新教材蘇教版數(shù)學(xué)課后練習(xí)13-2-4第2課時(shí)兩平面垂直

課后素養(yǎng)落實(shí)(三十三)兩平面垂直(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的序號是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．]2．設(shè)α-l-β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么說法中正確的是()A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行C[當(dāng)a，b都與l平行時(shí)，則a∥b，所以AD錯．如圖，若a⊥b，過a上一點(diǎn)P在α內(nèi)作a′⊥l，因?yàn)棣痢挺?，所以a′⊥β．又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，與題干要求矛盾，即a與b不可能垂直．排除B，故選C．]3．下列四個(gè)命題中錯誤的是()A．過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直B．過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行C．如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行D．如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)B[根據(jù)空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，故A正確；過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該平面平行，故B不正確；根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知C正確；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)知D正確．]4．如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60°，那么這個(gè)二面角大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°D[連接B′C，則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a，則B′C＝AC＝eq\r(2)a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°．所以二項(xiàng)角B′-AD-C的大小是90°．]5．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體A-BCD，則在四面體A-BCD中，下列說法正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABDD[由題意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC．因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD．故選D．]二、填空題6．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為________．90°[∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小為90°．]7．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是________．垂直[因?yàn)镻C⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD．設(shè)AB與平面PCD的交點(diǎn)為H，連接CH，DH．因?yàn)锳B⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°．又PC⊥α，CH?α，所以PC⊥CH，同理PD⊥DH，所以在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β．]8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為________．30°[如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OC，OC1．∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6)．∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD．∴∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角，∴tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°．]三、解答題9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F．[證明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC．在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1．又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F．(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1．因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1．又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1．因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F．因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F．10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNF⊥平面NEF；(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值．[解](1)證明：∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn)，∴NF⊥平面A1B1C1D1．而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN．又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn)，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE．又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF．而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF．(2)在平面NEF中，過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連接MG．由(1)得知MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，∴MN⊥EF．又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG．∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角．設(shè)該正方體的棱長為2．在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(\r(2)×2,\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(6),2)．∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2)．11．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn))，M為線段AP的中點(diǎn)，則()A．CM與PN是異面直線B．CM＞PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．過P，A，C三點(diǎn)截正方體的截面一定是等腰梯形BCD[由C，N，A共線，即CN，PM交于點(diǎn)A，因此CM，PN共面，A錯誤；記∠PAC＝θ，則PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋eq\f(1,4)AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋eq\f(1,4)AP2－AP·ACcosθ，又AP＜AC，CM2－PN2＝eq\f(3,4)(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN．B正確；由于正方體中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN?平面PAN，從而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正確；在C1D1上取點(diǎn)K，使D1K＝D1P，連接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方體中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK，AC共面，PKCA就是過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面，它是等腰梯形，D正確．故選BCD．]12．如果一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面三角形的()A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心A[三側(cè)面兩兩垂直，則三條側(cè)棱也兩兩垂直，∴PC⊥平面PAB，∴AB⊥PC．作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，則AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC．同理，OB⊥AC，∴O為△ABC的垂心．]13．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α和β之外的兩條不同直線，下列四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________．①③④?②(或②③④?①)[由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n．]14．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC．底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF．a(chǎn)或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a．]15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．[證明](1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)如圖，連接PG．∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG