線性代數(shù)第一章課件

線性代數(shù)教材：《線性代數(shù)》,吳傳生主編,

2015年12月第3版,高等教育出版社

參考書：

1．吳贛昌主編，《線性代數(shù)》，中國人民大學(xué)出版社，第4版;

2．SergeLang，《IntroductiontoLinearAlgebra》，Springer;

3．錢吉林編著，《高等代數(shù)題解精粹》，中央民族大學(xué)出版社.線性代數(shù)教材：《線性代數(shù)》,吳傳生主編,參考書：1作業(yè)上交時間和順序：

第3次，5次，7次…課前交作業(yè)，

過期不予彌補，視為缺一次作業(yè)。

期末考核形式：考試（課程試卷；閉卷）成績評定：平時成績占40分，期末考試占60分平時成績組成：課堂考勤12分，課外作業(yè)12分期中測驗12分，課程論文4分作業(yè)上交時間和順序：

第3次，5次，7次…課前交作業(yè)，

2

第一章行列式

第一節(jié)全排列及其逆序數(shù)舉例：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？六種：123132213231312321定義1：把個不同的元素排成一列，叫做這

個元素的一個全排列（簡稱排列）。個不同元素的所有排列的種數(shù)通常用表示,

第一章行列式第一節(jié)全排列及其逆序數(shù)舉例：用1、3定義2:對于個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有

一個標(biāo)準(zhǔn)次序,這個元素的任一排列中,當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時,就說有一個逆序,一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)，排列的逆序數(shù)記為。定義2:對于個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有4逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列為偶排列。舉例：求排列32514的逆序數(shù)。

定理1:一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變

奇偶性。推論：奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的舉例：求排列3251、二階行列式的定義第二節(jié)行列式的定義

一、行列式的定義1、二階行列式的定義第二節(jié)行列式的定義一、行62、三階行列式的定義

2、三階行列式的定義73、階行列式的定義定義1：設(shè)有個數(shù)，排成行列的數(shù)表令為數(shù)的所有排列所組成的集合，稱代數(shù)和為階行列式。

3、階行列式的定義定義1：設(shè)有個數(shù)，排成8記作，簡記為，稱為行列式的元素。定理1：階行列式也可定義為

其中的是由數(shù)的所有排列所組成的集合。

記作91、對角行列式

由行列式的定義可以證明對角行列式

二、特殊行列式1、對角行列式由行列式的定義可以證明對角行列式二、特殊行102、三角形行列式稱為下三角形行列式，

為上三角形行列式。對于下三角形行列式，有

2、三角形行列式稱11第三節(jié)行列式的性質(zhì)對一般的高階行列式采用定義來進(jìn)行計算，是很復(fù)雜的，如何計算高階行列式呢？記，稱行列式為行列式的轉(zhuǎn)置行列式，記作。第三節(jié)行列式的性質(zhì)對一般的高階行列式采用定義來進(jìn)行計算，12性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。由此可知性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論1：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。由此可知性質(zhì)2：互換13性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。

推論2：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論3：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，

則此行列式等于零。性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘推論2：行列式14性質(zhì)4：性質(zhì)4：15性質(zhì)5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以

同一個數(shù)后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。（注：這是一個很重要的性質(zhì)，我們經(jīng)常利用這條性質(zhì)將一般的行列式變換成三角形行列式來進(jìn)行行列式的計算）性質(zhì)5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以（注：這是一個很16例1：計算例2：計算

例1：計算例2：計算17例3：設(shè)，，，證明：。例如計算例3：設(shè)18第四節(jié)行列式的按行（列）展開除了采用行列式的性質(zhì)外，還有其它方法能計算高階行列式嗎？定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，所得到的階行列式叫做元素的余子式，記作，稱為元素的代數(shù)余子式，記作。第四節(jié)行列式的按行（列）展開除了采用行列式的性質(zhì)外，還有19引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，則這個行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積。定理1：行列式等于它的任一行（列）的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：或引理：一個階行列式，如果其中第行所有定20這個定理叫做行列式按行（列）展開法則，利用這個法則可將高階行列式降為低階行列式來進(jìn)行行列式的計算。定理2：行列式某一行（列）的元素與另一行

（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或這個定理叫做行列式按行（列）展開法則，利用定理2：行列式某21例1：利用按行（列）展開法則計算例2：計算行列式例1：利用按行（列）展開法則計算例2：計算行列式22例3：設(shè)求和。例3：設(shè)求23例4：計算

例4：計算24例4：計算例4：計算25例5：證明范德蒙德（Vandermonde）行列式例5：證明范德蒙德（Vandermonde）行列式26第五節(jié)克拉默法則行列式有何作用呢？對于方程組的解為第五節(jié)克拉默法則行列式有何作用呢？對于方程組27對于含有個未知數(shù)的個線性方程組成的方程組

(1)

有以下結(jié)論：對于含有個未知數(shù)28定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即那么,方程組(1)有唯一解這里的

定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等這里的29這個定理被稱為克拉默法則，這個定理也可敘述為：

如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式，則（1）一定有解，且解是唯一的。

它的逆否定理為：

如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式。這個定理被稱為克拉默法則，這個定理也可敘述為：它的逆否定理為30例1：解線性方程組

例1：解線性方程組31當(dāng)線性方程組（1）中的不全為零時，稱方程組(1)為非齊次線性方程組，當(dāng)全為零時，稱方程組（1）為齊次線性方程組。對于齊次線性方程組

(2)

一定是它的解，稱這個解為方程組（2）的零解。當(dāng)線性方程組（1）中的不32除了零解外，齊次方程組（2）在什么條件下還有其它解呢？定理2：如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則（2）沒有非零解。它的