2023新高考數(shù)學(xué)高考備考之難點(diǎn)突破01 三角函數(shù)ω的取值范圍與最值問題

三角曲劇專敦

一_3的取值范砌與素值間敦

目錄

觀型一；零點(diǎn)問駁

敗型二,，單碉冏我

駁型三,，景他冏觀

觀型四；極值冏駁

M-?A/對(duì)繇糙

<-?A/喉質(zhì)的徐合同觀

【考點(diǎn)預(yù)測】

T

\b-a\-^b-a4萬

k兀一(p

1./'(x)=4sin3x+°),G>0在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn)=Yk冗QCUD+O=<a>-------—

&兀+兀

bco+ek./兀+kn一(p

b<--------------

LCD

2/a)=/sin(s+°)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)

T<\b-a\<2T

T<\h-a\<2T

k7i_(p+1)4-(P

=><k/r<aco-\-(p<7i-\-k7rn?

CDCO

3冗+k冗<bco+(p&A兀+k兀

(k+3)”(p<)v(0+4)/一p

CDCt)

同理/(x)=%sin(s+9)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

3T

\T?3T-<\b-a\<

2

kjr-(pk兀+九一(p

n,krc<aco-\-(p<7t-\-k71n<--------<a<

CDCD

2不+攵力?Wbco+夕＜3萬+七乃

(k+2)7v-(p4b+

CDCD

2112

3./(x)=4sin(sr+夕)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有〃個(gè)零點(diǎn)=>?'乃―---------------------------<a<71—

69co

(k+n)7t一夕<6<(左+〃+1)4-(p

coco

^L<\b-a\<^L

2112

k冗一(pkjt+7r-(p

f{x}=Asin(69x+(p)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)=<--------------------------------------<a<--

co---------------co

(k+n)7i一夕<人<(〃+〃+l))-(p

coco

4.已知一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，由于對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的水平距離為女士1九

4

則手7:智理-小

5.已知單調(diào)區(qū)間(a,6),則卜_可43.

【方法技巧與總結(jié)】

解決3的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和利用圖象卡住s的大致范圍.

【典例例題】

題型一：零點(diǎn)問題

jr713%

例1.函數(shù)/(x)=sin(@x——)((y>0)在上沒有零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

65'萬

B.(0,11c.f0,—U—D.f0,—u—,1

I9」|_39」I9」|_9

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)xe

CD7t71、.

------------->K7V

/（x）=sin（5-g）3>0）在上沒有零點(diǎn)，所以，26

0醫(yī)三-(4(/+1)%(左eZ)

所以§1+2左401+2左+l）,（keZ）,即§1+2左7+］2上小eZ）,因?yàn)?:+］2左4］1+2左，所以1

72771

又因?yàn)椤?gt;0,所以；左>0,所以左>-=,所以一工<k4彳，因?yàn)椋Z,所以4=一1或左=0,

936o3

17

當(dāng)％=-1時(shí)，當(dāng)左=0時(shí),3-9-

1-U17

又因?yàn)?>0,所以①的取值范圍是：9-3-9-

-

故選：C.

例2.已知函數(shù)/a）=sin（3x+。）-⑦3>0）在區(qū)間（0,得）上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

（）

A.(0,1)B.y,lC.(川D.[1,2]

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=sin"+?)-03>O),若〃x)=0,即sin"+?=ty,必有

0<69<1,

人，乃（八皿718萬

令"3石"心亞則設(shè)g(f)=sinf,f

則函數(shù)y內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn),

又由于sin（=sin?=乎，必有等即。的取值范圍是［*』），故選：B.

例3.已知乎sin2ox+cos2s=1（。>0）在xe（0,2%）有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A?匕'3臼.1B.匕f3臼c]C.「351D.(35'

【答案】D

【解析】由^^sin26zx+cos2(?x=l(<y>0),得^^sin2ox+gcos26yx=；(0>0),即sin(2(wx+?)=g.

設(shè)，(x)=sinb@x+g],即/(x)=:在xe(O,2))有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)間<2ox+J<4<wr+￡,

ko72666

故只需6萬+1<4。乃+￡46萬+￥，解得:<04：,故選：D.

66623

7C

例4.已知函數(shù)/'（x）=sincox+—（">0）在［0,2句上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則/的取值范圍是（）

6

2329232911111111

A.B.C.D.

