雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程生活中的雙曲線法拉利主題公園巴西利亞大教堂麥克唐奈天文館探究點(diǎn)1雙曲線的定義問題1：橢圓的定義？

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.問題2：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”是什么？①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（非零常數(shù)）.

上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支.看圖分析動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.圖圖①兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——雙曲線的焦距.oF2F1M

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.雙曲線定義||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<2c)注意1.定義中為什么要強(qiáng)調(diào)差的絕對值？【舉一反三】若不加絕對值，則曲線為雙曲線的一支.2.定義中的常數(shù)2a可否為0，2a=2c,2a>2c？不能.若為0，曲線就是F1F2的垂直平分線了；若為2a=2c,曲線應(yīng)為以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；若為2a>2c,這樣的曲線不存在.明確了雙曲線的定義，你能根據(jù)定義求出其方程嗎？探究點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建系.

如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.F2F1MxOy

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),則F1(-c,0),F2(c,0)，又設(shè)點(diǎn)M與F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.2.設(shè)點(diǎn).3.列式由定義可知，雙曲線就是集合：P={M

|||MF1|-|MF2||

=2a},

4.化簡代數(shù)式化簡得：由雙曲線的定義知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：

上面方程是雙曲線的方程,我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.想一想：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是什么？我們應(yīng)該如何求解？【歸納總結(jié)】1.對雙曲線定義的三點(diǎn)說明(1)a，c關(guān)系：0<2a<2c，可用雙曲線焦點(diǎn)三角形PF1F2的兩邊之差小于第三邊來記憶，若點(diǎn)P剛好是雙曲線與F1，F(xiàn)2所在直線的交點(diǎn)，此時(shí)構(gòu)不成三角形，仍然很容易得到2a<2c.(2)關(guān)鍵詞：“平面內(nèi)”“距離差的絕對值”“常數(shù)2a(a>0)小于|F1F2|”.(3)左右支：當(dāng)M滿足|MF1|-|MF2|=2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是離點(diǎn)F2較近的雙曲線一支；當(dāng)M滿足|MF2|-|MF1|=2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是離點(diǎn)F1較近的雙曲線一支.2.對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四點(diǎn)說明(1)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中的x2項(xiàng)的系數(shù)為正；雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中的y2項(xiàng)的系數(shù)為正.(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要確定焦點(diǎn)的位置，選擇好標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)條件求出a2和b2的值即可，也就是先定位再定型.(3)注意標(biāo)準(zhǔn)方程中字母參數(shù)a，b與半焦距c的條件及關(guān)系：c2=a2+b2，c>a>0，c>b>0，a與b的大小不定.(4)當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.

定義

方程

焦點(diǎn)a,b,c的關(guān)系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|

橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）【總結(jié)提升】例1題型一利用雙曲線的定義求軌跡問題動(dòng)圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．【名師點(diǎn)評】利用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先找出兩個(gè)定點(diǎn)(即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn))；然后再根據(jù)條件尋找動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差(或差的絕對值)是否為常數(shù)，這樣確定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，進(jìn)而求雙曲線的方程．課本例2

使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點(diǎn)的距離比B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680m.因?yàn)閨AB|>680m,所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B處的一支上.例3.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程可以表示哪些曲線？_____________.思考：例2【名師點(diǎn)評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，一是注意條件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時(shí)要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練方法感悟1．對雙曲線定義的理解雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了絕對值符號，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)表示兩條射線．解題時(shí)，也要注意“絕對值”這一個(gè)條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．2．雙曲線方程的求法求雙曲線的標(biāo)