九年級(jí)暑假上冊(cè)（教師版）

目錄

第一講整式的恒等變形2

第二講因式分化

第三講數(shù)與式29

第四講一元二次方程（一）48

第五講一元二次方程（二）66

第六講一元方程83

第七講方程組107

第八講不等式121

第一講整式的恒等變形

【常識(shí)概述】

乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式，是在多項(xiàng)式乘法的根本上，將多項(xiàng)式乘法的一樣法則應(yīng)

用于一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，得出的既有特殊性、又有有效性的具體結(jié)論.它既是對(duì)

“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)后續(xù)常識(shí)因式分化、解一元二次方程、分式、根式等

的根本，在復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證

明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在初中階段占有很重要的地位.

除了常見(jiàn)的平方差公式與完全平方公式外，還有包羅立方和差公式、完全立方公式等在

內(nèi)的一些乘法公式也是數(shù)學(xué)中常用公式之一，在初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)，甚至高等數(shù)學(xué)中常

常見(jiàn)到.本講主要包含兩個(gè)模塊，在對(duì)一些根基的乘法公式作溫習(xí)和鞏固的根本上，對(duì)乘

法公式進(jìn)行必然程度的拓展和延伸，進(jìn)而引申出整式恒等變形的一些常見(jiàn)方式和思路.

【常識(shí)結(jié)構(gòu)】

模塊一：乘法公式

【常識(shí)精要】

1.立方和、立方差公式：

(?+-ab+O?)=1+Z?；

(a-b^a2+ab+b2^-a3-b^；

其中要注重以下幾點(diǎn)：

(1)成果是立方和仍是立方差由第一個(gè)因式是和仍是差決意；

(2)這兩個(gè)公式還能進(jìn)一步推廣：

(a+3(〃"_/■力+合”斤----加，I+戶)=白+1+戶用.

(a-b)(a"-'+a'-2b+---+abn-2+b"-')=/—6".

2.完全立方公式：

(a+b'f=a3+3a2b+3ab2+b'；

(a-bf=a}-3a°b+3ab2-b,；

其中要注重以下幾點(diǎn)：

(1)運(yùn)用完全立方公式計(jì)算時(shí)，成果平常按一個(gè)數(shù)(或字母)降塞布列;

(2)完全立方公式也有兩個(gè)常見(jiàn)變形：

(a+短=(?+/?+3at>(a+b),

,3+by=(?+-3ab(^a+b).

3.除了上述這些公式外，一下一些公式也對(duì)照常見(jiàn):

(a+6+c)-=a2+b2+c2+lab+2bc+2ac；

(。+匕+。)(儲(chǔ)+b2+c2-ab-bc-caj-a1+b^+<?3-3abc；

(a+6)(6+c)(c+a)=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+labc；

(a-6)(。-c)(c-a)=crc+b2a+c2b-a2b-b2c-c2a.

其中要注重以下幾點(diǎn):

(1)在一些乘法公式中，參加把a(bǔ)-b懂得成a+(-b),則無(wú)數(shù)公式的記憶和懂得會(huì)變

得很方便;

(2)第一個(gè)公式(一樣稱(chēng)作三項(xiàng)和的平方公式)有如下兩個(gè)常見(jiàn)變形:

a2+b2

【典型例題】

1.補(bǔ)全將下列乘法公式：

(1)()(?2+2a/>+4Z>2)=；

(2)()+()-64；

(3)(3x-2yy=；

(4)(x+y)'(x-=-

2

【答案解析】(1)a-2b,“3一汕3；(2)a-4,12a,48a；(3)

27x3-54%2y+36xy2-8y3；(4)/-3x4y2+3x2/.

【試題解答】(1)a2+2ab+4b2=a2+a-2b+(2/>)2,

.?.(4-%)(儲(chǔ)+2"+46,="一助3；

(2)?.,/-()+()-64=/-()+()-4,，

:.(a-4)'=/_12/+48a-64；

(3)原式=27x3-54x2y+36xy2-8,y3；

(4)原式=(/-J，=d_3》4丫2+3彳2,4_.

2.化簡(jiǎn)下列各式并求值:

(1)(x+2乂x2-2x+4)+(x-l乂x?+x+l),其中x=-l；

(2)1+-+(3x-y乂9/+3盯+力，其中x=-l,y=2.

【名師點(diǎn)撥】考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值.

【答案解析】(1)5；(2)-39.

【試題解答】(1)原式=丁+23+丁一/=2/+7,

代入x=-1可得，原式=-2+7=5；

(2)原式=2%.y+(3x)3一J=27X3-y3+2xy,

代入x=-1,y=2可得,原式=-27-8-4=-39.