1251230?2430524

【答案】B

【解析】因?yàn)?>0,當(dāng)xe［o,2句時(shí)，94妙+￡422+2,

666

兀

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin|s+二（勿>0）在［0,2句上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則44〈29+9<5乃，解得

66

.故選：B.

1212

例5.已知函數(shù)/（x）=sin（vx-Jicosox+l（。>0）在（0,2萬）上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的范圍是

)

113713725112511

A.B.C.D.

~29~6~6,2177

【答案】C

7t

【解析】因?yàn)?(X)=sin69X-VJcos69X+1=2sincox---+---1,

3

7T2_.71=-；在（0,2萬）上有且只有5個(gè)零

令/(x)=2sincox——j+1=0,即sin{cox—~,sincox——

32I3j

點(diǎn),

兀（7冗T71]_

因?yàn)椴弧辏?,24）,所以A胸一7§1J|,所以，如圖，由正弦函數(shù)圖像，要使sin［s-。卜

332

在（0,2乃）上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則早<2府-￡?竺，即二<04?,所以實(shí)數(shù)。的范圍是

636124

251_1

n'l'

故選:C

2兀

例6.已知函數(shù)〃x）=3cosCDX---(--6-9-->0),且/（X）在［0,呵有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則G的取值范圍是

3

()

A.[|，B.[|,C.I[,?)r「1319、

333666

【答案】D

27r2兀2兀

【解析】因?yàn)?>0,當(dāng)xw［o,兀］時(shí)，t=a）x-■—e-------，兀①,

3---3

因?yàn)楹瘮?shù)y=3cos/在一半ns--Y上有且只有3個(gè)零點(diǎn),

由余弦函數(shù)性質(zhì)可知日4加0-2乃57rE/口13,19J一

—<—,解得,故選：D.

3266

例7.已知函數(shù)/（x）=sin0X-?卜0>0）在區(qū)間（0,%）上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)

論：

①/（x）在區(qū)間[0,句上有且僅有2條對(duì)稱軸；②/（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；③。的取值范圍是

59

了，7.其中正確的個(gè)數(shù)為（)A.0B.1C.2D.3

、44J

【答案】C

jr7t7171

【解析】對(duì)于③，VX€（0,^）,<OX--G—,(071---，令/(x)=sinCDX--=-0,得

444

a）x--=kjr,kGZ,

4

由函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,萬）上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即0X-?取得0,萬，

冗

COX--->71

4,解得>0"9

所以"故③正確;

7tc

COX---<271

4

冗71汽,59,7T

對(duì)于①，當(dāng)工€[0,司，cox---e---,(071--，-由二<69K二，知371——G（匹2句,

444444

令sx.*+k兀,由于。值不確定，所以初=3不一定取到，故①錯(cuò)誤;

.7171CD7T71,5,9,COTT7V7171

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，CDX——G,由:知一;---G

44434

71CD7T7Tpy,即/（x）在區(qū)間（0,9J上單調(diào)遞增，故②正確;

即U

7,-3--73

所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C

例8.已知函數(shù)/（x）=sin[ox+向（。>0）在p兀Tt上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

()

3

81111J141717141720

A.B.—,4u—C.TTF(5,D.

333J3TTT

【答案】C

717C兀71兀兀.,

【解析】X￡三,兀，_i_p,27T473ZP

COX+-E：—69+—,兀G+一,其中一4兀一;<——，解得:3<6><6,

3333CD3co

2,兀7T__.

71+2K,71<—CO+—<2兀+2占兀

1

T71T714兀冗713

則要想保證函數(shù)在兀恰有三個(gè)零點(diǎn)，滿足①，

333兀

4兀+2左兀<7CG+—<5兀+2匕兀

131

c,,兀?！?/p>

2鼠兀4—刃+―<兀+2依兀

pyj；或要滿足②，3

尢eZ,令尢=0,解得：a）e3兀,k2eZ,

2攵2%+3兀v?！?gt;+§<2%2兀+4兀

令h=l,解得：。€（5,弓｝經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足340<6條件,

綜上：G的取值范圍是*圖45號(hào)17.故選：C

3

【點(diǎn)睛】

三角函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)問題，需要利用整體思想，數(shù)形結(jié)合等進(jìn)行解決，通常要考慮最小正周期，確定。

TT

的范圍，本題中就要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先得到74兀-§<27,從而求出34。<6,再進(jìn)行求解.

