【解析】北京市匯文中學2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

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北京市匯文中學2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪個是最簡二次根式（）

A．B．C．D．

2．（2023八下·大理期末）以下列各數為邊長，能構成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

3．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形中，若，則的度數為（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·懷安期末）下列計算中，正確的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八下·漢陽期中）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構成一個四邊形，這個四邊形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．無法判斷

6．（2023八下·海淀期末）如圖，在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發(fā)現旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

7．（2023八下·北京市期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

8．（2023八下·門頭溝期末）下列命題正確的是（）．

A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B．對角線相等的四邊形是矩形

C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）

A．1B．2C．3D．4

10．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務：過直線上一點C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學習工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標出M，N兩點．①使點M與點C重合，點N對應的位置標記為點Q．②保持點N不動，將木棒繞點N旋轉，使點M落在上，將旋轉后點M對應的位置標記為點R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

二、填空題

11．（2023八下·北京市期中）若有意義，請寫出符合條件的一個x的值：．

12．（2023八下·北京市期中）計算的結果為．

13．（2023八下·北京市期中）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點D，E，測得D，E兩點間的距離為20m，則A，B兩點間的距離為m．

14．（2023八下·北京市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中點，則∠ADC＝．

15．（2023八下·北京市期中）如圖，在數軸上點A表示的實數是__．

16．（2023八下·北京市期中）如圖，在菱形中，E，F，G，H分別是邊，，和的中點，連接，，和．若，，則菱形的面積為．

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，則n的值為．

18．（2023八下·北京市期中）已知為實數，記，

（1）當時，的值為．

（2）的最小值為．

三、解答題

19．（2023八下·北京市期中）計算

（1）

（2）

（3）

（4）

20．（2023八下·北京市期中）下面是小銘設計的“在一個平行四邊形內作菱形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：四邊形是平行四邊形．

求作：菱形（點在上，點在上）．

作法：①以為圓心，長為半徑作弧，交于點；

②以為圓心，長為半徑作弧，交于點；

③連接．

所以四邊形為所求作的菱形．

（1）根據小銘的做法，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據）

∵，

∴四邊形為菱形（）（填推理的依據）

21．（2023八下·北京期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，DE分別交BC、AB于點D、E.

（1）求證：△ABC為直角三角形．

（2）求AE的長．

22．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．

23．（2023八下·北京市期中）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當，，時．

（1）直接寫出p的化簡結果為．

（2）寫出計算S值的過程．

24．（2023八下·北京市期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．

（1）在圖①中，畫一個正方形，使它的邊長為；

（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數；

（3）在圖③中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．

25．（2023八下·北京市期中）某同學在解決問題：已知，求的值．

他是這樣分析與求解的：

先將進行分母有理化，過程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

請你根據上述分析過程，解決如下問題：

（1）若，請將進行分母有理化；

（2）在（1）的條件下，求的值；

（3）在（1）的條件下，求的值

26．（2023八下·北京市期中）三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以為例，大致過程如下：

第一步：將原方程變形為．即．

第二步：構造一個長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．

第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．

第四步：

將大正方形邊長用含的代數式表示為____．

小正方形邊長為常數____，

長方形面積之和為常數____．

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程____，兩邊開方可求得，．

（1）第四步中橫線上應依次填入，，，；

（2）請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．

27．（2023八下·北京市期中）現有正方形和一個直角．

（1）如圖1，若點與點重合，射線交延長線于，射線交正方形的邊于，則與的數量關系是，請證明你的結論；

（2）如圖2，若點在正方形的對角線上，射線交延長線于，射線恰好經過點，則與的數量關系是，請證明你的結論；

（3）若在正方形所在平面內任意移動，射線交直線于點，射線交直線于點，若與始終保持相等，請你直接寫出點所有可能的位置．

28．（2023八下·北京市期中）在平面直角坐標系中，對于P，Q兩點，給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．