2244

3.(1)已知x+y=3,x+y=5,則d+y3=,x+y=

+y'=；

(2)已知x+y=10,x3+y3=100,貝1」/+9=.

(3)已知x+y+z=2,x24-y2+z2=6,x3+y3+z3=8,則xyz=

x4+y44-z4=.

【答案解析】(1)9,17,33；(2)40；(3)-2,18.

【試題解答】(1)???x+y=3,f+y2=5,

D=g[(x+y)2-(d+y2)]=2,

/.x3+y3=(工+以工2-Ay+y2)=3x(5-2)=9,

x4+y4=(f+力-^2x2y2=25-2x4=17,

x5+y5=(x+y)(x。-xiy+j^y2-xy3+力

=(x+y)[x。+y4―9卜2+y2)+12y2]

=3x07-2x5+4)=33；

(2)vx+y=10,x3+y3=100,

x3+/=(x+y)(x2f+y

...孫=30,x2-xy+y2=10,x2+y2=40；

(3)(3)vx+y+z=2,x2+y2+z2=6,

/.與,+yz+zr=；［(x+y+z)2-(x2+y2+z2)J=-l,

又x，+_/+z，=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zxj=8,xyz--2,

又Yy?+y2z2+z2x2=(xy+yz+zx)--2xyz(x+y+z)=9,

X4+/+Z4=(X2+y2+z2)2_2(/y2+^^2+.

1-------(a+6)°

11-------(a+“

121-------(a+6)2

1331-------S+城

14641(a+6『

（2?J好艮據(jù)賈憲三角直接寫(xiě)瓶ft）"［、（"+"的展開(kāi)式:

（2）請(qǐng)用多項(xiàng)式乘法或所學(xué)的乘法公式驗(yàn)證你寫(xiě)出的S+b）"的成果.

【答案解析】(1)a4+4a}b+6a2b2+4ab}+。4,

o,+5a4b+IOa3b2+1Oa2b3+5ab4+b5；

(2)略.

【試題解答】(1)根據(jù)系數(shù)規(guī)律，對(duì)于(。+3”的展開(kāi)式，

〃=4時(shí)，系數(shù)為1、4、6、4、1,

〃=5時(shí)，系數(shù)為1、5、10、10、5、1,

(a+6)4=a4+4a3b+6a2b2+4加+bA,

(a+=/+5a4b+10?V+10a2//+5ah4+b5；

(2)(a+〃)4=(a+6)，+/?)~

=(a?+2ab+b1)(/+lab+/)=a4+4a%+602bl+4ab3+b4.

5.己知一個(gè)正整數(shù)〃恰好等于另一個(gè)正整數(shù)。的平方，則稱(chēng)正整數(shù)a為完全平方數(shù).如

64=82,64就是一個(gè)完全平方數(shù).

(1)若m=4刈6+2刈7+1,求證：機(jī)是完全平方數(shù)；

(2)若加=20?+20162x2017?+20*2,求證：m是完全平方數(shù).

【名師點(diǎn)撥】考查二項(xiàng)與三項(xiàng)的完全平方式及配方式.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【試題解答】(1)由題意可知，

...租=42016+22017+1=(22016)2+2X220,6+]=(2刈6+]丫，

：.m是完全平方數(shù)；

(2)由題意可知，

?.?m=20162+20162x20172+20172,

令x=2016,則有：

m=x2+x2-(x+1)-+(x+1)-

=x"+2*+3x~+2x+1=x+x~+1+2*+2x~+2x

=(x2+x+l)2=(20162+2016+l)2,

m是完全平方數(shù).

6.已知26=52+E,53=72+22,26x53=1378,1378=372+32,察看可知26、53

可示意為兩個(gè)平方數(shù)的和，將這兩個(gè)數(shù)相乘，乘積依然是兩個(gè)平方數(shù)的和，數(shù)學(xué)

中將26、53如許的數(shù)稱(chēng)為“不變心的數(shù)”.

(1)試找出另外兩個(gè)“不變心的數(shù)”；

(2)請(qǐng)說(shuō)明其中的事理.

【名師點(diǎn)撥】考查完全平方數(shù)和配方式的運(yùn)用.

【答案解析】(1)任取，如5和25；(2)略.

【試題解答】(1)另找兩個(gè)“不變心的數(shù)”，

如5=0+22,25=32+42,

5X25=125=112+22；

(2)設(shè)機(jī)n=c2+d2,

貝I］加=(〃+〃)卜2+屋)+//+b2d+a2d2

=(a2c2+2abed+b2d2^+(b2c2-2abcd+a2J2)

=^ac+bd)~+{bc-ady.

7.(1)已知a、b為正實(shí)數(shù)，S.a+b=i,求證：/+從之工；

2

(2)己知p3+g3=2,求證：p+q<2.