7C

例9.已知函數(shù)/(x)=sinCOXH---(。>0)在［0,句上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

3

58588H8H

A.B.C.D.

3,33(33,T35T

【答案】D

71

【解析】函I數(shù)/(x)=sin0X+—(。>0)在［0,句上恰有3個(gè)零點(diǎn)，，則3乃4。乃+(<4萬，求得:

3

.故選：D.

33

例10.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+?

3>0),若方程|/(乃|=1在區(qū)間(0,2%)上恰有5個(gè)實(shí)根,則①的取

7551343

值范圍是()A.B.C.D.

6'33,T3'2

【答案】D

【解析】由方程"(x)1=2sin8+器71=1,可得sins+才±5,所以s+71*史兀加Z),

6266

當(dāng)一0,2玻時(shí)，。嗯喂71,2.+各71所以。聯(lián)的71可能取值為5去萬7乃1\TI13%177r

6666~6f~f~9~6~

19乃

丁

171IT41o4

因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間(0,2")上恰有5個(gè)實(shí)根，所以=<2。乃+丁4丁，

666

43/43-

解得六。葭，即0的取值范圍是|j，e.故選：D.

例11.若關(guān)于x的方程2sin2x-Jisin2x+m-l=0在仁，兀)上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【答案】1-2,1)

【解析】2sin2x-V3sin2x+?H-l=0,?'?1-cos2x-VJsin2x+w-1=0?即cos2x+百sin2x—〃？=0,

3./cn、口門?/c兀、m(7T]-71JTT13乃、

-2sin(2x4—)—m,即sin(2x4—)=—,*.*xG—,2xH—W(—,-----),

662\2)666

設(shè)2x+J=f,/€(2,學(xué))，則sin/=g在，€(?,字)上有實(shí)數(shù)根，

666266

題型二：單調(diào)問題

例12.已知函數(shù)/(x)=sin(s+?(0>O)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為2兀，若f(x)在(-m,m)上

是增函數(shù)，則m的取值范圍是()

A.(0,—]B.(0,—]C.(0,—]D.(0,—]

4242

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)=sin(0x+￡|3>O)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離2兀，貝IJ；T=2乃，即T=4),

則=M=則/(x)=sin(彳x+彳)，由2無;r—fsqx+fvZ上;r+g,得

4兀2\24J2242

3乃7T

4%乃——<x<4kjr+-(kGZ)

22f

所以/(X)在號(hào)上是增函數(shù)，由-y,y得0〈加《故選：B.

例13.函數(shù)/(x)=sinGx(。>0)的圖象向右平移(個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)的零點(diǎn)到

則口的取值范圍是()

715乃

【解析】設(shè)g(x)的最小正周期為7,依題意為g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且

了77上單調(diào)遞增,

所以高吟所以心因?yàn)榍尧说牧泓c(diǎn)到'軸的最近距離小于?

所以T萬TV寸7T―7T中7T=7化T簡得〈12<。，即。的取值范圍是(1身2“故選：D

5

7T(<y>。)在卜學(xué))

例14.函數(shù)/(x)=sinCDX+—上是減函數(shù)，則。的取值范圍是()

4

]_357'53979

A.B.C.D.

444544,204M

【答案】A

71(?>0)在卜印

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=sinCOXH--上是減函數(shù),

4

冗、2冗

CO-7T+—>2kQ7r+—

所以，升°eZ,解得2ko+所以2ko+-?

5萬九■,c,34

---+—<2攵。+——

co3402

513

解得又3>0,所以〃。=0,所以①的取值范圍是?故選：A

oL.44_

例15.已知函數(shù)f(x)=sin0x+cos0x3>O)在區(qū)間、,乃上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.g,1B.f0,—C.—D.(0,1]

\_2JI2」[24」'」

【答案】C

【解析】由題意得，函數(shù),/'(x)=sin(yx+cos(yx=5/^sin(3x+?),令會(huì)~2k兀&a>x+號(hào)寺■+2kn,kwZ,

即^1------------1----，左￡Z.因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在區(qū)間不乃上單倜遞減，則1-----

4coco4coco\_2J4。02

且加+也且22萬-工，解得1+4/w球工+2左，左eZ,且04萬，又&>0,所以4=0,’Wg2.

