2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)大串講（北師大版）：全等三角形證明方法：截長(zhǎng)補(bǔ)短（解析版）

專題09全等三角形證明方法——截長(zhǎng)補(bǔ)短例題精講：例1．已知：如圖，四邊形中，平分，于E，且，判斷、和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】，理由見(jiàn)解析【詳解】解：．理由如下：在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合），∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證出．例2．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)E，，求證：．?【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：則，∵平分，，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例3．如圖，已知為等腰三角形，，D為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，平分交、于點(diǎn)E、F，且．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求證．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，證明如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，化簡(jiǎn)，得：；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)K，使，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等解答．例4．如圖，在中，，，是的一個(gè)外角的平分線，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，，，且．求證：（1）是等邊三角形；（2）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：（1）如圖1，作于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于F，則，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．（2）如圖2，作交于點(diǎn)G，則，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的補(bǔ)角相等、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．已在等腰中，，，D為直線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作，且，連接，交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，且時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，在上任取一點(diǎn)G，連接，作射線使，交的平分線于點(diǎn)Q，求證：．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：；在上找到G點(diǎn)使得，如圖，∵，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）證明：在上找到H點(diǎn)，使得，如圖，∵平分，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證和是解題的關(guān)鍵．

專練過(guò)關(guān)：1．如圖，是的角平分線，，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）證明：在上取一點(diǎn)T，使得．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．2．如圖所示，平分，平分，和相交于上一點(diǎn)E，如果，證明：（1）；（2）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：（1）在中，∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；（2）如圖，在上截取，連接，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義及平行線的判定，全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，是的角平分線．求證：；【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：作于點(diǎn)E，則，∵是的平分線，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點(diǎn)F．（1）用含的式子表示，則；（2）當(dāng)時(shí)，用等式表示，，這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）∵，是的兩條角平分線，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．（2），證明：當(dāng)時(shí)，如圖，在上截取，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查三角形的角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，中，，以直角邊為腰，向外作等腰直角三角形，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，．（1）探究：與的數(shù)量關(guān)系；（2）求證：．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，中，，∵，∴，∴；（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)至G，使，連接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．

6．如圖，，，，，交于點(diǎn)P，若點(diǎn)C在上．（1），求的度數(shù)；（2）連接，求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖，在上取，連接，由（1）知，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，和都是等腰三角形，，，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在射線上，連結(jié)，若．求證：（1）；（2）．【答