【壓軸必考】2023學年九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的面積問題（解析版）

二次函數(shù)中的面積問題類型一、面積最值問題例1．已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側），頂點為D，且過C（－4，m）．(1)求點A，B，C，D的坐標；(2)點P在該拋物線上（與點B，C不重合），設點P的橫坐標為t．①當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值，②連接BD，當∠PCB＝∠CBD時，求點P的坐標．【答案】(1)A（-5，0），B（-1，0）；C（-4，-3）；D（-3，-4）(2)①；②（0，5）或（，）【解析】(1)解：∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點D的坐標為（-3，-4）；令y=0，則，解得或，∵拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側），∴點A的坐標為（-5，0），點B的坐標為（-1，0）；令，則，∴點C的坐標為（-4，-3）；(2)解：①設直線BC的解析式為，∴，∴，∴直線BC的解析式為，過點P作PE⊥x軸于E交BC于F，∵點P的橫坐標為t，∴點P的坐標為（t，），點F的坐標為（t，t+1），∴，∴，∴當時，△PBC的面積最大，最大為；②如圖1所示，當點P在直線BC上方時，∵∠PCB=∠CBD，∴，設直線BD的解析式為，∴，∴，∴直線BD的解析式為，∴可設直線PC的解析式為，∴，∴，∴直線PC的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點P的坐標為（0，5）；例2．如圖，直線與拋物線相交于點和點，拋物線與軸的交點分別為、（點在點的左側），點在線段上運動（不與點A、重合），過點作直線軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，連接，是否存在點，使是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，過點作于點，當?shù)闹荛L最大時，求點坐標，并求出此時的面積．【答案】(1)；(2)存在或；(3)；【解析】(1)解：將代入中∴將、代入中解得：∴(2)設，則、令y=0代入中得，x=-2∴與x軸的交點坐標為：∴，∴如圖：當時，則，解得：（舍去），∴當時，，解得：（舍去），，綜上，或(3)由（2）知∴的周長當時，最大，∴如圖2所示，當點P在直線BC下方時，設BD與PC交于點M，∵點C坐標為（-4，-3），點B坐標為（-1，0），點D坐標為（-3，-4），∴,，，∴，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，∵∠CBD=∠PCB，∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴MD=MB，∴M為BD的中點，∴點M的坐標為（-2，-2），設直線CP的解析式為，∴，∴，∴直線CP的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點P的坐標為（，）；綜上所述，當∠PCB＝∠CBD時，點P的坐標為（0，5）或（，）；【變式訓練1】如圖，拋物線與x軸交于點、兩點，與y軸交于點；(1)求出此拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線AC上方的拋物線上有一點M，求的最大值；(3)如圖2，將線段OA繞x軸上的動點順時針旋轉90°得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函數(shù)圖象，求m的取值范圍；【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)由題意，設拋物線的解析式為，把代入解析式解得：，

所以，拋物線的解析式為；(2)如圖1，過點作軸，交于點，設直線的解析式為，把，代入可得：，解得：，直線的解析式為，

設點坐標為，則點坐標為，又點在直線上方，，，，，當時，有最大值為2；(3)如圖2，線段繞軸上的動點順時針旋轉得到線段，由旋轉性質可得：，，

，，當在拋物線上時，，解得：，當點在拋物線上時，，解得：或2，或時，線段與拋物線只有一個公共點；【變式訓練2】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為，兩點，與y軸交于點，頂點為D，其對稱軸與x軸交于點E．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為S，求S的最大值及此時點P的坐標．【答案】(1)；(2)S的最大值是，點P的坐標是【解析】(1)解：∵二次函數(shù)過，兩點，∴設二次函數(shù)解析式為，∵二次函數(shù)過C點，∴，解得a＝1，∴即二次函數(shù)解析式為；(2)解：設直線解析式為：y＝kx＋b，∵，，∴，解得，∴直線的解析式為y＝﹣x－3，過點P作x軸的垂線交于點G，設點P的坐標為，則，∵點P在第三象限，∴，∴，∴當時，，此時，∴點.即S的最大值是，此時點P的坐標是.類型二、面積定值問題例1.已知拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，P是線段BC上一點，過點P作軸交x軸于點N，交拋物線于點M．(1)求該拋物線的表達式；(2)如果點P的橫坐標為2，點Q是第一象限拋物線上的一點，且和的面積相等，求點Q的坐標．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)（1+，1）【解析】(1)解：（1）將B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：，解得：．∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3．(2)依照題意畫出圖形，如圖所示．設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），將點C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線BC的表達式為y=-x+3，∴P（2，1），M（2，3），∴S△PCM=CM?PM=2．設△QCM的邊CM上的高為h，則S△QCM=×2×h=2，∴h=2，∴Q點的縱坐標為1，∴-x2+2x+3=1，解得：x1=1+，x2=1-（舍去），∴點Q的坐標為（1+，1）．【變式訓練1】如圖，等腰直角三角形的直角頂點在坐標原點，直角邊，分別在軸和軸上，點的坐標為，且平行于軸．(1)求直線的解析式；(2)求過，兩點的拋物線的解析式；(3)拋物線與軸的另一個交點為，試判定與的大小關系；(4)若點是拋物線上的動點，當?shù)拿娣e與的面積相等時，求點的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(，)或(，)或(，)【解析】(1)解：∵點的坐標為，且平行于軸，∴點的坐標為且，∵是等腰直角三角形，，∴，∴點的坐標為，設直線的解析式為，由題意得，解得，∴直線的解析式為；(2)解：∵拋物線過，兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；(3)解：拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸直線為，∵點的坐標為，點與點D關于對稱軸對稱，∴點D的坐標為，∴，∵點的坐標為，∴，∴(4)解：∵點的坐標為，且平行于軸，∴，∴，當點M在直線AB的上方時，如圖所示，過點M作軸，交直線AB于點N，設M的坐標為(，)，則N的坐標為(，)，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得或（舍，該點為點C），此時M的坐標為(，)或(，)；當點M在直線AB的下方時，如圖所示，過點M作軸，交直線AB于點N，設M的坐標為(，)，則N的坐標為(，)，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得此時M的坐標為(，)或(，)；綜上可得，M的坐標為(，)或(，)或(，)．【變式訓練2】如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上一動點．①當?shù)拿娣e最大時，直接寫出點的坐標________；②過點作軸交于點，是否存在一點，使的面積最大？若存在，求出最大面積及此時點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)①；②，(3)存在，或【解析】(1)解：點，在拋物線上．解得：拋物線的