兩個重要極限課件

第四節(jié)兩個重要極限第四節(jié)兩個重要極限1兩個重要的極限§1-4兩個重要的極限§1-42預備知識1.有關三角函數的知識2.有關對數函數的知識以e為底的指數函數y=ex的反函數y=logex，叫做自然對數，在工程技術中經常被運用，常簡記為y=lnx.數e

是一個無理數，它的前八位數是：e=2.7182818

預備知識1.有關三角函數的知識2.有關對數函數的知識33.有關指數運算的知識3.有關指數運算的知識44.極限的運算法則4.極限的運算法則51.夾逼準則準則Ⅰ滿足下列條件:如果數列那么數列的極限存在,且}{}{},{nnnzyx及一、極限運算準則1.夾逼準則準則Ⅰ滿足下列條件:如果數列那么數列的極限存在6x

10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998x－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一個重要極限x10.7OxBACD證OxBACD證8解這個結果可以作為公式使用例1求解這個結果可以作為公式使用例1求9例2注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：例2注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：10練習1.求下列極限:練習1.求下列極限:11兩個重要極限ppt課件12

例3解例4解例3解例4解13思考題思考題14練習3：下列等式正確的是（）

．

練習4：下列等式不正確的是（）練習3：下列等式正確的是（）．練習4：下列等式15練習5.下列極限計算正確的是（）練習6.已知當（）時，為無窮小量.

練習5.下列極限計算正確的是（）練習6.已知16，當

時，為無窮小量．

練習7.已知練習8.練習9.，當時，為無窮172.單調有界準則幾何解釋:單調有界數列必有極限.單調有界有極限有界2.單調有界準則幾何解釋:單調有界數列必有極限.單調有18

x

-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

x

10100100010000100000…

2.5942.7052.7172.7182.71827第二個重要極限x-10-100-1019兩個重要極限ppt課件20兩個重要極限ppt課件21解因為所以，有例1解因為所以，有例122例2

解

方法一令u=-x，因為x0時u0，所以例2解方法一令u=-x，因為x023方法二掌握熟練后可不設新變量方法二掌握熟練后可不設新變量24例3解

例3解25練習1.解練習1.解26練習2.解練習2.解27兩個重要極限:小結兩個重要極限:小結28練習題練習題29兩個重要極限ppt課件30思考題解因為所以令u=x

-3

，當x

時u

，因此思考題解因為所以令u=x-3，當x31第一章作業(yè)2作業(yè)第一章作業(yè)2作業(yè)32附錄兩個重要極限的證明附錄兩個重要極限的證明33OxRABC證

AOB面積<扇形AOB面積<AOC面積,即例兩個重要極限的證明OxRABC證AOB面積<扇形AOB面積<34因為所以再次運用定理6即可得≤≤因為35重要極限1

其中的兩個等號只在x=0時成立.證設圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作則sinx=BD，tanx=AC，重要極限1其中的兩個等號只在x=0時成立.證設圓心角36兩個重要極限ppt課件37這就證明了不等式(7).從而有這就證明了不等式(7).從而有38兩個重要極限ppt課件39重要極限2證重要極限2證40兩個重要極限ppt課件41這是重要極限2常用的另一種形式.這是重要極限2常用的另一種形式.42分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數中分子、分母的極限均存在且分式函數中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運算法則求解。極限綜合練習題(一)

分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數中分子、分母43兩個重要極限ppt課件44例3求下列極限：例3求下列極限：45解：當x從0的左側趨于0時，當x從0的右側趨于0時,解：當x從0的左側趨于0時，當x從0的右側趨于0時,46例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的極限均為零，不能直接用極限商的運算法則。求解此類極限的關鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：①若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的47解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。48求解。又當x→0時，ax→0，bx→0，于是有求解。又當x→0時，ax→0，bx→0，于是有49分析：當x→0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函數，分母是正弦函數，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1個重要極限。分析：當x→0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函50兩個重要極限ppt課件51解法2：解法2：52分析：當x→0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數進行適當的變形。分析：當x→0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用53解：因當x→∞時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運算法則求解，考慮到解：因當x→∞時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運算法54兩個重要極限ppt課件55解1.求極限:極限綜合練習題(二)

解1.求極限:極限綜合練習題(二)

56解:利用第一重要極限和函數的連續(xù)性計算，即2.求下列極限：解:利用第一重要極限和函數的連續(xù)性計算，即2.求下列57解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即3.求下列極限：解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第58分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結論得出結果，也可用分子、分母同除以x15來計算。解：分子分母同除以x15，有分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上59=22+1=5解5.求=22+1=5解5.求60解6.求極限解6.求極限61解：容易算出分式分子的最高次項是，分式分母的最高次項是，所以7.求極限解：容易算出分式分子的最高次項是628.求極限8.求極限639.設函數問：（1）當a為何值時，f(x)在x=0右連續(xù)；（2）a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在；（3）當a,b為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)。處右連續(xù)。在時，。故當，從而，，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(====?==