（1）如圖1，已知點P的坐標為，在點，，中，與點P是“等距點”的有；

（2）如圖2，菱形四個頂點的坐標為，

①當時，點N為菱形的邊上一個動點，令點N到x、y軸的距離中的最大值為，則的取值范圍是；

②當時，點F為菱形的邊上一個動點，若平面中存在一點E，使得E，F兩點為“等距點”．在圖3中畫出點E的軌跡，并計算該軌跡所形成圖形的面積；

③我們規(guī)定：橫縱坐標均為整數的點是整點．若菱形的邊過定點，點F為菱形的邊上一個動點，平面中存在一點E，使得E，F兩點為“等距點”，若菱形內部（不含邊界）恰有9個整點，直接寫出點E的軌跡所覆蓋整點的個數．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】最簡二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

B.、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；

D、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意．

故答案為：C．

【分析】

最簡二次根式的概念：被開方數不含分母，被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．一般解題方法是：只要被開方數中是分數或小數，一定不是最簡二次根式；被開方數中含有能開得盡方的因數，也一定不是最簡二次根式．

2．【答案】B

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤.

故答案為：B.

【分析】根據勾股定理的逆定理可知，當三角形中三邊的關系滿足較小兩邊的平方和等于較大邊長的平方的時，則該三角形為直角三角形，從而一一判斷得出答案.

3．【答案】A

【知識點】平行四邊形的性質

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正確．

故答案為：A．

【分析】根據平行四邊形的性質得出，將代入求出的度數.

4．【答案】C

【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算不符合題意；

B.2與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算不符合題意；

C．，此選項計算符合題意；

D.2與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據二次根式的運算法則即可得出。

5．【答案】B

【知識點】菱形的判定

【解析】【解答】如圖，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四邊形ABCD是菱形.

故答案為：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四邊形ABCD是菱形.

6．【答案】C

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，如圖，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗桿的高度為12m．

故答案為：C．

【分析】設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，根據勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．【答案】D

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：如圖所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

則這只鉛筆的長度大于15cm．

故答案為：D．

【分析】根據題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長

8．【答案】D

【知識點】真命題與假命題

【解析】【解答】A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項為假命題；

B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項為假命題；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；

D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項為真命題．

故答案為：D．

【分析】

A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B、對角線相等的平行四邊形是矩形

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

9．【答案】B

【知識點】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點D、點E分別是AB，AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點E是AC的中點，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案為：B．

【分析】根據三角形中位線定理求出DE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得FE，即可．

10．【答案】C

【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

11．【答案】2（答案不唯一）

【知識點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵有意義，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值為2，

故答案為：2（答案不唯一）．

【分析】根據二次根式有意義的條件求解即可．

12．【答案】2023

【知識點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】解：

故答案為：2023

【分析】根據二次根式的性質（）即可求解．

13．【答案】40

【知識點】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點D，E分別是BC和AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案為：40．

【分析】先判斷出DE是△ABC的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB＝2DE，問題得解．

14．【答案】50°

【知識點】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案為：50°．

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線求出CD＝BD，根據等腰三角形的性質求出∠DCB＝∠B，再根據三角形的外角性質求出答案即可．

15．【答案】

【知識點】實數在數軸上的表示；勾股定理的應用

【解析】【解答】解：如圖，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案為：．

【分析】根據勾股定理求出OB的長度，然后根據點A在數軸上的位置即可解答．

16．【答案】16

【知識點】菱形的性質；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：連接AC、BD，交于點O，如圖所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案為：16．

【分析】連接AC、BD，交于點O，根據中位線的性質求出AC=4，BD=8，根據菱形面積公式求出菱形ABCD的面積

17．【答案】2

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：由題意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合題意，舍去）．

故答案為2．

【分析】根據題意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．【答案】（1）

（2）

【知識點】勾股定理的應用；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（1）當x=y=0時，

=；

故答案為：．

（2）

=

設P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如圖所示，

作B關于y軸的對稱點B'，作A點關于x軸的對稱點A'，連接A'B'與x軸交于點P，與y軸交于點Q，A'B'即為所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案為：．

【分析】（1）將x=y=0時，代入M進行計算即可得到答案；

（2）設P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐標系中畫出圖，根據最短路徑模型，作對稱點即可得到答案。

19．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知識點】二次根式的混合運算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根據二次根式的加減乘除混合運算進行計算；

（4）根據平方差公式計算即可.

