第5節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法

第七章第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理與一般步驟.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式3.歸納—猜想—證明1.邏輯推理2.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N+)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=

時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.微點(diǎn)撥推證n=k+1時(shí)一定要用上n=k時(shí)的假設(shè),否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.微思考數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)初始值n0一定是1嗎?

k+1提示:不一定.要根據(jù)題目條件或具體問(wèn)題確定初始值.2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式典例突破

突破技巧(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.(2)由n=k時(shí)等式成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫(xiě)出證明過(guò)程.(3)不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.求證:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=f(1)=1,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí),等式成立,即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],那么,當(dāng)n=k+1時(shí),f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],即當(dāng)n=k+1時(shí)等式仍然成立.由(1)(2)可知f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式典例突破例2.(2021廣西師大附中高三月考)已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n,突破技巧用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意點(diǎn)(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),若用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)證明的關(guān)鍵是:由n=k時(shí)命題成立證n=k+1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明,充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.于是當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式對(duì)任意n∈N+都成立.考點(diǎn)三歸納—猜想—證明典例突破例3.(2021寧夏中衛(wèi)中寧一中高三月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,記bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an).(1)寫(xiě)出數(shù)列{bn}的前三項(xiàng);(2)猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.突破技巧“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

計(jì)算根據(jù)條件,準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng),這是歸納、猜想的前提歸納、猜想通過(guò)觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想,猜想出一般的結(jié)論證明對(duì)一般結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3觀察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此規(guī)律下去.(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式.(2)你能做出什么一般性的猜想?請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.解:(1)第5個(gè)等式:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.(2)猜想:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N+).下面證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=(2-1)2=1,所以等式成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)等式成立,即有k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,那么當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2