湖南省益陽市高平中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省益陽市高平中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，則B的子集的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．8 C．16 D．15參考答案：A【考點(diǎn)】集合中元素個(gè)數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意求出集合B，然后求出集合B的子集個(gè)數(shù)即可．【解答】解：因?yàn)榧螦={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A，a≠b}={0，6}，它的子集有：?；（0）；{6}；{0，6}．共有4個(gè)．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的子集的求出，集合的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力．2.已知是空間四點(diǎn)，命題甲：四點(diǎn)不共面，命題乙：直線和不相交，則甲是乙成立的

[答](

)（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A若四點(diǎn)不共面，則直線和不共面，所以和不相交。若直線和不相交，和平行時(shí)，四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件，選A.3.如圖，△與△都是邊長為2的正三角形，平面⊥平面，⊥平面，，則點(diǎn)到平面的距離為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設(shè)集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，則M∩N=（）A．（﹣5，1] B．[1，3） C．[﹣7，3） D．（﹣5，3）參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】分別求出M與N中不等式的解集，確定出M與N，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式變形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式變形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），則M∩N=[1，3），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5.在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為（

） A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：A略6.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入x＝－12，那么其輸出的結(jié)果是（

）A．9

B．3

C．

D．參考答案：C略7.集合M=N=M,N均為的子集，MN的“長度”（的長度為）的最小值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C8.設(shè)，則有

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.復(fù)數(shù)z滿足（3﹣2i）?z=4+3i，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（3﹣2i）?z=4+3i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，求出z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由（3﹣2i）?z=4+3i，得，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），位于第一象限．故選：A．10.已知{an}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（

）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為____

__；參考答案：12.若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則z=3x﹣4y的最大值是．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，求出最大值．【解答】解：不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x﹣4y得y=，平移直線y=，則由圖象可知當(dāng)直線y=，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大．由，解得，即A（1，1），此時(shí)最大值z(mì)=3×1﹣4×1=﹣1，故答案為：﹣113.（6分）（2015?麗水一模）設(shè)圓C的圓心是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，且與直線3x+4y+6=0相切．則拋物線的準(zhǔn)線方程是；圓C的方程是．參考答案：y=﹣1；x2+（y﹣1）2=4?！究键c(diǎn)】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：拋物線y=x2，即x2=4y，可得準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)，求出圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離，即可得出結(jié)論．解：拋物線y=x2，即x2=4y，準(zhǔn)線方程是y=﹣1，焦點(diǎn)為（0，1）；圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離為d==2，∴圓C的方程是x2+（y﹣1）2=4；故答案為：x2+（y﹣1）2=4【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．14.已知，則的值等于_____。

參考答案：15.已知，正實(shí)數(shù)滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則=_______。參考答案：16.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略17.(幾何證明)如圖,是圓的切線,切點(diǎn)為,

點(diǎn)、在圓上，，

則圓的面積為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

(I)當(dāng)a=-1時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值；

(Ⅱ)若方程沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題

B9

B11(I)(II)﹣e2＜a＜0解析：（1）由題意得，﹣x+1≥kex恒成立，即k≤恒成立；令F（x）=，則F′（x）=；故F（x）=在（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，故F（x）≥F（2）=﹣e﹣2；故實(shí)數(shù)k的最大值為﹣e﹣2；（2）方程f（x）+g（x）=0沒有實(shí)數(shù)根可化為g（x）=ex的圖象與y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的圖象沒有交點(diǎn)；作g（x）=ex與y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的圖象如右圖，設(shè)g（x）=ex與y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）相切于點(diǎn)（x，ex）；則ex=，解得x=2；則結(jié)合圖象可知，故0＜﹣a＜e2；故﹣e2＜a＜0．【思路點(diǎn)撥】（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化為k≤恒成立；令F（x）=，求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值，從而求實(shí)數(shù)k的最大值；（2）方程f（x）+g（x）=0沒有實(shí)數(shù)根可化為g（x）=ex的圖象與y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的圖象沒有交點(diǎn)；結(jié)合圖象求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a的值；（Ⅱ）若在處取得極大值，求a的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．（只需寫出結(jié)論）參考答案：（Ⅰ）－2；（Ⅱ）(－∞,－1)；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由點(diǎn)處的切線與軸平行可得，即可求出實(shí)數(shù)；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令導(dǎo)數(shù)等于零，解得，，分類討論與的大小，即可求出實(shí)數(shù)的范圍，使得在處取得極大值；（Ⅲ）對(duì)求導(dǎo)，分別討論大于零和小于零時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，討論函數(shù)極值的正負(fù)，即可求出使函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與x軸平行，所以，解得．此時(shí)，所以的值為．（Ⅱ）因?yàn)?，①若，則當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以．所以在處取得極大值．②若，則當(dāng)時(shí)，，所以．所以不是的極大值點(diǎn)．綜上可知，的取值范圍為．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不可能3個(gè)零點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，解得：或，則在區(qū)間和上單調(diào)遞減；由于當(dāng)時(shí)，恒成立，，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)最多只有兩個(gè)零點(diǎn)，即不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，得：或，則在區(qū)間和上單調(diào)遞增；令，解得：，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；要使函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得：綜上所述的取值范圍為．20.（本小題滿分12分）已知關(guān)于x的一元二次方程

（1）若a,b是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)，求方程有兩正根的概率；

（2）若，求方程沒有實(shí)根的概率。參考答案：略21.（13分）甲、乙兩超市同時(shí)開業(yè)，第一年的年銷售額都為a萬元，甲超市前n（n∈N+）年的總銷售額為（n2﹣n+2）萬元；從第二年開始，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多（）n﹣1a萬元．（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn萬元，求an，bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購．若今年為第一年，問：在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購？若能，請(qǐng)推算出在哪一年底被收購；若不能，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），從而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購．由此能求出2020年年底乙超市將被甲超市收購．解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因?yàn)閚=1時(shí)，a1=a，則n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，顯然n=1也適合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購．當(dāng)n≥4時(shí)，令an＞bn，則（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1]an﹣1＞6﹣4?（）n﹣1．即n＞7﹣4?（）n﹣1．又當(dāng)n≥7時(shí)，0＜4?（）n﹣1＜1，故當(dāng)n∈N*且n≥7時(shí)，必有n＞7﹣4?（）n﹣1．即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市將被甲超市收購．點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．22.（滿分12分）設(shè)