遼寧省沈陽市第一七零中學2022-2023學年高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析_第1頁
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2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.給出下列命題:①過圓心和圓上的兩點有且只有一個平面②若直線與平面平行,則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點③若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則④如果兩條平行線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行⑤垂直于同一個平面的兩條直線平行其中正確的命題的個數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.42.下列說法正確的是()A.命題“”的否定是“”B.命題“已知,若則或”是真命題C.命題“若則函數(shù)只有一個零點”的逆命題為真命題D.“在上恒成立”在上恒成立3.甲、乙兩人進行象棋比賽,已知甲勝乙的概率為0.5,乙勝甲的概率為0.3,甲乙兩人平局的概率為0.1.若甲乙兩人比賽兩局,且兩局比賽的結果互不影響,則乙至少贏甲一局的概率為()A.0.36 B.0.49 C.0.51 D.0.754.函數(shù)零點所在的大致區(qū)間為()A. B. C.和 D.5.已知某個幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位:cm),可得這個幾何體的體積是A.B.C.D.6.在中,角的對邊分別是,若,則()A.5 B. C.4 D.37.在二項式的展開式中,其常數(shù)項是15.如下圖所示,陰影部分是由曲線和圓及軸圍成的封閉圖形,則封閉圖形的面積為()A. B. C. D.8.曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù),),它的普通方程是(

)A. B.C. D.9.“夫疊棋成立積,緣冪勢既同,則積不容異”是以我國哪位數(shù)學家命名的數(shù)學原理()A.楊輝 B.劉微 C.祖暅 D.李淳風10.已知雙曲線,兩條漸近線與圓相切,若雙曲線的離心率為,則的值為()A. B. C. D.11.將偶函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,得到的曲線的對稱中心為()A. B.C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的S值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將圓的一組等分點分別涂上紅色或藍色,從任意一點開始,按逆時針方向依次記錄個點的顏色,稱為該圓的一個“階色序”,當且僅當兩個“階色序”對應位置上的顏色至少有一個不相同時,稱為不同的“階色序”.若某圓的任意兩個“階色序”均不相同,則稱該圓為“階魅力圓”.“4階魅力圓”中最多可有的等分點個數(shù)為__________.14.高二(1)班有男生18人,女生12人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本,則抽取的男生人數(shù)為____.15.展開二項式,其常數(shù)項為_________.16.在長方體中,,,點為線段的中點,點為對角線上的動點,點為底面上的動點,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設不等式表示的平面區(qū)別為.區(qū)域內(nèi)的動點到直線和直線的距離之積為1.記點的軌跡為曲線.過點的直線與曲線交于、兩點.(1)求曲線的方程;(1)若垂直于軸,為曲線上一點,求的取值范圍;(3)若以線段為直徑的圓與軸相切,求直線的斜率.18.(12分)已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標方程,并判斷它們的位置關系;(2)將曲線向左平移個單位長度,向上平移個單位長度,得到曲線,設曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,設曲線上任一點為,求的取值范圍.19.(12分)已知知x為正實數(shù),n為正偶數(shù),在的展開式中,(1)若前3項的系數(shù)依次成等差數(shù)列,求n的值及展開式中的有理項;(2)求奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,并比較它們的大小.20.(12分)己知數(shù)列的首項均為1,各項均為正數(shù),對任意的不小于2的正整數(shù)n,總有,成立,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前n項和分別為,求所有使得等式成立的正整數(shù)m,的值.21.(12分)已知直線的方程為,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系.(1)求直線與圓的交點的極坐標;(2)若為圓上的動點,求到直線的距離的最大值.22.(10分)已知數(shù)列滿足,.(I)求,,的值;(Ⅱ)歸納猜想數(shù)列的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

