【解析】2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：四邊形、命題與證明

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2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：四邊形、命題與證明

一、選擇題

1．（2023·常德）下列命題正確的是()

A．正方形的對角線相等且互相平分

B．對角互補的四邊形是平行四邊形

C．矩形的對角線互相垂直

D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形

2．（2023·株洲）如圖所示，在矩形中，，與相交于點O，下列說法正確的是（）

A．點O為矩形的對稱中心B．點O為線段的對稱中心

C．直線為矩形的對稱軸D．直線為線段的對稱軸

3．（2023·株洲）一技術人員用刻度尺（單位：）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點D為邊的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則（）

A．B．C．D．

4．（2023·岳陽）下列命題是真命題的是（）

A．同位角相等B．菱形的四條邊相等

C．正五邊形是中心對稱圖形D．單項式的次數(shù)是4

5．（2023·衡陽）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于”．假設三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）

A．反證法B．比較法C．綜合法D．分析法

6．（2023·衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB＝CDB．AB∥CDC．∠A＝∠CD．BC＝AD

二、填空題

7．（2023·衡陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個．

8．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓弧；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．

三、綜合題

9．（2023·株洲）如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，其中點A、C分別在x軸負半軸，y軸負半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點，點在函數(shù)的圖像上

（1）求k的值；

（2）連接，記的面積為S，設，求T的最大值．

10．（2023·長沙）我們約定：若關于x的二次函數(shù)與同時滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：

（1）若關于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；

（2）對于任意非零實數(shù)r，s，點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．

①求函數(shù)的圖像的對稱軸；

②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；

（3）在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點分別為點A，點B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點E，F(xiàn)．當時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．

11．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1，求周長的最小值；

（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．

12．（2023·衡陽）（1）[問題探究]

如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；

②將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究與的數(shù)量關系，并說明理由．

（2）[遷移探究]

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

A、正方形的對角線相等且互相平分，原命題正確，A符合題意；

B、對角相等的四邊形是平行四邊形，原命題錯誤，B不符合題意；

C、菱形的對角線互相垂直，原命題錯誤，C不符合題意；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題錯誤，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)結合題意對選項逐一分析即可求解。

2．【答案】A

【知識點】矩形的性質(zhì)；軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形

【解析】【解答】解：

A、點O為矩形的對稱中心，A符合題意；

B、點O不為線段的對稱中心，B不符合題意；

C、直線不是矩形的對稱軸，C不符合題意；

D、直線不是線段的對稱軸，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)對稱中心、對稱軸的定義結合矩形的性質(zhì)對選項逐一判斷即可求解。

3．【答案】B

【知識點】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點A、B對應的刻度為1、7，

∴AB=6，

∵，點D為邊的中點，

∴CD=3，

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意求出AB，進而根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解。

4．【答案】B

【知識點】真命題與假命題

【解析】【解答】解：A.兩直線平行，同位角相等，命題錯誤，不符合題意；

B.菱形的四條邊相等，命題正確，符合題意；

C.正五邊形不是中心對稱圖形，命題錯誤，不符合題意；

D.單項式的次數(shù)是3，命題錯誤，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法，菱形的性質(zhì)，中心對稱圖形的定義，單項式的次數(shù)的定義對每個選項一一判斷即可。

5．【答案】A

【知識點】反證法

【解析】【解答】解：由題意：假設三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．可知：以上步驟符合反證法的步驟，

∴推理使用的證明方法是反證法，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，利用反證法的意義及步驟判斷求解即可。

6．【答案】A

【知識點】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

B、∵AB//CD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

C、∵BC//AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

D、∵BC=AD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用平行四邊形的判定方法對每個選項一一判斷即可。

7．【答案】10

【知識點】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵多邊形是正五邊形，

∴正五邊形的每一個內(nèi)角為：x180°x(5-2)=108°，

∴正五邊形的個數(shù)是360°÷[180°-(180°-108°)x2]=10，

故答案為：10.

【分析】根據(jù)題意先求出正五邊形的每一個內(nèi)角為108°，再結合題意求解即可。

8．【答案】

【知識點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓弧；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，

∴每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，

∴

∴An繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，

∴2023÷5=505...3，

∴點的坐標是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，進而即可得到規(guī)律：An繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，再結合題意即可求解。

9．【答案】（1）解：∵點在函數(shù)的圖像上，

∴，

∴，

即k的值為2；

（2）解：∵點在x軸負半軸，

∴，

∵四邊形為正方形，

∴，軸，

∴的面積為，

∴，

∵，

∴拋物線開口向下，

∴當時，有最大值，T的最大值是1．

【知識點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)將點P代入即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，再根據(jù)正方形的性質(zhì)結合三角形的面積公式即可得到，進而得到T，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解。

