中考數學壓軸題突破：幾何最值問題大全

中考數學壓軸題突破：幾何最值問題大全中考壓軸題突破：幾何最值問題大全一、基本圖形解決幾何最值問題的老祖宗只有兩個：①[定點到定點]：兩點之間，線段最短；②[定點到定線]：點線之間，垂線段最短。此外，還有③[定點到定點]：三角形兩邊之和大于第三邊；④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；⑤[定點到定圓]：點圓之間，點心線截距最短（長）；⑥[定線到定圓]：線圓之間，心垂線截距最短；⑦[定圓到定圓]：圓圓之間，連心線截距最短（長）。以[定點到定圓]為例，已知⊙O半徑為r，AO=d，P是⊙O上一點，求AP的最大值和最小值。由“兩點之間，線段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小時點P在B處，最大時點P在C處。即過圓心和定點的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。(可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實質也是由“兩點之間，線段最短”推得）。二、考試中出現的問題考試中出現的問題都是在基本圖形的基礎上進行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點的形式確定的；再如過定點的直線與動點所在路徑不相交而需要進行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動點路徑待確定；（3）動線（定點）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例如，在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是。由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定點，C是直線AC上的動點，即為求定點D到定線AC的最短路徑，求得當CD⊥AC時最短為3。（二）動點路徑待確定例如，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是。此時，A是定點，B'是動點，但題中未明確告知B'點的運動路徑，所以需先確定B'點運動路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉化為定點到定圓的最短路徑為AC-B'C=1。在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5。將△ABC繞點C順時針旋轉得到△A'B'C，其中點E是BC的中點，點F為線段AB上的動點。在△A'B'C繞點C順時針旋轉過程中，點F的對應點是F'。要求線段EF'長度的最大值與最小值的差。我們可以先確定線段A'B'的運動軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內圓半徑為AB邊上的高。F'是A'B'上任意一點，因此F'的運動軌跡是圓環(huán)內的任意一點。由此我們可以轉化為求點E到圓環(huán)的最短和最長路徑。E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。對于動線段（或定點），我們需要將其放在動點軌跡的兩側。在本題中，三條動線段PM、MN、PN在OA、OB的內側。因此，我們需要把定線段變換到動點軌跡的兩側，從而把三條動線段PM、MN、PN轉化為連接兩點之間的路徑。我們可以把點P分別沿OA、OB翻折得到P1、P2，將△PMN的周長轉化為P1M+MN+P2N。這三條線段的和正是連接兩個定點P1、P2之間的路徑，從而轉化為求P1、P2兩點之間最短路徑。得到△PMN的周長最小值為線段P1P2=OP=6。在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點。我們需要將動線段BM、MN放在動點軌跡AD的另一側。將點N沿AD翻折至AC上，得到BM+MN=BM+MN'。這樣，我們可以轉化為求點B到直線AC的最短路徑，即BN'⊥AC時，最小值為22。在造橋選址問題中，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個村莊。我們需要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短。橋須與河岸垂直。這個問題可以通過平移變換來解決。我們可以將橋的位置平移至河的中心線上，從而使得A、B之間的路徑最短。例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH=2√3，AB=2√19，在公路BC上行進的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎么還不回來），這真是一個悲傷的故事，也是因為不懂數學而導致的。那么，從B至A怎樣行進才能最快到達？解析：假設BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時間最短即求BP/2+AP最小。考慮如何將BP/2轉化為另一條線段，可以構造含30°角利用三角函數關系。如下圖，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP。由垂線段最短可知，當A、P、Q共線時AP+PQ=AQ'最小。【三角變換類】典型問題：“胡不歸”例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點A（4，），連接AC、AD，設C點橫坐標為m，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值。解析：兩條動線段AC、AD居于動點所在直線的兩側，不符合基本圖形中定形（點線圓）應在動點軌跡的兩側。首先把AC沿直線CD翻折至另一側，如下圖：現在把周長轉化為A'C+CD+AD，還需解決一個問題：動線段A'C與AD之間被定長線段CD阻斷，動線段必須轉化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把A'C沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖?，F在已經轉化為A''D+AD的最短路徑問題，屬定點到定點，當A''D與AD共線時A''D+AD最短，即為線段AA''的長。已知點A(-4,-4)、B(0,4)、C(0,-6)、D(0,-1)，其中AB與x軸交于點E。以點E為圓心，ED長為半徑作圓，點M為圓上一動點，求1/2AM+CM的最小值。解法：在M的運動過程中，EM：AE=1:2保持不變，因此可以構造相似三角形，使之與△AEM的相似比為1:2。如圖所示，取EN:EM=1:2，即可得△EMN∽△EAM，從而得到MN=1/2AM。顯然，MN+CM的最小值就是定點N、C之間的最短路徑。接下來，我們需要求出N點的