依照立體幾何相關知識,逐個判斷各命題的真假?!驹斀狻吭冖僦?,當圓心和圓上兩點共線時,過圓心和圓上的兩點有無數(shù)個平面,故①錯誤;在②中,若直線與平面平行,則與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面,都沒有公共點,故②正確;在③中,若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則與相交或平行,故③錯誤;在④中,如果兩條平行線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行或在這個平面內(nèi),故④錯誤;在⑤中,由線面垂直的性質(zhì)定理得垂直于同一個平面的兩條直線平行,故⑤正確.故選.2、B【解析】

A.注意修改量詞并否定結論,由此判斷真假;B.寫出逆否命題并判斷真假,根據(jù)互為逆否命題同真假進行判斷;C.寫出逆命題,并分析真假,由此進行判斷;D.根據(jù)對恒成立問題的理解,由此判斷真假.【詳解】A.“”的否定為“”,故錯誤;B.原命題的逆否命題為“若且,則”,是真命題,所以原命題是真命題,故正確;C.原命題的逆命題為“若函數(shù)只有一個零點,則”,因為時,,此時也僅有一個零點,所以逆命題是假命題,故錯誤;D.“在上恒成立”“在上恒成立”,故錯誤.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的判斷,涉及到函數(shù)零點、含一個量詞的命題的真假判斷、不等式恒成立問題的理解等內(nèi)容,難度一般.注意互為逆否命題的兩個命題真假性相同.3、C【解析】

乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸,由此能求出乙至少贏甲一局的概率.【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【點睛】本題考查概率的求法,考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.4、B【解析】

判斷函數(shù)單調(diào)遞增,計算,得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,故函數(shù)在有唯一零點.故選:.【點睛】本題考查了零點存在定理,確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.5、B【解析】試題分析:如圖,幾何體是四棱錐,一個側面PBC⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且邊長為20,那么利用體積公式可知,故選B.考點:本題主要考查三視圖、椎體的體積,考查簡單幾何體的三視圖的運用.培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力.點評:解決該試題的關鍵是由三視圖可知,幾何體是四棱錐,一個側面垂直底面,底面是正方形,根據(jù)數(shù)據(jù)計算其體積.6、D【解析】

已知兩邊及夾角,可利用余弦定理求出.【詳解】由余弦定理可得:,解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形,注意根據(jù)條件選用合適的定理解決.7、B【解析】

用二項式定理得到中間項系數(shù),解得a,然后利用定積分求陰影部分的面積.【詳解】(x1+)6展開式中,由通項公式可得,令11﹣3r=0,可得r=4,即常數(shù)項為,可得=15,解得a=1.曲線y=x1和圓x1+y1=1的在第一象限的交點為(1,1)所以陰影部分的面積為.故選:B【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項式展開式的通項公式,屬于基礎題.8、B【解析】

將曲線的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù),即可得到它的普通方程.【詳解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程為,故選B.【點睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化,屬于簡單題.消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.9、C【解析】

由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法,即運用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積,緣冪勢既同,則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果兩個截面面積仍然相等,那么這兩個幾何體的體積相等”,這就是以我國數(shù)學家祖暅命名的數(shù)學原理,故選:C.【點睛】本題考查祖暅原理的理解,考查空間幾何體體積的求法,考查對概念的理解,屬于基礎題.10、A【解析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程,再由漸近線與圓相切,列出方程,求解,即可得出結果.【詳解】漸近線方程為:,又因為雙曲線的離心率為,,所以,故漸近線方程為,因為兩條漸近線與圓相切,得:,解得;故選A?!军c睛】本題主要考查由直線與圓的位置關系求出參數(shù),以及由雙曲線的離心率求漸近線方程,熟記雙曲線的簡單性質(zhì),以及直線與圓的位置關系即可,屬于??碱}型.11、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式,根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對稱軸即可.【詳解】∵為偶函數(shù),∴,∴.令,得.故選:D【點睛】本題主要考查了誘導公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.12、D【解析】