10．【答案】（1）解：由題意可知：，

∴．

答：k的值為，m的值為3，n的值為2．

（2）解：①∵點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動，

∴對稱軸為，

∴，

∴，

∴對稱軸為．

答：函數(shù)的圖像的對稱軸為．

②，令，解得，

∴過定點，．

答：函數(shù)y2的圖像過定點，．

（3）解：由題意可知，，

∴，

∴，，

∵且，

∴；

①若，則，

要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，

則為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②若，則A、B關于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構成正方形，

綜上，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，此時．

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；正方形的性質(zhì)；偶次冪的非負性；算數(shù)平方根的非負性；絕對值的非負性；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)非負性即可得到，進而結合題意即可求解；

（2）①先根據(jù)點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動結合題意即可得到對稱軸為，進而結合題意進行化簡即可求解；

②先根據(jù)題意得到，進而令即可求解；

（3）先根據(jù)題意得到，進而得到，，再二次函數(shù)與坐標軸的交點即可得到；然后分類討論：①若，則，要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，則為等腰直角三角形，在根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)結合題意即可得到；②若，則A、B關于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構成正方形，最后總結即可求解。

11．【答案】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達式為；

（2）解：作點O關于直線的對稱點E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關于直線對稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點D，由對稱性，

此時有最小值為的長，

∵的周長為，

，的最小值為10，

∴的周長的最小值為；

（3）解：由已知點，，，

設直線的表達式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達式為，

同理可得：直線的表達式為，

∵，

∴設直線表達式為，

由（1）設，代入直線的表達式

得：，

∴直線的表達式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當時，此時P點為.

．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設拋物線的表達式為，進而代入即可求解；

（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，進而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點E的坐標，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，進而跟進勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長為結合題意即可求解；

（3）先運用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式，同理可得：直線的表達式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設直線表達式為，由（1）設，代入直線的表達式即可得到，進而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結合二次函數(shù)的最值即可求解。

12．【答案】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，

∵CP=CP，

∴△DCP≌△BCP，

∴PD=PB；

②∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ=90°；

理由如下：如圖所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點M、N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°，

∴四邊形AMPN是矩形，PM=PN，

∴∠MPN=90°，

∵PD=PQ，PM=PN，

∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，

∴∠DPN=∠QPM，

∴∠QPN+∠QPM=90°，

∴∠QPN+∠DPN=90°，

∴∠DPQ=90°；

③AQ=OP；

理由如下：如圖所示：作PE⊥AO交AB于點E，作EF⊥OB于點F，作PM⊥AE于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，

∴∠AEP=45°，四邊形OPEF是矩形，

∴PAE=∠PEA=45°，EF=OP，

∴PA=PE，

∵PD=PB，PD=PQ，

∴PQ=PB，

∵PM⊥AE，

∴QM=BM，AM=EM，

∴AQ=BE，

∵∠EFB=90°，∠EBF=45°，

∴，

∴AQ=OP.

（2）解：；

證明：∵四邊形是菱形，，

∴，

∴是等邊三角形，垂直平分，

∴，

∵，

∴，

作交于點E，交于點G，如圖，

則四邊形是平行四邊形，，，

∴，都是等邊三角形，

∴，

作于點M，則，

∴，

∴．

【知識點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；四邊形的綜合

【解析】【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)求出CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可；

②利用矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可；

③利用正方形的性質(zhì)求出∠BAC=45°，∠AOB=90°，再利用銳角三角函數(shù)計算求解即可；

（2）利用菱形的性質(zhì)求出，再求出，最后證明即可。

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2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：四邊形、命題與證明

一、選擇題

1．（2023·常德）下列命題正確的是()

A．正方形的對角線相等且互相平分

B．對角互補的四邊形是平行四邊形

C．矩形的對角線互相垂直

D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形

【答案】A

【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

A、正方形的對角線相等且互相平分，原命題正確，A符合題意；

B、對角相等的四邊形是平行四邊形，原命題錯誤，B不符合題意；

C、菱形的對角線互相垂直，原命題錯誤，C不符合題意；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題錯誤，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)結合題意對選項逐一分析即可求解。

2．（2023·株洲）如圖所示，在矩形中，，與相交于點O，下列說法正確的是（）

A．點O為矩形的對稱中心B．點O為線段的對稱中心

C．直線為矩形的對稱軸D．直線為線段的對稱軸

【答案】A

【知識點】矩形的性質(zhì)；軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形

【解析】【解答】解：

A、點O為矩形的對稱中心，A符合題意；

B、點O不為線段的對稱中心，B不符合題意；

C、直線不是矩形的對稱軸，C不符合題意；

D、直線不是線段的對稱軸，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)對稱中心、對稱軸的定義結合矩形的性質(zhì)對選項逐一判斷即可求解。

3．（2023·株洲）一技術人員用刻度尺（單位：）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點D為邊的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點A、B對應的刻度為1、7，

∴AB=6，

∵，點D為邊的中點，

∴CD=3，

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意求出AB，進而根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解。

