湖南省長沙市第二十中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

湖南省長沙市第二十中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集,，則

參考答案：B2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中，若=9，則=(

)(A)12

(B)2＋

(C)8

(D)10

參考答案：D3.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則（

）A.；

B.8；

C.或8；

D.6

參考答案：B略4.函數(shù)的部分圖像如圖1所示，則=（

）

A．4

B．6

C．1

D．2參考答案：B略5.如果等差數(shù)列中，，那么等于（A）21 （B）30 （C）35 （D）40參考答案：C在等差數(shù)列中，由得。所以，選C.（4）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（A）向左平移2個單位 （B）向右平移2個單位（C）向左平移個單位 （D）向右平移個單位【答案】D【解析】因為，所以只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位，即可得到的圖象，選D.6.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為，則判斷框中應填入的條件為（

）A．B．C．D．參考答案：B7.設全集,集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C.向左平移個單位

D．向右平移個單位參考答案：C由題意知：把函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得：.故選：C

9.函數(shù)的圖象大致為參考答案：D【知識點】函數(shù)的圖像；函數(shù)的奇偶性B4B8

解析：由知：，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A;當，總會存在x,使cos6x<0,故排除B,C,故選D.【思路點撥】先判斷出原函數(shù)為奇函數(shù)，再利用排除法即可。10.已知向量a，若向量與垂直，則的值為 （

） A．

B．7

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個命題：①②，使得成立；③為長方形，，，為的中點，在長方形內(nèi)隨機取一

點，取得的點到距離大小1的概率為；④在中，若，則是銳角三角形，其中正確命題的序號是 參考答案：①②④.略12.若在△ABC中，則=_______。參考答案：13.對于，有如下四個命題:

1

若，則為等腰三角形，②若，則是不一定直角三角形③若，則是鈍角三角形[來]④若，則是等邊三角形。其中正確的命題是

.參考答案：②④對于①，若，或，∴或，則為等腰或直角三角形；對于②，若，則∴，即，則不一定為直角三角形；對于③若，則，∴為銳角，但不能判斷或為鈍角；對于④若，則，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．14.過雙曲線x2﹣y2=1焦點的直線垂直于x軸，交雙曲線于A、B兩點，則|AB|=

．參考答案：2【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其焦點坐標，進而可得直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程可得AB的縱坐標，由此計算可得線段AB的長度，即可得答案．【解答】解：雙曲線的方程為x2﹣y2=1，其焦點坐標為（±，0），直線AB的方程為x=或x=﹣，聯(lián)立，解可得y=±1，則|AB|=2；故答案為：2．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是求出點A、B的坐標．15.在△中，、、分別為、、的對邊，三邊、、成等差數(shù)列，且，則的值為

．參考答案：16.已知變量x，y滿足約束條件，則x2+y2+2（x﹣y）的最小值為．參考答案：【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2利用z的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論．【解答】解：作出變量x，y滿足約束條件，對應的平面區(qū)域如圖z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，則z的幾何意義是，區(qū)域內(nèi)的點到點D（﹣1，1）的距離的平方減2，解得A（，）由圖象可知點D到A的距離d即為z=d2﹣2最小值，則z==，故x2+y2+2（x﹣y）的最小值為，故答案為：．17.已知和均為給定的大于1的自然數(shù)，設集合，集合，（1）當時，用列舉法表示集合A；（2）設其中證明：若則.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．（1）求橢圓的標準方程；（2）求點C的坐標；（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．參考答案：解：（1）由已知，得

解得

…2分

所以橢圓的標準方程為．

…3分（2）設點，則中點為．由已知，求得直線的方程為，從而．①又∵點在橢圓上，∴．②由①②，解得（舍），，從而．

…5分所以點的坐標為．

…6分（3）設，，．∵三點共線，∴，整理，得．…8分∵三點共線，∴，整理，得．…10分∵點在橢圓上，∴，．從而．

…14分所以．

…15分∴為定值，定值為．

…16分略19.成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．參考答案：20.(本題滿分15分)已知實數(shù)a滿足1＜a≤2，設函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax．(Ⅰ)當a＝2時，求f(x)的極小值；(Ⅱ)若函數(shù)g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)的極小值點與f(x)的極小值點相同，求證：g(x)的極大值小于等于10．參考答案：(Ⅰ)解：當a＝2時，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

列表如下：x(－，1)1(1，2)2(2，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以，f(x)的極小值為f(2)＝．…………………6分略21.等差數(shù)列{an}的首項a1=1，公差d≠0，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b2=a2，b3=a5，b4=a14．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列{cn}對任意n∈N*均有++…+=an成立，求c1+c2+…+cn（n≥2）參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設等比數(shù)列{bn}的公比為q，由于b2=a2，b3=a5，b4=a14．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得：qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，聯(lián)立解得即可．（II）由于數(shù)列{cn}對任意n∈N*均有++…+=an成立，可得當n=1時，c1=a1b1．當n≥2時，可得=an﹣an﹣1=2，可得cn=2×3n﹣1．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：（I）設等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵b2=a2，b3=a5，b4=a14．∴qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，聯(lián)立解得b1=1，q=3，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3n﹣1．（II）∵數(shù)列{cn}對任意n∈N*均有++…+=an成立，∴當n=1時，c1=a1b1=1．當n≥2時，++…+=an﹣1，可得=an﹣an﹣1=2，∴cn=2×3n﹣1．∴n≥2時，c1+c2+…+cn=1+2（3+