【名師點(diǎn)撥】考查配方式與完全平方公式在非負(fù)數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【試題解答】(1)\,a+b=1,

要證即證/+622色叫_,

22

即證：2(a2+&2)>(a+6)2,

即證：a2+h2>2ab,

即證：(a20,得證；

(2),??p3+q3=(p+q)(p2-內(nèi)+/)

=；(2+/(4p2-4pq+4q?

=?P+q)(P°+2pq+#+3p2_6pq+3q)

=*+4)[(0+/+3(p-q)[M(p+4);

(p+^)3<8,即p+”2得證.

8.求證:

(x+y-2z)3+(y+z-2x)*+(z+x-2?=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y).

【名師點(diǎn)撥】套用乘法公式

/+//+c3-3abc=(^a+b+c^a2+b2+c2-ab-bc-ca^,整體換元*

【答案解析】略.

【試題解答】T^a=x+y-2z,b=y+z-2x,c=z+x-2y,

則有a+6+c=0,

?/a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)^a1+b2+c2-ab-bc-ca^=O

.'.o'+b)+c3=3abc,即原式得證.

模塊二：整式的恒等變形

【常識(shí)精要】

當(dāng)然參加遇到不能直接使用乘法公式的問(wèn)題，可以恰當(dāng)創(chuàng)造前提使之吻合乘法公式的特

點(diǎn)，這種通過(guò)變換，將一個(gè)代數(shù)式化為另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式，稱(chēng)為恒等變形.常見(jiàn)的

恒等變形的方式如下：

(1)整體代入(換元法)：

當(dāng)整式中字母的值求出對(duì)照貧窮困難甚至無(wú)法求出時(shí)，需要把注重力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題

的整體結(jié)構(gòu)上，把緊密聯(lián)系的量作為一個(gè)整體來(lái)處理(或用一個(gè)新設(shè)的未知數(shù)示意)，

運(yùn)用“整體思想”可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

(2)消元降次:

一元一次，二元一次的問(wèn)題我們會(huì)解，這是解題的基石.在解答問(wèn)題時(shí)，參加未知數(shù)

的次數(shù)較高，就要思量降次，降為一次大概是二次，相對(duì)來(lái)說(shuō)就簡(jiǎn)單多了，同樣的，

當(dāng)未知數(shù)多的時(shí)辰就要想到消元(代入消元、加減消元)，消掉未知數(shù)，變?yōu)橐辉?/p>

問(wèn)題即可.

舉一個(gè)例子：若X2+%-1=0,求/+1+》-5的值.

x2=1-X,則*3=X。?x=(1-x=x-x?=x-(l-x)=2x-1,

x4=x3-x=x(2x-l)=2x2-x=2(l-x)-x=2-3x(即反復(fù)操縱Y=1_犬進(jìn)行降次)，

故原式=2-3x+3x-1+x-5=1—5=-4；

(3)配方式：

配方式的應(yīng)用十分廣泛，既可以配方后操縱非負(fù)性得到未知數(shù)滿足的前提，也可以配

方后聯(lián)合所給前提進(jìn)行求值，關(guān)鍵是要找到符合的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)，有效地進(jìn)行配方.

具體變形步驟如下:

2.(2t)C

ax+bx+c=a\x+—x+—

\aa

（4）對(duì)稱(chēng)式:

隨意率性?xún)勺帜附涣鲿r(shí)，代數(shù)式連結(jié)不變，稱(chēng)如許的代數(shù)式為對(duì)稱(chēng)式，對(duì)稱(chēng)式中有幾個(gè)

未知數(shù)即稱(chēng)為幾元對(duì)稱(chēng)式.對(duì)稱(chēng)式的一個(gè)最重要的性質(zhì)是二元對(duì)稱(chēng)式中一樣只需已知其

中兩個(gè)對(duì)稱(chēng)式的值即可求出其余所有的二元對(duì)稱(chēng)式的值；三元對(duì)稱(chēng)式中一樣只需已知其

中三個(gè)對(duì)稱(chēng)式的值即可求出其余所有的三元對(duì)稱(chēng)式的值，以此類(lèi)推；求值時(shí)一樣根據(jù)次

數(shù)從底到高的次序進(jìn)行，例如二元對(duì)稱(chēng)式中一樣起首求出（或已知）x+y,沖的值再求

X1+y2,x3+y3,---

【典型例題】

9.正整數(shù)4、b、C滿足“3+匕3+d=3必C,且4+6=2,求（a-b+c戶”的值.

【答案解析】1.