20．【答案】（1）解：如圖所示：

菱形即為所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∵，

∴四邊形為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），

【知識點】菱形的判定與性質

【解析】【分析】（1）根據要求畫出圖形即可．

（2）利用平行四邊形的判定及性質和菱形的判定填寫理由．

21．【答案】（1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）證明：連接CE．

∵DE是BC的垂直平分線，

∴EC=EB，

設AE=x，則EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的長是．

【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據線段垂直平分線的性質可得BE=CE，設AE=x，則EC=4-x，根據勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知識點】勾股定理的應用；矩形的判定與性質

【解析】【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據矩形的判定推出即可；

（2）根據勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知識點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案為：．

【分析】（1）根據題目中提供的信息，代入數據根據二次根式的性質化簡即可；

（2）根據題目中的面積公式，代入數據根據二次根式的性質化簡求值即可。

24．【答案】（1）解：如圖①，正方形即為所求，

；

（2）解：如圖②，即為所求，

；

（3）如圖③，即為所求，

，

2

【知識點】勾股定理的逆定理；勾股定理的應用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最長邊上的高的長度為：

【分析】（1）根據勾股定理得出正方形的邊長，即可得到圖形；

（2）構造邊長為3，4，5的直角三角形即可；

（3）根據勾股定理逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據三角形的面積計算公式進行計算即可得到答案．

25．【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根據（2）可知，，

∴

．

【知識點】分母有理化；二次根式的化簡求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法進行解答即可；

（2）根據可得，進而根據完全平方公式即可求解；

（3）根據（2）可知，，則，將代入即可求解．

26．【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：將原方程變形為，即，

第二步：構造成一個長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，

第三步：用四個這樣的長方形圍城一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖所示，

，

第四步：

將大正方形邊長用含的代數式表示為，

小正方形邊長為常數，

長方形面積之和為常數，

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

得方程，

兩邊開方可求得，．

【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的應用-幾何問題

【解析】【解答】（1）解：根據題意可得：

大正方形的邊長為：[x+(x-2)]，

小正方形的邊長為：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

長方形面積之和為：4×3=12，

∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

故答案為：，2，12，．

【分析】（1）根據題意，大正方形的邊長為[x+(x-2)]，小正方形的邊長為[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得長方形面積之和，再結合圖形根據由大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；