4．（2023·岳陽）下列命題是真命題的是（）

A．同位角相等B．菱形的四條邊相等

C．正五邊形是中心對稱圖形D．單項式的次數(shù)是4

【答案】B

【知識點】真命題與假命題

【解析】【解答】解：A.兩直線平行，同位角相等，命題錯誤，不符合題意；

B.菱形的四條邊相等，命題正確，符合題意；

C.正五邊形不是中心對稱圖形，命題錯誤，不符合題意；

D.單項式的次數(shù)是3，命題錯誤，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法，菱形的性質(zhì)，中心對稱圖形的定義，單項式的次數(shù)的定義對每個選項一一判斷即可。

5．（2023·衡陽）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于”．假設三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）

A．反證法B．比較法C．綜合法D．分析法

【答案】A

【知識點】反證法

【解析】【解答】解：由題意：假設三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．可知：以上步驟符合反證法的步驟，

∴推理使用的證明方法是反證法，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，利用反證法的意義及步驟判斷求解即可。

6．（2023·衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB＝CDB．AB∥CDC．∠A＝∠CD．BC＝AD

【答案】A

【知識點】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

B、∵AB//CD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

C、∵BC//AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

D、∵BC=AD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用平行四邊形的判定方法對每個選項一一判斷即可。

二、填空題

7．（2023·衡陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個．

【答案】10

【知識點】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵多邊形是正五邊形，

∴正五邊形的每一個內(nèi)角為：x180°x(5-2)=108°，

∴正五邊形的個數(shù)是360°÷[180°-(180°-108°)x2]=10，

故答案為：10.

【分析】根據(jù)題意先求出正五邊形的每一個內(nèi)角為108°，再結合題意求解即可。

8．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓??；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．

【答案】

【知識點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓??；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，

∴每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，

∴

∴An繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，

∴2023÷5=505...3，

∴點的坐標是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，進而即可得到規(guī)律：An繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，再結合題意即可求解。

三、綜合題

9．（2023·株洲）如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，其中點A、C分別在x軸負半軸，y軸負半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點，點在函數(shù)的圖像上

（1）求k的值；

（2）連接，記的面積為S，設，求T的最大值．

【答案】（1）解：∵點在函數(shù)的圖像上，

∴，

∴，

即k的值為2；

（2）解：∵點在x軸負半軸，

∴，

∵四邊形為正方形，

∴，軸，

∴的面積為，

∴，

∵，

∴拋物線開口向下，

∴當時，有最大值，T的最大值是1．

【知識點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)將點P代入即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，再根據(jù)正方形的性質(zhì)結合三角形的面積公式即可得到，進而得到T，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解。

10．（2023·長沙）我們約定：若關于x的二次函數(shù)與同時滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：

（1）若關于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；

（2）對于任意非零實數(shù)r，s，點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．

①求函數(shù)的圖像的對稱軸；

②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；

（3）在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點分別為點A，點B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點E，F(xiàn)．當時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．

【答案】（1）解：由題意可知：，

∴．

答：k的值為，m的值為3，n的值為2．

（2）解：①∵點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動，

∴對稱軸為，

∴，

∴，

∴對稱軸為．

答：函數(shù)的圖像的對稱軸為．

②，令，解得，

∴過定點，．

答：函數(shù)y2的圖像過定點，．

（3）解：由題意可知，，

∴，

∴，，

∵且，

∴；

①若，則，

要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，

則為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②若，則A、B關于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構成正方形，

綜上，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，此時．

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；正方形的性質(zhì)；偶次冪的非負性；算數(shù)平方根的非負性；絕對值的非負性；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)非負性即可得到，進而結合題意即可求解；

（2）①先根據(jù)點與點始終在關于x的函數(shù)的圖像上運動結合題意即可得到對稱軸為，進而結合題意進行化簡即可求解；

②先根據(jù)題意得到，進而令即可求解；

（3）先根據(jù)題意得到，進而得到，，再二次函數(shù)與坐標軸的交點即可得到；然后分類討論：①若，則，要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，則為等腰直角三角形，在根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)結合題意即可得到；②若，則A、B關于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構成正方形，最后總結即可求解。

11．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1，求周長的最小值；

（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．

【答案】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達式為；

（2）解：作點O關于直線的對稱點E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關于直線對稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點D，由對稱性，

此時有最小值為的長，

∵的周長為，

，的最小值為10，

∴的周長的最小值為；

（3）解：由已知點，，，

設直線的表達式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達式為，

同理可得：直線的表達式為，

∵，

∴設直線表達式為，

由（1）設，代入直線的表達式

得：，

∴直線的表達式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當時，此時P點為.

．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設拋物線的表達式為，進而代入即可求解；

（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，進而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點E的坐標，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，進而跟進勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長為結合題意即可求解；

（3）先運用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式