【試題解答】〃3+"+。3_3而。=0,即

(<a+h+c^a2+h2+c2-ab-bc-ac^-0,

而正整數(shù)。、b、c,貝ljQ+Z?+CWO,

所以/-by+(a-c)~+=0,

是以a=A=c,聯(lián)合Q+Z?=2,得到。=b=c=L(^-/2+c)2017=1.

10.(1)已知4/-39=7,3/+2y2=19,求代數(shù)式14/-2丁的值；

(2)(2021上海交中初級(jí)中學(xué)初一期中)已知a+b=8,劭=-33,若

a2+3b=\\2,求"+3“的值；

(3)在等式y(tǒng)="2+bx+c中，當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)》=一1時(shí)，_y=5,

求34-4b2+3c的值.

【答案解析】(1)52；(2)42；(3)8.

【試題解答1(1)14/3=2(7X2-7)=2[(4x2-3/)+(3x2+27)]

=2(7+19)=52；

(2)+3b+人-+3a=(a+/?)—2a/?+3(a+6)

=64+66+24=154,

所以Z?+3a=154-+3。)=154—112=42；

(3)由題意得，

=〃+：+'解得+

[5=a-b+c[b=-1

故3a-4廿+3C=3(4+C)-4/=12-4=8.

11.(I)若/+3苫-1=0,求x'+x'+x—5的值；

(2)若f+Bx-JO,求*3+5/+51+20的值；

(3)若x?+3x+l=0,求3d+(f+5)(x?-l)-x(5x+6).

【答案解析】(1)-4;(2)22；(3)-3.

【試題解答】(1)由題意得，x2=l-x,

則f+x3+X-5=X2(1-X)+X3+x-5

=x2-x3+x3+x-5=x2+x-5=1-5=-4；

(2)由題意得，x2=—3x+I,

則原式=x(-3x+l)+5(-3x+l)+5x+20

=-3x2-9X+25=-3(X2+3x)+25

=-3(f+3x)+25=-3+25=22；

(3)由題意得，x2+3x=—1,

則原式=x4+3/-x2-6x-5=4￡+3x)-x2-6x-5=-2x2-6x-5

=-2(d+3x)-5=-3.

12.(1)若x2=x+l,y2=y+[,且求V+y，的值；

(2)若一一X2"+1=0,求/'+x"+2017的值.

【答案解析】(1)11；(2)2021.

【試題解答】(1)兩式相減有V—V=x-y,可得x+y=i,

x5=xxx2xx2=x(x+l)-=xfx2+2x+l)=x(3x+2)=3x2+2x=5x+3,

同理可得＞=5y+3,

所以d+曠=5(x+y)+6=ll；

(2)由已知得，x3n=x2n-1,

x5"+x"+2017=x2"(x2"-1)+V+2017

=x4n-x2,,+y,+2017=y,(x2"-l)-x2n+Z+2017

=x3,,-x"-x2"+x"+2017=x2n-\-x2n+2017=2016.

13.(1)已知/+--4/2>+5=0,求(x+yf^的值；

(2)若實(shí)數(shù)a、6滿足“62+/+戶一4"+1=0,求a+2匕的值；

(3)已知x-y=a,z-y=10,求代數(shù)式x?+y?+z?-yz-zx的最小值;

(4)已知a+>+c=3,a2+b2+c2=3,求/。"+層?！?C237的值.

【答案解析】(1)1;(2)±3；(3)75；(4)3.

【試題解答】(1)*2+9_4》+2)，+5=0可化簡(jiǎn)為(x-2)2+(y+l)2=0,

:.x=2,y=-1,

/\20131

「.(x+y)=1；

(2)//+々2+從一4必+1=0可化簡(jiǎn)為(〃一人丫+("一[)2=0,

.??4=。=1或。=。=一1,

。+2/?=3或-3；

(3)因?yàn)閤-y=a,z-y=\0,所以z_%=(z_y)-(x_y)=10-a,

所以％2+9+

=^a2+102+(10-a)2]=a2-10a+K)0=(a-5)2+75,

明顯當(dāng)a=5時(shí)，原式取最大值75；

（4）由已知有（4-1）2+（匕-1）2+（o—1）2=（/+/+。2）—2（4+匕+。）+3=3—6+3=0,

則a=6=c=l,所以-7+謬7+c刈7=3.

14.（1）已知2a6+2尸—4a=0,〃一65+5=0,求a+后的值;

（2）已知a4+//+c4+d4=4o/?cd,且a、b、c、d都是正數(shù),

ivci—2b+3c—4d

求------------------的值.

4。+38一2c-d

【答案解析】（1）2；（2）

2

【試題解答】（1）由題意得，a2+2ab+b2-4a+4+b2-6b+l=0,

整理得，a2+2ah+h2-4a-4b+4+b2-2b+l=0,

配方得，（〃+匕一2）2+伍-1）2=0,

..\a+b—2=0Er\a=]?,.

