)用課件

MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用林洋8153025MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用林洋8153025目錄1了解MATLAB相關(guān)內(nèi)容2優(yōu)化設(shè)計(jì)理論相關(guān)內(nèi)容3無約束優(yōu)化問題算法4有約束優(yōu)化問題算法5案例分析目錄1了解MATLAB相關(guān)內(nèi)容2優(yōu)化設(shè)計(jì)理論相關(guān)內(nèi)容3無約束MATLAB簡介美國Mathworks公司推出了MATLAB以其強(qiáng)大的功能和易用性受到越來越多的科技工作者的歡迎。MATLAB由主包和功能各異的工具箱組成，其基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是矩陣。MATLAB具有非常強(qiáng)大的計(jì)算功能，其已成為世界上應(yīng)用最廣泛的工程計(jì)算應(yīng)用軟件之一。（Mathematica、Maple）MATLAB簡介美國Mathworks公司推出了MATLABMATLAB主要功能和特點(diǎn)主要功能1，數(shù)字計(jì)算功能2，符號(hào)計(jì)算功能3，數(shù)據(jù)分析和可視化分析功能4，文字處理功能5，SIMULINK動(dòng)態(tài)仿真功能主要特點(diǎn)1，功能強(qiáng)大含有四十多個(gè)應(yīng)用于不同領(lǐng)域的工具箱2，界面友好其指令表達(dá)方式與習(xí)慣上的數(shù)學(xué)表達(dá)方式非常的接近3，擴(kuò)展性強(qiáng)用戶可自發(fā)的開發(fā)自己的應(yīng)用程序

MATLAB主要功能和特點(diǎn)主要功能主要特點(diǎn)Matlab優(yōu)化工具箱簡介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要函數(shù)Matlab優(yōu)化工具箱簡介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要2.優(yōu)化函數(shù)的輸入變量

使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時(shí),輸入變量見下表:2.優(yōu)化函數(shù)的輸入變量使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)3.優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:3.優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:優(yōu)化設(shè)計(jì)理論優(yōu)化設(shè)計(jì)的必要性質(zhì)量問題50%由于設(shè)計(jì)不周成本70%設(shè)計(jì)階段決定總周期40%設(shè)計(jì)周期占據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論優(yōu)化設(shè)計(jì)的必要性質(zhì)量問題成本總周期優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念優(yōu)化設(shè)計(jì)是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。即：進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，必須首先將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成一組由數(shù)學(xué)表達(dá)式組成的數(shù)學(xué)模型，然后選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算求解，得到一組最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念優(yōu)化設(shè)計(jì)問題分類函數(shù)優(yōu)化問題組合優(yōu)化問題無約束有約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題分類無約束有約束優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般實(shí)施步驟（1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求和目的定義優(yōu)化設(shè)計(jì)問題（2）建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型（3）選用合適的優(yōu)化計(jì)算方法（4）確定必要的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)初始點(diǎn)（5）編寫包括數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法的計(jì)算機(jī)程序，通過計(jì)算機(jī)的求解計(jì)算獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)（6）對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)方案進(jìn)行合理性和適用性分析優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般實(shí)施步驟（1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求和目的定義優(yōu)化設(shè)計(jì)問優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型1，建立數(shù)學(xué)模型的基本原則

數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡潔的反映工程問題2，數(shù)學(xué)模型的三要素設(shè)計(jì)變量目標(biāo)函數(shù)約束條件優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型1，建立數(shù)學(xué)模型的基本原則無約束優(yōu)化方法最速下降法（梯度法）牛頓型方法

共軛方向法變尺度法坐標(biāo)輪換法鮑威爾方法單形變換法無約束優(yōu)化方法最速下降法（梯度法）最速下降法（梯度法）優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值f（x）最小，因此，一個(gè)很自然的想法是從某點(diǎn)x出發(fā)，其搜索方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-▽f（x),使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍內(nèi)下降最快。形成以下迭代算法

最速下降法（梯度法）優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值f（x）最小，因

為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向能夠獲得最大的下降值，其步長因子應(yīng)取一維搜索的最佳步長。即有