4。。222424

故選：C.

f7T\7T717T71

例16.己知0>0,函數(shù)/(x)=sin妙-二在上單調(diào)遞增，且對(duì)任意不￡,都有

I6J6384

/U）>0,則。的取值范圍為（）

A.g,2B.C.[1,3]D.（1,3）

【答案】A

4九,/兀CD7T71,冗，(D7t71e42,8冗710)717171_.,丁

r【解析】由—-—-——,貝1」一彳+2左萬-——<--——^—+2k7T,keZ

63666362663629

冗冗71.

解得一2+12左(版2+6左,%wZ.^--—<—=T—7,co>Of/.0<<y<6,故人=0,Bp0<a)^2.

一CO71冗,71/07171

由3仁得------^COX——《------

86646

貝iJO+2女乃W------<------4九+2k冗、keZ,解得—hI6k^co^FSk,kGZ,因?yàn)?<G?6,

864633

414「41

故左=0,即公刀，綜上所述，口的取值范圍為-.2.故選：A.

j3LJ.

例17.將函數(shù)/（x）=sin3M“>0）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移

3個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象,若g（x）在（]，乃）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)G的取值范圍為（

A.（0,—]B.（0,—]C.~7f~7

48\_44」

【答案】D

【解析】將函數(shù)/a）=sinoMo>0）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍（縱坐標(biāo)不變）,

TT

得到y(tǒng)=sin2GX,再向左平移F個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，

即g（x）=sin2<y（x+^）=sin（2（yx+：）,若g（x）在（^,萬）上單調(diào)遞減，

TT2Tt

貝ijg（x）的周期722（萬一勺）=4，即上之"，得0<GW2,

2CD

TTTT3乃7157r

由2丘+產(chǎn)2s+寧2丘+號(hào)，keZf得2丘+,2SK2ATT+亍，keZ,

7i5乃2k;r+—2左7+笆

即2%）+彳+彳，即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為、、—,keZ,

--------x-------------2co2co

2-7左4十一九

_____4<￡69>2^+—

TT2a)24

若g（x）在（]，"）上單調(diào)遞減,

25萬

2人4+(0<k+-

______4_>7t8

2co

即~CZ,當(dāng)』時(shí)，*。彳，即。的取值范圍是15

一,一.故選：D.

48

兀兀

例18.已知函數(shù)/（x）=asinx+2cosx在xw-y,--上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）A.a>0

B.-2<a<2C.a>-2D.a20或a4-2

【答案】C

TT兀

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）9inx+2COSX在xe上單調(diào)遞增,

7171兀兀

所以/'(X)=Qcosx-2sinx>0^xei4上恒成立'即心2tanx在x-u上恒成立,

由了=2tanx在(go)上單調(diào)遞增知，h=2tan(-：)=-2,所以。2-2,故選：C

2sinCOX+—,x>0

I6j

例19.設(shè)。€火，函數(shù)〃x)=',g(x)=<yx,上單調(diào)遞增，且函

%+4妙+口<。

.22

數(shù)“X)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),則0的取值范圍()

412

A.T,。u生D.U

3?-P°)?413

【答案】B

171

【解析】當(dāng)xe0,^,因?yàn)闉閤)在上單調(diào)遞增,

3,2

710)冗/冗

--------------1---------<一

26-2

4G/1“口12

所以若在X?-8,0)上函數(shù)/(X)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

3343

2sin—>—

62

31

即方程》2+4s+5=0x在xe(v,0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

A=36<O2-12>0

即方程3,+6s+l=0在x?Yo,0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，-^<0,解得

33

—x0_+6<yx0+1>0

2

71

當(dāng)?e時(shí)，令/(x)-g(x)=2sinCOX+—-COX,當(dāng)x=0時(shí)，/(x)-g(x)=l>0,

6

當(dāng)ox+￡=尋時(shí)，的=，，f(x)-g(x)=2-^<0,

0233

結(jié)合圖象可得X20時(shí)，函數(shù)/〈X)與g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，故選：B.

例20.已知函數(shù)/(x)="tan(0x+a(3>O),若/(x)在區(qū)間［J,nJ內(nèi)單調(diào)遞減,

則。的取值范圍是

()A.(0，：)B.(；令C.畤叫令D.(0,》嗎,令

【答案】C

【解析】因?yàn)?(X)在區(qū)間(5，兀)內(nèi)單調(diào)遞減，所以/<0,y=tan(ox+m)(0>O)在區(qū)間兀J內(nèi)單調(diào)

、MtMI，兀兀TI,r/口kit571kit7T.

