高考解答題專項(xiàng)一　第3課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

第3課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)高考解答題專項(xiàng)一考向1.判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1.(2021江西上饒二模)已知函數(shù)f(x)=2exsinx.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記g(x)=f(x)-ax,0<a<6,試討論g(x)在(0,π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù):≈4.8)(2)由已知g(x)=2exsin

x-ax,∴g'(x)=2ex(sin

x+cos

x)-a,令h(x)=g'(x),則h'(x)=4excos

x.①當(dāng)2-a≥0,即0<a≤2時(shí),g'(0)≥0,∴存在x0∈

,使得g'(x0)=0,∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)內(nèi)是遞增的,(x0,π)內(nèi)是遞減的.∵g(0)=0,∴g(x0)>0,又g(π)=-aπ<0,∴由零點(diǎn)存在性定理可得,此時(shí)g(x)在(0,π)上僅有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)2<a<6時(shí),g'(0)=2-a<0,且當(dāng)x∈(0,x1),x∈(x2,π)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g'(x)>0.∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)內(nèi)是遞減的,在(x1,x2)內(nèi)是遞增的.∵g(0)=0,∴g(x1)<0,又g(π)=-aπ<0,由零點(diǎn)存在性定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即此時(shí)g(x)在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述,當(dāng)0<a≤2時(shí),g(x)在(0,π)上僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)2<a<6時(shí),g(x)在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).突破技巧函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù),也就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),所以可以借助函數(shù)圖像的特征求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.對(duì)于含參函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),一般可從兩個(gè)方面討論:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,作出函數(shù)的大致圖像,根據(jù)極大值和極小值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即“幾個(gè)交點(diǎn)幾個(gè)根,正負(fù)極值定乾坤”;(2)分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,即“求根問題要通變,分離參數(shù)放左邊”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2021廣東惠州高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+sinx+a.(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)求證:當(dāng)a∈[1,3]時(shí),f(x)有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn).(2)證明:由已知a∈[1,3],f(x)定義域?yàn)?0,+∞),

①由(1)知,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,x0)內(nèi)是遞增的,當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(x0,π)內(nèi)是遞減的,所以f'(x)=0在[π,6)上有唯一的根,且記為x1∈[π,6),使f'(x1)=0.綜合①可知f(x)在[x0,x1)上是遞減的,在(x1,6)內(nèi)是遞增的,則f(x1)<f(6)=ln

6-6+sin

6+a<ln

6-6+1+3<ln

6-2<0.因?yàn)閒(x0)·f(x1)<0,f(x1)·f(6)>0,所以f(x)在[x0,6)上恰有1個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)x∈[6,+∞)時(shí),f(x)≤ln

x-x+4,設(shè)φ(x)=ln

x-x+4,φ'(x)=

-1<0,所以φ(x)在[6,+∞)上是遞減的,則φ(x)≤φ(6)=ln

6-6+4=ln

6-2<0,所以當(dāng)x∈[6,+∞)時(shí),f(x)≤φ(x)≤φ(6)<0恒成立,所以f(x)在[6,+∞)上沒有零點(diǎn),綜上,當(dāng)a∈[1,3]時(shí),f(x)有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn).考向2.已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的值(或范圍)例2.已知函數(shù)f(x)=xex-a(x+1)2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若a=e,求函數(shù)f(x)的極值;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)(方法1)分類討論法f'(x)=(x+1)ex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),若a=0,易知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),故不符合題意,若a<0,當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,f(x)是遞減的,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)是遞增的,由f(-1)=-

<0,且f(1)=e-2a>0,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→+∞,所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=-1或x=ln

a,若ln

a<-1,即0<a<

,當(dāng)x∈(-∞,ln

a)和(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)是遞增的,(方法2)數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)x=-1時(shí),方程為-e-1=0,顯然不成立,所以x=-1不是方程的解,即-1不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),當(dāng)x<-1時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)是遞減的,當(dāng)x>-1時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)是遞增的,當(dāng)x=0時(shí),g(x)=0;當(dāng)x→-∞時(shí),g(x)→0,當(dāng)x→-1時(shí),g(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞,故函數(shù)g(x)的圖像如圖所示,作出直線y=a,由圖可知,當(dāng)a<0時(shí),直線y=a和函數(shù)g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0).突破技巧利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域問題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解;(2)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解;(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2021江蘇南京二模)已知函數(shù)f(x)=ex-axsinx-x-1,x∈[0,π],a∈R.(1)當(dāng)a=

時(shí),求證:f(x)≥0;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.所以h(x)即f'(x)在[0,π]上是遞增的,于是f'(x)≥f'(0)=0,因此f(x)在[0,π]上是遞增的,所以f(x)≥f(0)=0.設(shè)g(x)=f'(x)=ex-a(xcos

x+sin

x)-1,g'(x)=ex+a(xsin

x-2cos

x),因?yàn)閑x>0,a(3sin

x+xcos

x)≥0,所以φ'(x)>0,所以φ(x)即g'(x)是遞增的.又因?yàn)閒'(0)=0,f'(x0)<f'(0)=0,f'(π)=eπ+aπ-1>0,因此f'(x)在(x0,π)上存在唯一的零點(diǎn)x1.當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f'(x)<0,f(x)是遞減的,當(dāng)x∈(x1,π)時(shí),f'(x)>0,f(x)是遞增的.又f(0)=0,f(x1)<f(0)=0,f(π)=eπ-π-1>0,所以f(x)在(x1,π)上存在唯一零點(diǎn),因此f(x)在[0,π]上有兩個(gè)零點(diǎn).考向3.可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)問題例3.(2021陜西西安三模)已知函數(shù)f(x)=2ex-x2-2(x-1)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)f(x)=2ex-x2-2(x-1),定義域?yàn)镽,f'(x)=2(ex-x-1),令φ(x)=f'(x),φ'(x)=2(ex-1),令φ'(x)>0,解得x>0,令φ'(x)<0,解得x<0,所以φ(x)在(-∞,0)上是遞減的,在(0,+∞)上是遞增的,所以f'(x)=φ(x)≥φ(0)=0,所以f(x)的遞增區(qū)間為R,無遞減區(qū)間.(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex=aex-x2-2(x-1)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn),即g'(x)=aex-2x-2有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).令h(x)=g'(x)=aex-2x-2,①當(dāng)a≤0時(shí),h(x)=aex-2x-2在R上是遞減的,最多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②當(dāng)a≥2時(shí),h(x)=aex-2x-2≥2(ex-x-1),由(1)ex≥x+1,知h(x)=aex-2x-2≥2(ex-x-1)≥0,最多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;突破技巧若f'(x)為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),x0為f(x)的極值點(diǎn),則必有f'(x0)=0.曲線的切線條數(shù)、兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)問題、方程根的個(gè)數(shù)等解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,通過數(shù)形結(jié)合等方式,研究函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí),確定相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2021貴州貴陽模擬)已知曲線f(x)=xex-ax3-ax2,a∈R.(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)y=f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,x3(x1<x2<x3),求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并證明:0<f(x2)<.解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=xex,則f'(x)=ex+xex,所以f'(1)=2e,由f(1)=e,故曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-e=2e(x-1),化簡得2ex-y-e=0.(2)f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒'(x)=ex(x+1)-2ax(x+1)=(x+1)(ex-2ax),所以令f'(x)=0,即(x+1)(ex-2