根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，得

相鄰的兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過程，走的是曲折的路線。為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向能夠獲得最大MATLAB在優(yōu)化中的應(yīng)用ppt課件沿負(fù)梯度方向進(jìn)行一維搜索，有為一維搜索最佳步長，應(yīng)滿足極值必要條件

例：求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。解：取初始點(diǎn)則初始點(diǎn)處函數(shù)值及梯度分別為沿負(fù)梯度方向進(jìn)行一維搜索，有為一維搜索最佳步長，應(yīng)滿足極值必算出一維搜索最佳步長

第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值

繼續(xù)作下去，經(jīng)10次迭代后，得到最優(yōu)解

算出一維搜索最佳步長第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值繼續(xù)作下梯度法的特點(diǎn)（1）理論明確，程序簡單，對(duì)初始點(diǎn)要求不嚴(yán)格。（2）對(duì)一般函數(shù)而言，梯度法的收斂速度并不快，因?yàn)樽钏傧陆捣较騼H僅是指某點(diǎn)的一個(gè)局部性質(zhì)。（3）梯度法相鄰兩次搜索方向的正交性，決定了迭代全過程的搜索路線呈鋸齒狀，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)逼近速度較快，而在接近極小點(diǎn)時(shí)逼近速度較慢。（4）梯度法的收斂速度與目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)。對(duì)于等值線(面)為同心圓（球）的目標(biāo)函數(shù)，一次搜索即可達(dá)到極小點(diǎn)。梯度法的特點(diǎn)（1）理論明確，程序簡單，對(duì)初始點(diǎn)要求不嚴(yán)格。牛頓型方法1、牛頓法在xk鄰域內(nèi)用一個(gè)泰勒二次函數(shù)φ(X)來近似代替原目標(biāo)函數(shù)，并將φ(X)的極小點(diǎn)作為對(duì)目標(biāo)函數(shù)的一次近似值，若此值不滿足收斂精度要求，則將其作為求優(yōu)的下一次迭代的初始點(diǎn)。經(jīng)多次迭代，使之逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。牛頓型方法1、牛頓法牛頓法牛頓法3.5約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為

根據(jù)求解方式的不同，約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可分為:直接解法、間接解法

minf(X)s.t.gu(X)≤0(u=1,2,…,m)

hv(X)=0(v=1,2,…,p<n)3.5約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為根直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向S，且以適當(dāng)?shù)牟介L，沿S方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，直至滿足收斂條件。間接解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，思路是在m個(gè)不等式約約束優(yōu)化方法隨機(jī)方向法 復(fù)合型法可行方向法懲罰函數(shù)法增廣乘子法直接解法間接解法約束優(yōu)化方法隨機(jī)方向法 直接解法間接解法懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法是一種間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合為新的目標(biāo)函數(shù)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題。求解無約束優(yōu)化問題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法是一種間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點(diǎn)是否可行，分為：內(nèi)點(diǎn)法外點(diǎn)法混合法按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點(diǎn)是否可行，分為：案例分析單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)已知單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器的輸入扭矩T1=2674N·m，傳動(dòng)比i=5，現(xiàn)要求確定該減速器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在保證承載能力條件下，使減速器的重量最輕。小齒輪擬選用實(shí)心輪結(jié)構(gòu)，大齒輪為四孔輻板式結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)尺寸如圖所示，圖中△1=280mm，△2=320mm。案例分析單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)建立數(shù)學(xué)模型(1)確定目標(biāo)變量

求質(zhì)量最輕，也就是體積最小。體積V取決于齒輪寬度B，小齒輪齒數(shù)z1，模數(shù)m，軸的支承跨距l(xiāng)，主動(dòng)軸直徑d1',從動(dòng)輪直徑d2'，和傳動(dòng)比i等七個(gè)參數(shù)。其中傳動(dòng)比i為常量，有已知條件給定。所以，該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可取設(shè)計(jì)變量為

