2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（文）（解析版）

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（文）知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式知識(shí)點(diǎn)4：雙變量問(wèn)題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）知識(shí)點(diǎn)5：零點(diǎn)問(wèn)題近三年高考真題知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題1．（2023?甲卷（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，若SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足題意；綜合可得：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2023?乙卷（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，求導(dǎo)可得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理可得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求導(dǎo)可得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，不符合題意，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，符合題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，即SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不符合題意，綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．3．（2021?天津）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（2）證明函數(shù)SKIPIF1<0存在唯一的極值點(diǎn)；（3）若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0；（2）證明：令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，作出圖象，如圖，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0僅有一個(gè)交點(diǎn)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)；所以SKIPIF1<0時(shí)是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，故SKIPIF1<0僅有一個(gè)極值點(diǎn)；（3）由（2）知SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，則等價(jià)于存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單調(diào)增函數(shù)，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(3)求SKIPIF1<0的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0恒成立，所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（3）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在SKIPIF1<0上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有SKIPIF1<0個(gè)極值點(diǎn).5．（2021?北京）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0處的切線方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如右圖，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值1，且為最大值1；在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，且為最小值SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的最大值為1，最小值為SKIPIF1<0．6．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜合可得：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，易知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，這顯然與SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，滿足SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，符合題意；③若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0只考慮SKIPIF1<0的情況，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，與顯然與SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．綜合可得：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式7．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得證，即SKIPIF1<0得證．8．（2022?上海）SKIPIF1<0．（1）若將函數(shù)SKIPIF1<0圖像向下移SKIPIF1<0后，圖像經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．（2）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求解不等式SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，將函數(shù)SKIPIF1<0圖像向下移SKIPIF1<0后，得SKIPIF1<0的圖像，由函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0；綜上知，SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．9．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)遞增，所以SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0矛盾，故舍去；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，符合題意．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．另SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，所以SKIPIF1<0，與題意矛盾；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，滿足題意；．③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，滿足題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0遞減，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，此時(shí)SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，所以SKIPIF1<0，與題意矛盾．綜上可得，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）由（2）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．另運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，左邊SKIPIF1<0成立．假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式成立，即SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，要證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0．可令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則需證明SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，則需證明SKIPIF1<0．構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上遞減，則SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以原不等式成立，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立．綜上可得，SKIPIF1<0成立．知識(shí)點(diǎn)4：雙變量問(wèn)題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）10．（2022?天津）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點(diǎn)．（?。┊?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的取值范圍；（ⅱ）求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0；（2）（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點(diǎn)，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又易證SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．11．（2022?北京）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的單調(diào)性；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入原函數(shù)可得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入導(dǎo)函數(shù)可得：SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0處切線斜率為1，故SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；解法二：由（Ⅰ）有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得SKIPIF1<0上SKIPIF1<0上是增函數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增．（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（Ⅱ）有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得證．12．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減．（2）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩根，其中SKIPIF1<0．不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得證．同理，要證SKIPIF1<0，（法一）即證SKIPIF1<0，根據(jù)（1）中SKIPIF1<0單調(diào)性，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0得證，（法二）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得證，則SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)5：零點(diǎn)問(wèn)題13．（2022?甲卷（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線也是曲線SKIPIF1<0的切線．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)該切線與SKIPIF1<0切于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，設(shè)該切線與SKIPIF1<0切于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則切線方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0變化時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞減SKIPIF1<0單調(diào)遞增SKIPIF1<0單調(diào)遞減SKIPIF1<0單調(diào)遞增則SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．14．（2022?乙卷（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的最大值；（2）若SKIPIF1<0恰有一個(gè)零點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值，同時(shí)也是最大值，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由（1）可知，函數(shù)SKIPIF1<0無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0無(wú)零點(diǎn)；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由（1）可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)；④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0有唯一零點(diǎn)；⑤當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，又由（1）可得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，故存在SKIPIF