ARIMA模型預測與GM(1,1)模型預測

...wd......wd......wd...ARIMA模型預測與GM(1,1)模型預測一、模型選擇預測是重要的統計技術，對于領導層進展科學決策具有不可替代的支撐作用。常用的預測方法包括定性預測法、傳統時間序列預測〔如移動平均預測、指數平滑預測〕、現代時間序列預測〔如ARIMA模型〕、灰色預測〔GM〕、線性回歸預測、非線性曲線預測、馬爾可夫預測等方法。綜合考量方法簡捷性、科學性原則，我選擇ARIMA模型預測、GM(1,1)模型預測兩種方法進展預測，并將結果相互比對，權衡取舍，從而選擇最正確的預測結果。二ARIMA模型預測〔一〕預測軟件選擇----R軟件ARIMA模型預測，可實現的軟件較多，如SPSS、SAS、Eviews、R等。使用R軟件建模預測的優(yōu)點是：第一，R是世最強大、最有前景的軟件，已經成為美國的主流。第二，R是免費軟件。而SPSS、SAS、Eviews正版軟件極為昂貴，盜版存在侵權問題，可以引起法律糾紛。第三、R軟件可以將程序保存為一個程序文件，略加修改便可用于其它數據的建模預測，便于方法的推廣?！捕持笜撕蛿祿笜耸卿N售量(x)，樣本區(qū)間是1964-2013年，保存文本文件data.txt中?！踩愁A測的具體步驟1、準備工作〔1〕下載安裝R軟件目前最新版本是R3.1.2，發(fā)布日期是2014-10-31，下載地址是:///。我使用的是R3.1.1。〔2〕把數據文件data.txt文件復制“我的文檔〞我的文檔是默認的工作目錄，也可以修改自定義工作目錄。。我的文檔是默認的工作目錄，也可以修改自定義工作目錄?！?〕把data.txt文件讀入R軟件，并起個名字。具體操作是：翻開R軟件，輸入〔輸入每一行后，回車〕：data=read.table("data.txt",header=T)data#查看數據#后的提示語句是給自己看的，并不影響R運行回車表示執(zhí)行。完成上面操作后，R窗口會顯示：〔4〕把銷售額〔x〕轉化為時間序列格式x=ts(x,start=1964)x結果：2、對x進展平穩(wěn)性檢驗ARMA模型的一個前提條件是，要求數列是平穩(wěn)時間序列。所以，要先對數列x進展平穩(wěn)性檢驗。先做時間序列圖：從時間序列圖可以看出，銷售量x不具有上升的趨勢，也不具有起降的趨勢，初步判斷，銷售量x是平穩(wěn)時間序列。但觀察時間序列圖是不準確的，更嚴格的方法是進展單位根檢驗。單位根檢驗是通行的檢驗數列平穩(wěn)性的工具，常用的有ADF單位根檢驗、PP單位根檢驗和KPSS單位根檢驗三種方法。單位根檢驗的準備工作是，安裝tseries程序包。安裝方法：在聯網狀態(tài)下，點菜單“Packages—Installpackages〞，在彈出的對話框中，選擇一個鏡像，如China(Beijing1)，確定。然后彈出附加包列表，選擇tseries，確定即可。安裝完附加包后，執(zhí)行下面操作：library(tseries)#加載tseries包adf.test(x)#ADF檢驗pp.test(x)#PP檢驗kpss.test(x)#KPSS檢驗結果：上面分別給出了ADF檢驗、PP檢驗和KPSS檢驗的結果。其中，ADF檢驗顯示x是不平穩(wěn)的〔P值=0.99>0.05〕，而PP檢驗PP檢驗的原假設是不平穩(wěn)，P值=0.01，小于0.05，拒絕原假設，說明序列是平穩(wěn)的。和KPSS檢驗PP檢驗的原假設是不平穩(wěn)，P值=0.01，小于0.05，拒絕原假設，說明序列是平穩(wěn)的。KPSS檢驗與PP檢驗和ADF檢驗不同，它的原假設是平穩(wěn)的。P值=0.1，大于0.05，承受原假設，說明序列是平穩(wěn)序列。3、選擇模型做x的自相關圖〔左圖〕和偏自相關圖〔右圖〕：acf(x)#做自相關圖pacf(x)#做偏自相關圖無論是自相關系數圖〔左〕，還是偏自相關系數圖〔右〕，都顯著第4階的系數突破了虛線，說明相關性顯著。因此，我們建立4階AR模型，寫作AR(4)。4、估計模型參數fit=arima(xse,order=c(4,0,0))#把估計結果取名為fitfit#查看fit上面給出了AR模型的回歸系數的估計值，其中，截距為44079.31，1到4階自回歸系數分別是0.0344，-0.0174，-0.2002和0.4560。5、模型效果的檢驗模型效果的檢驗非常重要，因為只有通過檢驗，才證明是可靠、有效的模型，才能進展后續(xù)的預測分析。主要的檢驗工具有兩個，一是對回歸系數的顯著性檢驗。四個自回歸系數中，第4個回歸系數的T統計值=0.4560/0.1241=3.67，大于2，因此，通過了顯著性檢驗，說明確實存在四階自相關。這與前面看自相關圖和偏自相關系數圖的結論相吻合。第二個檢驗是殘差的白噪聲檢驗〔Ljung-Box檢驗〕，這個最主要、最關鍵。一般來說，只要通過了殘差的白噪聲檢驗，則說明模型是有效的。