X=(X1,X2,X3,X4,X5,X6)T=(B,z1,m,l,d1',d2')T建立數(shù)學(xué)模型(1)確定目標(biāo)變量（2）建立目標(biāo)函數(shù)以齒輪減速器的重量最輕為目標(biāo)函數(shù)，而此減速器的重量可以一對(duì)齒輪和兩根軸的重量之和近似求出。由此，減速器的重量W=(V1+V2+V3+V4)ρ，因鋼的密度為常數(shù)，所以可取減速器的體積為目標(biāo)函數(shù)。將設(shè)計(jì)變量帶入減速器的體積公式，經(jīng)整理后得目標(biāo)函數(shù)為

（2）建立目標(biāo)函數(shù)（3）確定約束條件1，為了避免根切，小齒輪的次數(shù)z1=17，于是得到約束條

件

g1(X)=17-x2≤0

2，傳動(dòng)動(dòng)力的齒輪，要求齒輪模數(shù)一般大于2mm，故

得

g2(X)=2-x3≤0

3，根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，主從動(dòng)輪的直徑范圍取150mm≥d，1≥100mm，200mm≥d，2≥130mm，則軸直徑約束為

g3(X)=100-x5≤0

g4(X)=x5-150≤0

g5(X)=130-

x6≤0

g6(X)=x6-200≤0

（3）確定約束條件4，為了保證承載能力，且避免載荷沿齒寬分布嚴(yán)重不均，要求16≤B/m≤35，由此得

G7(X)=x1/35x3-1≤0

G8(X)=1-x1/16x3≤0

5，根據(jù)工藝裝備條件，要求大齒輪直徑不得超過1500mm，若i=5，則小齒輪直徑不得超過300mm，即d1-300≤0，寫成約束條件為

g6(X)=x2x3/300-1≤0

6，按齒輪齒面接觸強(qiáng)度條件，有

σH=670（（i+1）KT1/Bd21i）1/2≤（σH）

式中，T1取2674000N·mm，K=1.3，（σH）=885.5N·mm2.將以上個(gè)參數(shù)代入上式，整理后可得接觸應(yīng)力約束條件g10（X）=670/855.5（（i+1）KT1/x1x2x3i）-1≤04，為了保證承載能力，且避免載荷沿齒寬分布嚴(yán)重不均，要求167，按齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件有

σF

=2KT1/Bd1mY≤(σF)

若取T1=2674000N·mm，K=1.3，(σF1)

=855.5N·mm2，(σF2)

=213.3N·mm2；若大小齒輪齒形系數(shù)Y2，Y1分別按下式計(jì)算，得

Y2=0.2824+0.00035399（ix2）-0.000001576（ix2）2

Y1=0.169+0.3006666x2-0.0000854x22

則得小齒輪彎曲疲勞條件為

g11（X）=2KT1/261.7x1x2x3y1-1≤0

大齒輪的彎曲疲勞條件為

g12（X）=2KT1/213.3x1x2x3y2-1≤0

8，根據(jù)軸的剛度計(jì)算公式的主動(dòng)軸的剛度約束條件為

g13（X）=Fx4/48*0.003EJ-1≤0

7，按齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件有

σF

=2KT1/Bd1m9，主從動(dòng)輪的彎曲強(qiáng)度條件σW=（M2+（α1T）2）1/2/W≤（σ-1）對(duì)主動(dòng)軸：軸主動(dòng)彎M=T1x4/x2x3cosα；若取T1=2674000N·mm;α=20。得主動(dòng)輪彎曲強(qiáng)度約束為g14（X）=（M2+（α1T）2）1/2/5W1≤0對(duì)從動(dòng)軸：W2=0.1d`32=0.1x36;（σ-1）=55N·mm2.可得從動(dòng)輪彎曲強(qiáng)度約束為g15（X）=（M2+（α1T）2）1/2/5W2≤010，軸的支承跨距按結(jié)構(gòu)1關(guān)系和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)取l≥B+2Δmin+0.25d`2其中，Δmin為箱體內(nèi)壁導(dǎo)軸承中心線的距離，現(xiàn)取Δmi