故V,,c,解出，,則a+從=2；

[o-l=0[o=1

（2）因?yàn)閍4+b4+c4+d4^4abcd,

所以a，+b4—2a2b2+cA+d4-2c2d2=-2（a2b2+c2d2-2abcd）,

配方得（/一從丫+卜2-/J+2@一cd）?=0,

a』

由非負(fù)性可得”2=解，

ab=cd

解出a=b=c=",a=b=—c——d,a=—b=c=-d,a=-b=-c=d,

因?yàn)閍、b、c、d都是正數(shù)，故a=〃=c=d,

匚匚a—2Z?+3c—4d1

所以-------------=——.

4a+3b-2c-d2

【課堂練習(xí)】

1.(10分)若x-y=2,f+y=4,則/J產(chǎn)6的值是()

A.4B.20162C.22016D.42016

【答案解析】C.

【試題解答】???x-y=2,一+—=4,

/.2xy=(x2+=0,

.,.x=0,y=-2或x=2,y=0,

.-6+浮6=o+22S6=22。，

故答案選C.

2.(10分)輕便計(jì)算：

(1)99.8?；(2)492+512；

【答案解析】(1)9960.04；(2)5002.

【試題解答】(1)原式=(1()()-0.2)2=10000-4()+0.()4=9960.04；

(2)原式二(50-1)2+(50+]『=2x502+2x1=5002.

3.(10分)計(jì)算：

(1)(<4ah+3c)(12ahc-16a2h2-9c2)；

(2)(〃一〃)[(〃+/?『一aZ?]+2(〃+Z?)[(Q-b)2+〃/?].

【答案解析】(1)-64a3b3-21c3；(2)3a3+b3.

【試題解答】(1)原式=-(4〃0+3C)[(4〃/?)2-4ab-3c4-(3c)~J=-Ma,b3-27c3；

(2)原式=(〃-/?)(/+ab+62)+2(〃+Z?)(〃2-"+/)

=〃3-b3+2(Q3+//)=3Q3+匕3

4.(20分)已知a、b>c,為正實(shí)數(shù)，且a+Z?+c=l,求證：a2+b2+c2>-.

3

【答案解析】略.

[試題解答],/a+b+c=l,

，要證：a-+b+c2—，艮[J要證Q-+/r+c~之^------------,

33

即證：3(tz2+Z?2+c2)>(tz+Z?+c)2,

即證：+b1+c1-ab-be-ca>0,

即證：^[(a-^)2+(Z>-c)2+(c-a)2]>0,得證.

b2+lac=14

5.(25分)(1)已知三個(gè)正實(shí)數(shù)。、b、c滿足,/+2〃。=29,則a+》+c=

a2+2bc=2\

(2)已知。、b、c、d是正實(shí)數(shù)，且滿足〃+從=62+屋=5,ad=bc,則

ac+bd=?

【答案解析】(1)8；(2)5.

h2+lac=14…①

【試題解答】(1)???</+2〃〃=29…②，

?2+2Z?c=2b..(3)

①+②+③可得：

cr+b2+c2+2ab+2bc+2ca=+b+。)一=64,

.,.q+Z?+c=8；

(2),/a2+b2=c2+d2=5,ad=be,

+尸)/2+/)=(ac『+(ad/+僅。)2+(bd)?

=+2(ad)2+(bd)2=(〃c『+2abcd+(bd)?=(ac+bciy=5x5=25,

又,/ac+bd>0,;ac+bd=5.

6.（25分）察看下列各式，你發(fā)覺(jué)了什么規(guī)律?

-i61x2x3

1~=1=—=---------

66

12+22=5=22=2x3x5

66

3+323。牛手,

（1）填空：I2+22+32+42+■??+（?-1）2+M2=；

（2）試操縱立方差公式證明這個(gè)公式.

【名師點(diǎn)撥】本題考查尋找規(guī)律及立方差公式在裂項(xiàng)相消中的運(yùn)用.

【答案解析】（1）X廿叭2"型）；⑵略.

6

【試題解答】（1）察看可知，

,6lx（l+l）x（2xl+l）

12=1=——-------------------------

66

2x（2+l）x（2x2+l）

6

12223214^-X（3+1）X（3X2+1）

++==6=6

.??F+22+32+4+（〃-爐+〃2/（〃+?伽+1）；

（2）由立方差公式可知，

n3--1)，=3n2-3〃+1,

(n-l)3-(n-2)3=3(n-l)2-3(n-l)+I,

(n-2)3-(n-3)3=3(n-2)2-3(n-2)+l,

...J

23-f=3x22-3x2+l,

13-()3=3X12-3X]+I,

累加可得,=3(1'+2?+…)-3(1+2+…+〃)+〃，

.?.12+22+32+42+...+(”1)2+〃2=2〃3+3〃2+“=9+1)(2"1).