殘差白噪聲檢驗的R代碼：tsdiag(fit)結果：上邊是殘差的自相關圖，圖形顯示，除了0階以外，各階自相關系數都很小，基本在0左右。說明殘差中已經沒有多少有用的信息，殘差是純隨機序列，即白噪聲。換個角度說，時間序列的有價值信息絕大局部都已經被模型提取了，建模獲得了成功。下邊是更為準確的Ljung-Box檢驗結果，所有小圈都在虛線之上〔虛線值為0.05〕，說明在0.05的顯著性水平上，各階自相關系數和零的差異不顯著，殘差為白噪聲序列，模型效果優(yōu)良。這與上面的殘差的自相關圖相吻合。6、ARIMA模型預測R軟件代碼：predict(fit,n.ahead=3)#預測下三年〔2014-2016〕的數值假設想預測后五年，就把3改成5，依此類推。結果：pred即predict(預測)的前四個字母，下面是時間2014-2016，說明要預測2014-2016年三年的。結果在最后一行，2014年銷售額預測值為61768.02，2015年為36563.83，2016年為45464.87?！菜摹衬Ｐ偷脑贆z驗—用AIC準則尋找更優(yōu)上面建模預測，通過的顯著性檢驗和殘差的白噪聲檢驗，證明模型優(yōu)良，可以進展預測。一般的預測報告就到此完畢了。但考慮到預測對于企業(yè)家的決策重要，而決策的失誤將會產生很大的不良后果。因此，更嚴謹起見，我們建立了24個可能的ARMA模型，一個一個比較，想看一看還有沒有比前面我們建立的模型擬合效果更好的。挑選標準是國際通行的AIC準則。AIC是日本統計學家Akaike于1973年提出的。其基本思想是，變量越多，一般來說模型的擬合優(yōu)度會越高。但是我們又不能單純地以擬合的準確度的衡量模型的好壞，因為自變量的增多會導致未知參數的增多，而參數越多，參數估計的難度就越大，估計的精度也越差。因此，應該尋求在擬合優(yōu)度和參數個數之間的一個平衡，AIC到達最小時的模型被認為是最優(yōu)的模型。這就是說，我們所建立的預測模型，經過Ljung-Box檢驗，說明是優(yōu)良的模型。但是，如果有好多模型通過檢驗，證明優(yōu)良呢這時，就可以比較AIC的大小，到達優(yōu)中選優(yōu)的目的。統計界的經歷說明，ARMA模型最常見的4階之內。這樣會產生24個ARMA模型。分別是AR(1)、AR(2)、AR(3)、AR(4)、MA(1)、MA(2)、MA(3)、MA(4)、ARMA(1,1)、ARMA(2,1)、ARMA3,1)、ARMA(4,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,2)、ARMA(3,2)、ARMA(4,2)、ARMA(1,3)、ARMA(2,3)、ARMA(3,3)、ARMA(4,3)、ARMA(1,4)、ARMA(2,4)、ARMA(3,4)、ARMA(4,4)。R代碼：fit=arima(x,c(1,0,0));fit#ar(1)fit=arima(x,c(2,0,0));fit#ar(2)fit=arima(x,c(3,0,0));fit#ar(3)fit=arima(x,c(4,0,0));fit#ar(4)fit=arima(x,c(0,0,1));fit#ma(1)fit=arima(x,c(0,0,2));fit#ma(2)fit=arima(x,c(0,0,3));fit#ma(3)fit=arima(x,c(0,0,4));fit#ma(4)fit=arima(x,c(1,0,1));fit#arma(1,1)fit=arima(x,c(2,0,1));fit#arma(2,1)fit=arima(x,c(3,0,1));fit#arma(3,1)fit=arima(x,c(4,0,1));fit#arma(4,1)fit=arima(x,c(1,0,2));fit#arma(1,2)fit=arima(x,c(2,0,2));fit#arma(2,2)fit=arima(x,c(3,0,2));fit#arma(3,2)fit=arima(x,c(4,0,2));fit#arma(4,2)fit=arima(x,c(1,0,3));fit#arma(1,3)fit=arima(x,c(2,0,3));fit#arma(2,3)fit=arima(x,c(3,0,3));fit#arma(3,3)fit=arima(x,c(4,0,3));fit#arma(4,3)fit=arima(x,c(1,0,4));fit#arma(1,4)fit=arima(x,c(2,0,4));fit#arma(2,4)fit=arima(x,c(3,0,4));fit#arma(3,4)fit=arima(x,c(4,0,4));fit#arma(4,4)結果計算出每個模型的AIC值，如下：AR(4):aic=1151.31AR〔1〕：aic