執(zhí)行循環(huán),根據(jù)判斷條件確定結束循環(huán),輸出結果.【詳解】第1步:a=7-2n=5,a>0成立,S=S+a=5,n=2;第2步:a=7-2n=3,a>0成立,S=S+a=8,n=3;第3步:a=7-2n=1,a>0成立,S=S+a=1,n=4;第4步:a=7-2n=-1,a>0不成立,退出循環(huán),輸出S=1.選D.【點睛】本題考查循環(huán)結構流程圖,考查基本分析判斷能力,屬基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】分析:由題意可得,“4階色序”中,每個點的顏色有兩種選擇,故“4階色序”共有2×2×2×2=1種,從兩個方面進行了論證,即可得到答案.詳解:“4階色序”中,每個點的顏色有兩種選擇,故“4階色序”共有2×2×2×2=1種,一方面,n個點可以構成n個“4階色序”,故“4階魅力圓”中的等分點的個數(shù)不多于1個;另一方面,若n=1,則必需包含全部共1個“4階色序”,不妨從(紅,紅,紅,紅)開始按逆時針方向確定其它各點顏色,顯然“紅,紅,紅,紅,藍,藍,藍,藍,紅,藍,藍,紅,紅,藍,紅,藍”符合條件.故“4階魅力圓”中最多可有1個等分點.故答案為:1.點睛:本題主要考查合情推理的問題,解題的關鍵分清題目所包含的條件,讀懂已知條件.14、3【解析】

根據(jù)分層抽樣的比例求得.【詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數(shù)為5×18故得解.【點睛】本題考查分層抽樣,屬于基礎題.15、【解析】

利用二項展開式通項,令的指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,再代入通項可得出二項式展開式的常數(shù)項.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得.所以,二項式展開式的常數(shù)項為,故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算,解題時要充分利用二項式展開式通項,利用的指數(shù)來求解,考查運算求解能力,屬于基礎題.16、【解析】

畫出圖形,利用折疊與展開法則使和在同一個平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值.【詳解】當?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動點,當是在底面上的射影,即是最小值.展開三角形與三角形在同一個平面上,如圖:長方體中,,長方體體對角線長為:在中:故故過點作,即為最小值.在,故答案為:.【點睛】解答折疊問題的關鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形,并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(1);(3)【解析】

(1)根據(jù)“區(qū)域內(nèi)的動點到直線和直線的距離之積為”列方程,化簡后求得曲線的方程.(1)求得兩點的坐標,利用平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡,由此求得的取值范圍.(3)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線,寫出韋達定理.求得以為直徑的圓的圓心和直徑,根據(jù)圓與軸相切列方程,解方程求得直線的斜率.【詳解】(1)設,依題意①,因為滿足不等式,所以①可化為.(1)將代入曲線的方程,解得.取,設,因為為曲線上一點,故.則.即的取值范圍是.(3)設直線的方程是,.聯(lián)立,消去得,所以.設線段的中點為,則,所以..因為以線段為直徑的圓與軸相切,所以,即,化簡得.所以直線的斜率為.【點睛】本小題主要考查雙曲線標準方程及其性質(zhì),考查一元二次方程根與系數(shù)關系,考查中點坐標公式、點到直線距離公式,考查運算求解能力,屬于難題.18、(1);;直線和曲線相切.(2).【解析】

(I)直線的一般方程為,曲線的直角坐標方程為.因為,所以直線和曲線相切.(II)曲線為.曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線的方程為,則點的參數(shù)方程為(為參數(shù)),所以,所以的取值范圍為.19、(1),有理項有三項,分別為:;(2)128,128,相等【解析】

(1)首先找出展開式的前3項,然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可列出等式,求出n,于是求出通項,再得到有理項;(2)分別計算偶數(shù)項和奇數(shù)項的二項式系數(shù)和,比較大小即可.【詳解】(1)二項展開式的前三項的系數(shù)分別為:,而前三項構成等差數(shù)列,故,解得或(舍去);所以,當時,為有理項,又且,所以符合要求;故有理項有三項,分別為:;(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為:,偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為:,故奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項,二項式系數(shù)和,注意二項式系數(shù)和與系數(shù)和的區(qū)別,意在考查學生的計算能力和分析能力,難度中等.20、(1),;(2),.【解析】

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