（2）先將原方程變形，構造出一個長為x，寬為(x-1)的長方形，長比寬大1，且面積為3，同（1）的方法，得出一個方程，解方程即可得到答案。

27．【答案】（1）解：，

證明：四邊形是正方形，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，；

（2）解：，

證明：如圖，作，交于，

，

四邊形是正方形，

，

，

為等腰直角三角形，

，，

，即，

在和中，

，

，

，

，

；

（3）點在直線上時，與始終保持相等

【知識點】三角形全等的判定；正方形的性質

【解析】【解答】（3）解：當點O在線段AC上時，如圖所示，

作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，

則∠OPC=∠OQC=90°，

由正方形的性質可得：∠OCP=∠OCQ=45°，

在△OPC和△OQC中，

∴△OPC≌OQC(AAS)，

∴OQ=OP，

∵∠POE+∠EOQ=90°，∠EOQ+∠FOQ=90°，

∴∠POE=∠QOF，

在△OPE和△OQF中，

∴OE=OF，

∴當點O在線段AC上時，OE與OF始終保持相等，

當點O在射線AC上時，如圖所示，

作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，

則∠OKF=∠OJE=90°，四邊形OKCJ為矩形，

由正方形的性質和對頂角的性質可得：∠OCK=∠OCJ=45°，

在△OKC和△OJC中，

∴△OKC≌OJC(AAS)，

∴OK=OJ，

∵∠JOE+∠JOF=90°，∠KOF+∠FOJ=90°，

∴∠JOE=∠KOF，

在△OJE和△OKF中，

∴△OJE≌△OKF(ASA)，

∴OE=OF，

∴當點O在AC的延長線上時，OE與OF始終保持相等，

同理可得：當點O在CA的延長線上時，OE與OF始終保持相等，

綜上所述，當點O在直線AC上時，OE與OF始終保持相等．

【分析】（1）根據AAS證明△EAB≌△DAF即可；

（2）作OF⊥AC，交BC于F，證明△FOE≌△COD(ASA)，即可得到結論；

（3）分兩種情況討論，①當點O在線段AC上時，作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，證明△OPC≌OQC(AAS)和△OPE≌△OQF(ASA)，即可得到OE與OF始終保持相等，當點O在AC的延長線上時，作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，通過證明△OKC≌OJC(AAS)和△OJE≌△OKF(ASA)，即可得到OE與OF始終保持相等，②同理可得，當點O在CA的延長線上時，OE與OF始終保持相等。

28．【答案】（1）、

（2）解：①

②根據①的方法可得：點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：

設點，則，．

∴如圖：陰影部分為點F的軌跡，該軌跡所形成圖形的面積為；

③根據題意畫出圖形如下：根據①的方法可得：點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：

設點，則，

∴如圖：陰影部分為點F的軌跡，則點E的軌跡所覆蓋整點的個數個．

【知識點】坐標與圖形性質；菱形的性質

【解析】【解答】(1)解：∵點P的坐標為(-4，1)，

∴點P到x、y軸的距離中的最大值等于4，

∵點Q1(4，0)到x、y軸的距離中的最大值等于4，點Q2(2，2)到x、y軸的距離中的最大值等于2，點Q3(-3，-4)到x、y軸的距離中的最大值等于4，

∴點P的“等距點”的是Q1、Q3，

故答案為Q1、Q3．

解：①∵a=b=5

∴C(5，0)，D(0，5)

∴OD=5，OC=5，四邊形ABCD是正方形，

∴當N與C或D重合時，dN有最大值5

如圖：過O作OE⊥DC

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ODC=∠OCD=45°

∴OE=EC，OE=DC

∴DE=EC

過E作EG⊥OC，則DF=OF

∴EF=OC=；同理：EG=

∴當N在E點時，dN有最小值

∴dN的取值范圍為．

故答案為．

【分析】（1）根據"等距點”的定義判斷，根據點到坐標軸的距離，即可解答；

（2）①根據點到坐標軸的距離的定義確定的最值即可解答；

②先求得點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為3≤dF≤6，設點E(c，d)，根據新定義可得3≤|c|≤6、3≤|d|≤6，然后畫出軌跡區(qū)域確定面積即可；

③根據題意可得取值范圍為2≤dF≤4，設點E(c，d)，根據新定義可得2≤|c|<4、2≤|d|<4，然后畫出軌跡區(qū)域即可解答．

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北京市匯文中學2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪個是最簡二次根式（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】最簡二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

B.、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；

D、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意．

故答案為：C．

【分析】

最簡二次根式的概念：被開方數不含分母，被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．一般解題方法是：只要被開方數中是分數或小數，一定不是最簡二次根式；被開方數中含有能開得盡方的因數，也一定不是最簡二次根式．

2．（2023八下·大理期末）以下列各數為邊長，能構成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

【答案】B

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤.

故答案為：B.

【分析】根據勾股定理的逆定理可知，當三角形中三邊的關系滿足較小兩邊的平方和等于較大邊長的平方的時，則該三角形為直角三角形，從而一一判斷得出答案.

3．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形中，若，則的度數為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平行四邊形的性質

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正確．

故答案為：A．

【分析】根據平行四邊形的性質得出，將代入求出的度數.

4．（2023八下·懷安期末）下列計算中，正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算不符合題意；

B.2與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算不符合題意；

C．，此選項計算符合題意；

D.2與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據二次根式的運算法則即可得出。

5．（2023八下·漢陽期中）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構成一個四邊形，這個四邊形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．無法判斷

【答案】B

【知識點】菱形的判定

【解析】【解答】如圖，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四邊形ABCD是菱形.

故答案為：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四邊形ABCD是菱形.