=1159.14AR〔2〕：aic=1161.08AR〔3〕：aic=1160.73MA(1):aic=1159.13MA(2):aic=1161.05MA(3):aic=1160.06MA(4):aic=1151.49ARMA(1,1):aic=1155.99ARMA(2,1):aic=1157.59ARMA(3,1):aic=1154.97ARMA(4,1):aic=1152.97ARMA(1,2):aic=1156.66ARMA(2,2):aic=1156.67ARMA(3,2):aic=1155.4ARMA(4,2):aic=1154.38ARMA(1,3):aic=1155.68ARMA(2,3):aic=1157.67ARMA(3,3):aic=1156.19ARMA(4,3):aic=1153.55ARMA(1,4):aic=1153.09ARMA(2,4):aic=1155.29ARMA(3,4):aic=1152.25ARMA(4,4):aic=1153.63第一行是我們前面建立的四階自回歸模型AR(4)的AIC值，為1151.31。經一一比照可以發(fā)現，所有其它模型的AIC值都大于115.31。就是說，我們前面建立的模型是所有可能模型中的最優(yōu)模型。三、GM(1,1)預測〔一〕方法簡介灰色系統理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并加以開展的。二十幾年來，引起了不少國內外學者的關注，得到了長足的開展。目前，在我國已經成為社會、經濟、科學技術在等諸多領域進展預測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統分析與建模的重要方法之一。而其精華在于GM(1,1)模型，GM(1,1)被廣泛應用于預測，并且預測效果很好，其使用限制條件是：原始數據單調，預測背景呈現穩(wěn)定開展趨勢；其優(yōu)勢是：適用于觀測數據較少的預測問題，算法簡單易行，預測精度相對較高。鑒于GM(1,1)預測適合于數據較少情況，我們選擇2008-2013年的近期數據，進展預測嘗試?！捕砇軟件操作1、把腳本文件GM11.R和data2.txt復制到“我的文檔〞；2、R窗口輸入命令：source("GM11.R")data2=read.table("data2.txt",header=T)x=data2$xxGM11(x,length(x)+1)#預測后1期值預測結果：2014年銷售量分別為28385.3。在R顯示結果中，是x(0)的模擬值的最后1個數。(三)模型檢驗利用R軟件進展操作處理結果顯示如下：平均相對誤差=22.11903%相對精度=77.88097%可見，GM(1,1)模型預測的誤差較大，相對精度不高。再進展后驗差比值檢驗。原始序列的方差：殘差序列e的方差：后驗差比值為：C值=S2/S1=0.7108341按照灰色預測理論，C值大于0.65，說明GM(1,1)預測精度等級為：不合格〔標準見下表〕。說明該模型的預測結果不太可靠。小誤差概率檢驗：R軟件給出了小誤差概率值，p=4/6=0.6666667。屬于(0.7,0.8]，GM(1,1)模型預測精度等級為：勉強合格〔標準見上表〕。綜合來看，對于我公司的數據，GM(1,1)模型效果并不理想。四簡要結論前面用ARIMA模型和GM(1,1)模型，對我公司的銷售量進展了預測。檢驗說明，GM(1,1)模型的精度較低，而ARIMA模型則通過Ljung-Box檢驗，說明模型優(yōu)良。而且，我們進展了全方位的24個模型的一一比對，發(fā)現我們建立的模型在所有可能模型中最優(yōu)。因而，建立重點參照ARIMA模型的預測結果。作為統計人員，基于對統計工作的經歷認識，明白任何預測，都是根據過往的歷史信息進展的。如果歷史條件不變，預測結果可靠。一旦歷史條件改變，則預測結果不一定準確。而且，只要是預測，無論方法多么科學，分析多么嚴謹，都沒有百分百的準確，都會有預測誤差。五進一步建議單變量時間預測，是依據單一變量—銷售量的歷史信息進展預測，并沒有考慮其它因素。結果僅具有參考意義。建議領導層根據自己的經歷、銷售部門根據其經歷，尤其是對未來經濟形勢的變化特點，修正前面的預測結果，使預測結果更加完善。附錄：GM〔1,1〕基本理論G表示Grey(灰)，M表示Model(模型)，前一個“1”表示一階，后一個“1”表示一個變量，GM(1,1)則是一階，一個變量的微分方程模型。給定等時間間隔的數據列，且設數據列單調：k表示時刻，表示t＝k時刻某量的觀測值，不妨設，，將數據列記成：表示原始數據序列。比方：。對原始數據作一次累加生成：即令得一次累加生成數序列為：在此，={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}給定的原始數據序列已經是單增序列，經一次累加后生成的累加數序列