V'66

【課后作業(yè)】

1.(15分)計(jì)算：

(1)(x-2y)2(-x2-2xy-4>,2；(2)[in+-n)'+/WJ-mn"+/?6)；

(3)(x6-/丫(x6-xV+/)2(x6+x>3+y6y.

【名師點(diǎn)撥】考查立方和與立方差公式的計(jì)算.

336l886

【答案解析】(1)/-16X/+64/；(2)/+/；⑶x-2xy+/.

【試題解答】(1)原式=[—任一8y3)了=(爐一8丫3)2=*6-16力3+64丫6；

(2)原式=+〃乂M-mn+n2—m3n3+叫

=(加3+)(，〃6_帆>3+“6)=,7+“9；

(3)原式=[(1+力16-x3/+>,6)(x3-y3)(x6+%3/+/)]-

=.+力，_y9.=(—『="2/u+尸.

2.(10分)(1)已知a-b=-2,b-c=5,則a?+/+c?-ab-bc-ca=

(2)已知a*+a2+b2+]=4",則a+6=.

【答案解析】(1)19；(2)—2或2.

【試題解答】(1)a-b=-2,h-c=5,

ci—c=a-h-\~b—c=3,

/.a1+/72+c2-ab-bc-ca

(2)a2/72+O2+b2+1=4ab,

;.(ab)2-lab+1+<72-lab+/?2=0,

B|J(?Z?-1)~+(a-/?)~=0,

:.a=b=—\^a=b=\,.,.a+b=—2或2.

3.(20分)察看下列各式，尋找規(guī)律：

1x2x3x4+1=52,

2x3x4x5+1=112,

3x4x5x6+l=192,

..............J

(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算：2016x2017x2018x2019+1.（用完全平方數(shù)示意）

【答案解析】(1)n(n+l)(M+2)(/?+3)4-l=(M2+3/7+l)2；(2)40703052.

【試題解答】(1)察看可知，

等式左邊=〃(〃+1)(〃+2乂〃+3)+1

=〃(〃+3)G+l)(〃+2)+l=(”2+3”“"2+3〃+2)+1

=(〃2+3”)+2(〃2+3〃)+1=(〃2+3"+])[

+1)(”+2)(〃+3)+1=(〃2+3〃+1)；

(2)由(1)可得，

2016x2017x2018x2019+1

=(20162+3x2016+1)2=40703052.

4.(20分)參加一個(gè)正整數(shù)能示意為兩個(gè)接連的偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)

為“神秘?cái)?shù)”，如：4=2=。2,12=42-22,20=62-42,是以4、12、20都是這

種“神秘?cái)?shù)

(1)28和2021這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”么？試說(shuō)明來(lái)由；

(2)試說(shuō)明“神秘?cái)?shù)”能被4整除；

(3)兩個(gè)接連奇數(shù)的平方差是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說(shuō)明來(lái)由.

【答案解析】(1)28是“神秘?cái)?shù)”，2021不是“神秘?cái)?shù)”；⑵略；(3)不是.

【試題解答】(1)28=82-62,是“神秘?cái)?shù)”，

2021無(wú)法示意成兩個(gè)接連偶數(shù)的平方差，不是“神秘?cái)?shù)”；

(2)設(shè)神秘?cái)?shù)為M,可以示意為兩個(gè)接連偶數(shù)2(〃+1)、2〃的平方差(”為整

則〃=4(〃+1)2—4/=8〃+4=4(2/2+1),

「神秘?cái)?shù)”能被4整除;

(3)設(shè)兩個(gè)接連奇數(shù)為2〃+1、2〃-1,

則(21+1)--(2/z-l)~=8/7=4x2n,

??.兩個(gè)接連奇數(shù)的平方差不是“神秘?cái)?shù)”.

5.(15分)若a+b+c=/+/+。2=2,求證：a(\-a^=c(l-c)2.

【答案解析】略.

【試題解答】d3(67+Z?+c)~=a2+b~+c2+2ab4-2bc+2ac,可得ab+be+ca=l,

(x——(x—c)=Ji?一(〃+人++(ab+be+ca)x-abc

=x3-2x2+x-abc,

是以x(l-x)-=(x-a)(x-〃)(x-c)+〃/?c,

故=/?(l-Z?)2=c(l-c)2=abc.

6.(20分)若〃、b、c、d滿足a+/?=c+d,a3+b3=c3+d3,求證：對(duì)于隨意率性

正奇數(shù)n,都有a1+bn=cn+d".

【答案解析】略.