6．（2023八下·海淀期末）如圖，在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發(fā)現旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

【答案】C

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，如圖，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗桿的高度為12m．

故答案為：C．

【分析】設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，根據勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．（2023八下·北京市期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

【答案】D

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：如圖所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

則這只鉛筆的長度大于15cm．

故答案為：D．

【分析】根據題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長

8．（2023八下·門頭溝期末）下列命題正確的是（）．

A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B．對角線相等的四邊形是矩形

C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

【答案】D

【知識點】真命題與假命題

【解析】【解答】A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項為假命題；

B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項為假命題；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；

D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項為真命題．

故答案為：D．

【分析】

A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B、對角線相等的平行四邊形是矩形

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識點】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點D、點E分別是AB，AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點E是AC的中點，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案為：B．

【分析】根據三角形中位線定理求出DE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得FE，即可．

10．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務：過直線上一點C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學習工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標出M，N兩點．①使點M與點C重合，點N對應的位置標記為點Q．②保持點N不動，將木棒繞點N旋轉，使點M落在上，將旋轉后點M對應的位置標記為點R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

【答案】C

【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

二、填空題

11．（2023八下·北京市期中）若有意義，請寫出符合條件的一個x的值：．

【答案】2（答案不唯一）

【知識點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵有意義，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值為2，

故答案為：2（答案不唯一）．

【分析】根據二次根式有意義的條件求解即可．

12．（2023八下·北京市期中）計算的結果為．

【答案】2023

【知識點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】解：

故答案為：2023

【分析】根據二次根式的性質（）即可求解．

13．（2023八下·北京市期中）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點D，E，測得D，E兩點間的距離為20m，則A，B兩點間的距離為m．

【答案】40

【知識點】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點D，E分別是BC和AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案為：40．

【分析】先判斷出DE是△ABC的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB＝2DE，問題得解．

14．（2023八下·北京市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中點，則∠ADC＝．

【答案】50°

【知識點】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案為：50°．

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線求出CD＝BD，根據等腰三角形的性質求出∠DCB＝∠B，再根據三角形的外角性質求出答案即可．

15．（2023八下·北京市期中）如圖，在數軸上點A表示的實數是__．

【答案】

【知識點】實數在數軸上的表示；勾股定理的應用

【解析】【解答】解：如圖，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案為：．

【分析】根據勾股定理求出OB的長度，然后根據點A在數軸上的位置即可解答．

16．（2023八下·北京市期中）如圖，在菱形中，E，F，G，H分別是邊，，和的中點，連接，，和．若，，則菱形的面積為．

【答案】16

【知識點】菱形的性質；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：連接AC、BD，交于點O，如圖所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案為：16．

【分析】連接AC、BD，交于點O，根據中位線的性質求出AC=4，BD=8，根據菱形面積公式求出菱形ABCD的面積

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，則n的值為．

【答案】2

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：由題意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合題意，舍去）．

故答案為2．

【分析】根據題意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．（2023八下·北京市期中）已知為實數，記，

（1）當時，的值為．

（2）的最小值為．

【答案】（1）

（2）

【知識點】勾股定理的應用；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（1）當x=y=0時，

=；

故答案為：．

（2）

=

設P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如圖所示，

作B關于y軸的對稱點B'，作A點關于x軸的對稱點A'，連接A'B'與x軸交于點P，與y軸交于點Q，A'B'即為所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案為：．

【分析】（1）將x=y=0時，代入M進行計算即可得到答案；

（2）設P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐標系中畫出圖，根據最短路徑模型，作對稱點即可得到答案。

三、解答題

19．（2023八下·北京市期中）計算

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知識點】二次根式的混合運算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根據二次根式的加減乘除混合運算進行計算；

（4）根據平方差公式計算即可.

