第四節(jié)　空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第四節(jié)空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)第八章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.了解空間中線線、線面、面面垂直的關(guān)系,認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義文字語言圖形語言符號語言直線l與平面α垂直的充要條件是如果直線l與平面α內(nèi)的

任意

直線都垂直,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足

l⊥α??m?α,l⊥m(2)直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的

兩條相交

直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直

m?α,n?α,m∩n≠?,l⊥m,l⊥n?l⊥α(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

微點(diǎn)撥

定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.如果一條直線與平面內(nèi)再多(即無數(shù)條)的直線垂直,但這些直線不相交就不能說明這條直線與此平面垂直.微思考

空間中任意一直線m,在平面α內(nèi)是否存在無數(shù)條直線與m垂直?提示

存在,如圖.2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直一般地,如果兩個(gè)平面α與β所成角的大小為

90°

,則稱這兩個(gè)平面互相垂直,記作

α⊥β

.

(2)面面垂直的判定定理

實(shí)際應(yīng)用:找出一個(gè)平面的垂面的依據(jù)(3)面面垂直的性質(zhì)定理

常用結(jié)論直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.微點(diǎn)撥

在性質(zhì)定理中要注意兩點(diǎn):一是“在平面內(nèi)”,二是“垂直于交線”,缺一不可.它是作平面垂線的一個(gè)重要依據(jù),我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)2.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)3.若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(

)4.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)×√××題組二

雙基自測5.

已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是(

)A.α⊥γ,β⊥γ

B.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥α

D.a∥α,a⊥β答案

D解析

α⊥γ,β⊥γ?α與β相交或平行,故A不正確;∵α∩β=a,b⊥a,b?β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正確;a∥β,a∥α?α與β相交或平行,故C不正確;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一條直線垂直于β,∴α⊥β,故D正確.6.

過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的

心.

(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點(diǎn)O是AB邊的

點(diǎn).

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P,則點(diǎn)O是△ABC的

心.

答案

(1)外

(2)中

(3)垂解析

(1)∵過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC,圖略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴點(diǎn)O是△ABC的外心.(2)由(1)知,點(diǎn)O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如圖,∴點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn).(3)連接AO并延長交BC于一點(diǎn)E,∵PA,PB,PC兩兩垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,BC?平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA?平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE?平面APE,∴BC⊥AE.同理可證HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一線面、面面垂直(平行)關(guān)系的判斷例題(1)(多選)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是(

)A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥nB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ(2)已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,有下列結(jié)論:①PA⊥BC,②PB⊥AC,③PC⊥AB,④AB⊥BC.其中正確的有

.(填序號)

答案

(1)AD

(2)①②③解析

(1)因?yàn)閙⊥α,α∥β,所以m⊥β,因?yàn)閚⊥β,所以m∥n,故A正確;當(dāng)α,β,γ是某三棱柱的三個(gè)側(cè)面時(shí),可以滿足α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,但是α與β相交,故B錯(cuò)誤;垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閙⊥α,α∥β,所以m⊥β,因?yàn)棣隆桅?所以m⊥γ,故D正確.(2)如圖,因?yàn)镻A⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,且PB?平面PBC,PC?平面PBC,所以PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,所以PA⊥BC.同理可得PB⊥AC,PC⊥AB.故①②③正確.由已知條件無法得到④.規(guī)律方法

判斷與空間平行、垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系.(2)尋找反例,只要存在反例,結(jié)論就不正確.(3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況,必要時(shí)要運(yùn)用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明.對點(diǎn)訓(xùn)練(多選)已知平面α和兩條不同的直線m,n,下面的條件中一定可以推出m⊥n的是(

)A.m⊥α,n∥α B.m⊥α,n⊥αC.m?α,n⊥α D.m∥α,n∥α答案

AC解析

對于A,若n∥α,則存在直線b?α,且n∥b,因?yàn)閙⊥α,b?α,所以m⊥b,即m⊥n,故A正確;對于B,若m⊥α,n⊥α,則m∥n,故B錯(cuò)誤;對于C,m?α,n⊥α,則m⊥n,故C正確;對于D,若m∥α,n∥α,則m,n的位置關(guān)系為平行、相交或異面,故D錯(cuò)誤.考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例題

(2021·全國甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn),證明:BF⊥DE.(1)解

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.(2)證明

如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點(diǎn),∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.規(guī)律方法

證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用,其思維流程為:對點(diǎn)訓(xùn)練如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.證明

(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,AB,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.考點(diǎn)三平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例題(2022·全國乙,文18)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求三棱錐F-ABC的體積.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E為AC的中點(diǎn),∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E為AC的中點(diǎn),∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,DE,BE?平面BED,∴AC⊥平面BED.∵AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解

∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴AC=2,BE=.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD為等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,即DE⊥BE.連接EF(圖略),∵點(diǎn)F在棱BD上,∴EF?平面BED.由(1)知,AC⊥平面BED,從而AC⊥EF,于是S△AFC=AC·EF=EF.故當(dāng)EF⊥BD時(shí),EF最小,△AFC的面積最小,此時(shí)由(1)知,AC⊥平面BED,所以AC⊥BD.又EF∩AC=E,EF,AC?平面AFC,∴BD⊥平面AFC.規(guī)律方法

利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法

對點(diǎn)訓(xùn)練如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為正方形,DE=BD=1,CE=,G為AD的中點(diǎn),H為DE的中點(diǎn).(1)求證:平面ADEF⊥平面ABCD,且FH⊥BE;(2)求三棱錐B-CEG的體積.(1)證明

因?yàn)樗倪呅蜛DEF為正方形,所以DE⊥DA,AD=DE=1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以DC=DE=1.又因?yàn)镃E=,所以CE2=DE2+DC2,所以DE⊥DC.因?yàn)镈A∩DC=D,且DA,DC?平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.又因?yàn)镈E?平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABCD.因?yàn)锽D=1=AD=AB,G為AD的中點(diǎn),所以BG⊥AD.又BG?平面ABCD,且平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面ADEF.因?yàn)镠F?平面ADEF,所以BG⊥HF.因?yàn)樗倪呅蜛DEF為正方形,G為AD的中點(diǎn),H為DE的中點(diǎn),所以因?yàn)锽G∩GE=E,BG,GE?平面BGE,所以HF⊥平面BGE,因?yàn)锽E?平面BGE,所以FH⊥BE.(2)解

由四邊形ADEF為正方形,所以DE⊥AD.又DE?平面ADEF,平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以DE⊥平面ABCD,可得三棱錐E-GBC的高為DE=1.因?yàn)锽G⊥AD,AD∥BC,所以BG⊥BC.考點(diǎn)四平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例題(2022·全國甲,文19)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示,底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)證明:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).(1)證明

過點(diǎn)E作EE'⊥AB于點(diǎn)E',過點(diǎn)F作FF'⊥BC于點(diǎn)F',連接E'F'.∵底面ABCD是邊長為8的正方形,△EAB,△FBC均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四邊形EE'F'F是平行四邊形,則EF∥E'F'.∵E'F'?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解

過點(diǎn)G,H分別作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于點(diǎn)G',H',連接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點(diǎn),六面體EFGH-E'F'G'H'為長方體,故該包裝盒由一個(gè)長方體和四個(gè)相等的四棱錐組合而成.∵底面ABCD是邊長為8的正方形,規(guī)律方法

立體幾何中線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系的兩種轉(zhuǎn)化

對點(diǎn)訓(xùn)練