1

速增，由kit—<coxH—<kuH—,kE,Z,得-------<x<--------------1--------------,kwZ,

232o)6a)co6co

所以…an(3獷7T>。)的單調(diào)遞增區(qū)間為(匕r€7t-藐5IT，K了TT+IT蜀)，P,

kn5兀<兀

依題意得住，兀件噌,@+2)，1，所以右下一萬

%￡Z,

\2)\co6a)co6coJ兀

71<---1---

^CD6(0

所以2k—4co￡k—,keZ,由2k—4kT—得％K—,由—得上之—，

3636666

所以左4?且無€Z,所以氏=0或左=1,當(dāng)人=0時(shí)，又<y>0,所以0<0?)，

66366

17117

當(dāng)A=1時(shí)，：.綜上所述：0€(0,7]11匕,口.故選：C.

36636

題型三：最值問題

例21.函數(shù)/(x)=2呵妙-非0>0)在[0,可上的值域是卜6,2],則。的取值范圍是()

]_4145555

A.B.—7U,—7LC.D.—71,—71

2,3236,363

【答案】C

71兀

【解析】①>0,xe[0,7t],貝!]<yx_：€—.HO)——,要使")在[0,兀]上的值域是16,2],

33

.7兀C77117T55],、工

則一<HCD——<7C4--=>—<co<—.故選:C.

23363

71

例22.函數(shù)〃x)=sinCf)XH--?>0)在區(qū)間[0,句上恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則。的取值范圍為(

4

A.B.[2,6)C.D.

7'W4'TT'T

【答案】A

【解析】令/=s+(,因?yàn)閤e[0,句，所以fe[:，m+；],

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/⑺=sinf在/€7邑T。兀+7T勺時(shí)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，

44

所以有因?yàn)?y>0,所以;故選：A

24244

例23.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+￡)W>0)在區(qū)間0-上的值域?yàn)榭?2],則。的取值范圍為(

)

"r1

A.[1,2]B.1,-C.[1,3]D.-,2

【答案】A

【解析】當(dāng)xe「0,『時(shí)，Jws+JvW+J,

36636

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間0,g上的值域?yàn)閇L2],所以+.，解得140M2.故選：A.

_3J2366

例24.已知函數(shù)/(xbcosQx+d+Z的定義域?yàn)榭?捫，值域?yàn)?,3,則a的取值范圍是(

2萬、「八2萬"|-FIn5萬"|「乃5萬

A.B.0,—C.—D.

|_3)13」1.36」1.26」

【答案】C

【解析】由/(x)=cos(2x+g)+2的值域?yàn)?,3，可得cos(2x+])epl,

由xw[a,?]可得2x+?w2a+,所以當(dāng)42〃+?W2;r,

解得2乃等“學(xué)5%，所以”的取值范圍是碧，故選:C

36

717T77

例25.函數(shù)〃x)=sinCOXH--（勿＞0）在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則0的范圍是（）

4W'T

*3

A.B.C.D.T4

【答案】B

【解析】當(dāng)蛆+￡=2%乃+若（左eZ）時(shí)，即_2版'+￡

時(shí)，函數(shù)有最小值，

42%―IK//）

co

315113萬21乃

令A(yù)=-1,0,1,2時(shí)，有x=_----9X=---,x=-----,x=------

4G4G4GAco

717t17T

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=sinCOXH--內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，。＞0,

44'4

715?

—<

44G

13乃7乃13

所以有：—<——=)——＜。43,故選：B

4G47

7萬<2］萬

44co

例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)/（x）=/sin@xW＞0,（y＞0）,若至少存在兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)為,々4匹2句，使得/國）+/（/）=2/,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

…心、［95］「131

【答案】k5H不J

【解析】??,至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)再《凡2句,使得析（芭）+/（馬）=24

當(dāng)乃＞27="，即/＞4時(shí)，必存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)司,々目萬,2句滿足題意;

CO

71

加yW—+2%)co<—+2k

當(dāng)乃<27,即0＜口＜4時(shí)，［血2乃回，.I2(1)