【試題解答】因?yàn)閍+b=c+d,所以(。+切3=化+")3,

B|Ja3+Z?3+3ab(a+/?)=/+/+3cd(0+〃),

又因?yàn)閍3+Z>3=c3+J3,所以H>(a+b)=cd(c+d),

i.當(dāng)a+b*O時(shí)，ab=cd,所以(a-bf=(a+6)2-4a6=(c+d)2-4cd=(c-d)2,

所以a—6=c—"或a—/?=d—c,

所以a=c,b=d或a=d,b=c,

此時(shí)a"+〃"=c"+"",

ii.當(dāng)a+b=O時(shí)，c+d=O,因?yàn)椤檎鏀?shù)，所以屋+b"=c"+d"=O,

綜上所述，對(duì)于隨意率性正奇數(shù)%都有a"+〃'=c"+d".

第二講因式分化

【常識(shí)概述】

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范疇化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的積的形式，這種變形叫做因式分化，也

叫作分化因式，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.

因式分化方式機(jī)動(dòng)，本領(lǐng)性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方式與本領(lǐng)，對(duì)于培育學(xué)生的察看、摸索、解運(yùn)算

和綜合解析解決問(wèn)題的功底都有著十分特殊的作用.既可以溫習(xí)整式的乘法運(yùn)算，又可為接

下來(lái)學(xué)習(xí)分式、根式打好根本.

多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在理論上和方式上對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的

影響.與多項(xiàng)式有關(guān)的問(wèn)題除了出此刻函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中，還涉及到幾何、

數(shù)論等常識(shí)，是一個(gè)綜合性的工具，也是自招與競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題.

本講將重點(diǎn)介紹因式定理和有理根定理、待定系數(shù)法與主元法等新的因式分化的工具,

闡述常見(jiàn)的差別類(lèi)型的多項(xiàng)式若何因式分化.

【常識(shí)結(jié)構(gòu)】

模塊一因式定理與有理根定理

【常識(shí)精要】

形如/(x)=%x"+4X*'+…+c*x+a"(”為非負(fù)整數(shù)，%#0)的代數(shù)式叫做關(guān)于x的

一元"次多項(xiàng)式.…M,,稱(chēng)為多項(xiàng)式的系數(shù)，"稱(chēng)為此多項(xiàng)式的次數(shù).

對(duì)于隨意率性?xún)蓚€(gè)多項(xiàng)式“X),g(x)(g(x)xO),總存在兩個(gè)多項(xiàng)式4(x)和廠(x),

使得〃x)=g(x)p(x)+r(x),其中叫做被除式，g(x)叫做除式，q(x)叫做商式,

r(x)叫做余式，余式廠(x)的次數(shù)小于除式g(x)的次數(shù).當(dāng)r(x)=O時(shí),有/(x)=g(x)-q(x),

此時(shí)稱(chēng)作〃x)被g(x)整除，或f(x)被g(x)整除，g(x)和g(x)叫做〃x)的因式.

參加g(x)是一次式x-a,則r(x)的次數(shù)小于1,是以，r(x)只能是常數(shù)(0或非零常

數(shù))，這時(shí)，余式也叫余數(shù)，記為r,即有/(x)=(x-a)y(x)+r；

令x=a得，/(〃)="；是以，有以下重要定理：

余數(shù)定理：多項(xiàng)式“X)除以(x-a)所得的余數(shù)等于/(a).

由上述可知，參加“X)能被x-a整除，那么必有r=0,反之，參加r=0,那么”x)

能被整除，是以，得到以下重要定理：

因式定理：參加多項(xiàng)式/(x)能被x-a整除，亦即有一個(gè)因式x-a,那么/(a)=0,

反之，參加/(〃)=0,那么x-a必為多項(xiàng)式“X)的一個(gè)因式.

有理根定理：若〃x)=aK+a,i/+…+平+%是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,而C是“X)的

S

一個(gè)有理根，其中八s互質(zhì)，那么必有s|a.，r|g；特殊地，參加〃x)的首項(xiàng)系數(shù)為=1,

那么“X)的有理根都是整根，并且是即的因子.

有理根定理的一個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用即是操縱這本性質(zhì)進(jìn)行試根，聯(lián)合因式定理對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分

化，具體步驟如下：

1)對(duì)于一個(gè)整系數(shù)一元高次多項(xiàng)式〃x)=a"x"+a”T/+…+平+%,找到&的所有

an

因數(shù)；

2)將所有因數(shù)依次代入多項(xiàng)式，若存在一個(gè)因數(shù)a,使得/(?)=0,則。為多項(xiàng)式

/(%)的一個(gè)根；

3)由因式定理可知，“力必有一個(gè)因式為x-a,是以可寫(xiě)為〃x)=(x-a)g(x)；

對(duì)于多項(xiàng)式g(x)可以繼續(xù)操縱試根法進(jìn)行因式分化，也可操縱其它方式進(jìn)行因式分化,

終極將〃x)因式分化.