20．（2023八下·北京市期中）下面是小銘設計的“在一個平行四邊形內作菱形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：四邊形是平行四邊形．

求作：菱形（點在上，點在上）．

作法：①以為圓心，長為半徑作弧，交于點；

②以為圓心，長為半徑作弧，交于點；

③連接．

所以四邊形為所求作的菱形．

（1）根據小銘的做法，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據）

∵，

∴四邊形為菱形（）（填推理的依據）

【答案】（1）解：如圖所示：

菱形即為所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∵，

∴四邊形為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），

【知識點】菱形的判定與性質

【解析】【分析】（1）根據要求畫出圖形即可．

（2）利用平行四邊形的判定及性質和菱形的判定填寫理由．

21．（2023八下·北京期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，DE分別交BC、AB于點D、E.

（1）求證：△ABC為直角三角形．

（2）求AE的長．

【答案】（1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）證明：連接CE．

∵DE是BC的垂直平分線，

∴EC=EB，

設AE=x，則EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的長是．

【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據線段垂直平分線的性質可得BE=CE，設AE=x，則EC=4-x，根據勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知識點】勾股定理的應用；矩形的判定與性質

【解析】【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據矩形的判定推出即可；

（2）根據勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．（2023八下·北京市期中）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當，，時．

（1）直接寫出p的化簡結果為．

（2）寫出計算S值的過程．

【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知識點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案為：．

【分析】（1）根據題目中提供的信息，代入數據根據二次根式的性質化簡即可；

（2）根據題目中的面積公式，代入數據根據二次根式的性質化簡求值即可。

24．（2023八下·北京市期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．

（1）在圖①中，畫一個正方形，使它的邊長為；

（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數；

（3）在圖③中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．

【答案】（1）解：如圖①，正方形即為所求，

；

（2）解：如圖②，即為所求，

；

（3）如圖③，即為所求，

，

2

【知識點】勾股定理的逆定理；勾股定理的應用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最長邊上的高的長度為：

【分析】（1）根據勾股定理得出正方形的邊長，即可得到圖形；

（2）構造邊長為3，4，5的直角三角形即可；

（3）根據勾股定理逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據三角形的面積計算公式進行計算即可得到答案．

25．（2023八下·北京市期中）某同學在解決問題：已知，求的值．

他是這樣分析與求解的：

先將進行分母有理化，過程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

請你根據上述分析過程，解決如下問題：

（1）若，請將進行分母有理化；

（2）在（1）的條件下，求的值；

（3）在（1）的條件下，求的值

【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根據（2）可知，，

∴

．

【知識點】分母有理化；二次根式的化簡求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法進行解答即可；

（2）根據可得，進而根據完全平方公式即可求解；

（3）根據（2）可知，，則，將代入即可求解．

26．（2023八下·北京市期中）三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以為例，大致過程如下：

第一步：將原方程變形為．即．

第二步：構造一個長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．

第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．

第四步：

將大正方形邊長用含的代數式表示為____．

小正方形邊長為常數____，

長方形面積之和為常數____．

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程____，兩邊開方可求得，．

（1）第四步中橫線上應依次填入，，，；

（2）請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．

【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：將原方程變形為，即，

第二步：構造成一個長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，

第三步：用四個這樣的長方形圍城一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖所示，

，

第四步：

將大正方形邊長用含的代數式表示為，

小正方形邊長為常數，

長方形面積之和為常數，

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

得方程，

兩邊開方可求得，．

【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的應用-幾何問題

【解析】【解答】（1）解：根據題意可得：

大正方形的邊長為：[x+(x-2)]，

小正方形的邊長為：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

長方形面積之和為：4×3=12，

∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

故答案為：，2，12，．

【分析】（1）根據題意，大正方形的邊長為[x+(x-2)]，小正方形的邊長為[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得長方形面積之和，再結合圖形根據由大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；

（2）先將原方程變形，構造出一個長為x，寬為(x-1)的長方形，長比寬大1，且面積為3，同（1）的方法，得出一個方程，解方程即可得到答案。

27．（2023八下·北京市期中）現有正方形和一個直角．

（1）如圖1，若點與點重合，射線交延長線于，射線交正方形的邊于，則與的數量關系是，請證明你的結論；

（2）如圖2，若點在正方形的對角線上，射線交延長線于，射線恰好經過點，則與的數量關系是，請證明你的結論；

（3）若在正方形所