備注：多項(xiàng)式的根即為其所對(duì)應(yīng)的方程的根，故對(duì)于求解一個(gè)一元整式方程，參加可

以將其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式因式分化，即可求出該方程的根.

【典型例題】

1.已知多項(xiàng)式2x3-d+〃?有一個(gè)因式是2x+l,求機(jī)的值.

【答案解析】m=-.

2

【試題解答】因?yàn)槎囗?xiàng)式2/—x?+機(jī)有一個(gè)因式是2x+l,故該多項(xiàng)式有一個(gè)根-1,

2

即-(-；)+m=Q,解得，〃?=；.

2.分化因式：/一8丁+19犬-20.

【答案解析】(8一乂%2—3x+4).

【試題解答】由有理根定理，有理根大概為±1,+2,±4,±5,±10,±20,且

明顯隨意率性x<0使得多項(xiàng)式為負(fù)，故不大概為有理根，

'.'/(5)=0,故有一個(gè)有理根x=5,

Xs—8x2+19x—20=(丁—5爐)—(3x——15x)+(4x—20)=(x—5)(x?—3x+4),

?JX2-3X+4在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)無(wú)法因式分化，r.x3—8￡+19X—20=(X-5)(X2-3X+4).

3.分化因式：d+gd+Ux+lO.

【答案解析】(x+l)(x+2)(x+5).

【試題解答】根據(jù)有理根定理，可知多項(xiàng)式丁+8/+17》+10的有理根只大概是±1,

±2,±5,±10,因?yàn)楫?dāng)x=T,-2,一5時(shí)，x3+8x2+17x4-10=0,

所以所+8/+17x+10必含有因式(x+l)(x+2)(x+5),

對(duì)照最高次系數(shù)，得X3+8X2+17X+10=(X+1)(X+2)(^+5).

4.求整系數(shù)多項(xiàng)式/3=爐-爐+51-15/+2》+8的所有有理根.

【答案解析】1和-2.

【試題解答】4=1，故“X)的有理根都是整數(shù)，且都是&的因子，

故“X)大概的有理根是±1,±2,±4,±8,

代入，檢驗(yàn)得只有/.(1)=0、_/(-2)=0,故/.(X)的有理根只有1和—2.

模塊二待定系數(shù)法

【常識(shí)精要】

待定系數(shù)法：

將一個(gè)多項(xiàng)式示意成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，根據(jù)得到的恒等式的性質(zhì)得

出對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出

某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方式叫做待定系數(shù)法.

有些復(fù)雜的多項(xiàng)式因式分化可以借助于待定系數(shù)法.

用待定系數(shù)法因式分化，步驟如下：

(1)設(shè)原多項(xiàng)式分化為含待定系數(shù)的因式的積；

(2)依據(jù)等式恒等，對(duì)照等式兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得到方程或方程組；

(3)解方程或方程組求出待定系數(shù)的值；

(4)將多項(xiàng)式因式分化.

其中假定未知系數(shù)時(shí)，可通過(guò)察看原多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，判斷確定因式中的一些項(xiàng)，削減待

定系數(shù)的個(gè)數(shù)，從而降低解決問(wèn)題的難度.

待定系數(shù)法作為最常用的解題方式，可以運(yùn)用于因式分化、確定方程系數(shù)、解決應(yīng)用問(wèn)

題等各種場(chǎng)所.其指導(dǎo)作用貫穿于初等數(shù)學(xué)、中等數(shù)學(xué)甚至高等數(shù)學(xué)，賣(mài)力學(xué)好并掌握待定系

數(shù)法對(duì)于解決無(wú)數(shù)問(wèn)題都大有裨益.

【典型例題】

5.分化因式：x4-X3+6x2-X+15.

【答案解析】任+8+3)任一2^+5).

【試題解答】假定原多項(xiàng)式可分化為兩個(gè)二次式的積,

設(shè)X，-x3+6x2-x+15=(x2+ax+b^(^+cx+d^,

則原式+(6Z+c)x3+{b+d+tzc)x2+(〃d+bc)x+hd,

對(duì)照兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)可得：

a+c=-la=1

b+d+ac=6b=3

解得■

ad+be=-\c=-2

hd=i5“二5

X，-V+6x?-x+15=(X?+%+3)(d—2x+5).

6.分化因式：

(1)x4-%3+4%24-3x4-5；(2)x4——Sx2-6x—4；

【答案解析】(1)(x2+x+l)(f-2x+5)；(2)(%2+工+1)(工2一2%一4).

【試題解答】(1