摘要從有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容計(jì)算出發(fā)用解析課件

摘要從有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容計(jì)算出發(fā)用解析課件1摘要：從有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容計(jì)算出發(fā)，用解析函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算幾種非平行板電容器電容及電場(chǎng)分布，并用保形變換進(jìn)行空間的伸張和扭曲，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。關(guān)鍵詞：非平行板電容器、電容器、電容、電場(chǎng)強(qiáng)度、空間變換、保形變換。摘要：從有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容計(jì)算出發(fā)，用解析函數(shù)的2參考文獻(xiàn)[1]給出了有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容的計(jì)算方法，本文用解析函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出一般的非平行板電容器電容及電場(chǎng)分布，并用保形變換進(jìn)行空間的伸張和扭曲，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。注：參考文獻(xiàn)[1]----《物理學(xué)難題集》（增訂本）舒幼生胡望雨陳秉乾高等教育出版社參考文獻(xiàn)[1]給出了有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容的計(jì)算方法3

如圖：設(shè)兩塊導(dǎo)體平板長(zhǎng)為L(zhǎng)2，寬為L(zhǎng)，兩板的延長(zhǎng)線交于O點(diǎn)，板的另一端與O相距L1，兩平板延長(zhǎng)線夾角為α，兩板電勢(shì)分別為U1、U2（U1＞U2）。由于對(duì)稱性建立如圖所示的二維極坐標(biāo)系。

4為求解兩極板間的電場(chǎng)分布，我們可以設(shè)兩板的寬度L很大，而且可以忽略邊緣效應(yīng)，由電荷分布對(duì)稱性原理可以知道,在兩板的角平分面（平面A），每一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都應(yīng)該與之垂直，且該面為一個(gè)等勢(shì)面。摘要從有小角度偏轉(zhuǎn)的平行板電容器電容計(jì)算出發(fā)用解析課件5根據(jù)對(duì)稱性原理，兩板之間（n=1，2，……）角平分面上的電場(chǎng)強(qiáng)度方向均垂直于該面，且該面也為等勢(shì)面。我們注意到兩板之間（n=1，2，……）平分面均過(guò)原點(diǎn)，由空間的無(wú)限可分性原理，對(duì)于任意的θ=θ0平面，總有一系列的使得：根據(jù)對(duì)稱性原理，兩板之間（n=1，2，……）角平分面上的電場(chǎng)6所以我們可以認(rèn)為，兩極板所夾任意的過(guò)原點(diǎn)的平面均為等勢(shì)面。即電場(chǎng)強(qiáng)度的大小僅與離原點(diǎn)的距離r有關(guān)，其方向垂直于r，且θ=θ0平面的電勢(shì)相等。進(jìn)一步，我們有：

（1）

（2）所以我們可以認(rèn)為，兩極板所夾任意的過(guò)原點(diǎn)的平面均為等勢(shì)面。7

由于電勢(shì)的連續(xù)性，對(duì)在全平面解析，有：

（3）由（2）式知：

故：

（4）

解得：（5）由于電勢(shì)的連續(xù)性，對(duì)在全平面解析，有：8

最后解得：（6）代入初始條件：

最終解得：（7）最后解得：9由電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系，我們又得到：

（8）我們作一高斯面，它的小底面△S取在r處的導(dǎo)體板內(nèi)，側(cè)面為電場(chǎng)線圍成的彎曲柱面，另一小底面△S也與彎曲柱面垂直。顯然，由高斯定理可得：（9）由電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系，我們又得到：10所以，板導(dǎo)體帶電：

（10）最終求出：

（11）所以，板導(dǎo)體帶電：11若按參考文獻(xiàn)[1]假設(shè)的兩板長(zhǎng)與寬分別為a，b，一對(duì)邊距離為d，另一邊為距離為（d+h），則α=h/a,由于α很小,故d>>h，所以由三角形相似性：（12）若按參考文獻(xiàn)[1]假設(shè)的12解得：（13）按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),取前兩項(xiàng),然后將（12）式代入式（10）就得到:（14）（13）式的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]結(jié)果相同,可以看出此種解法的正確性。

解得：13由解出（7）式發(fā)現(xiàn)電勢(shì)僅與角度θ有關(guān)，與到原點(diǎn)的距離r無(wú)關(guān)；由解出（8）式發(fā)現(xiàn)的電場(chǎng)強(qiáng)度只與r成反比，方向垂直于r。對(duì)比平行板電容器，不難發(fā)現(xiàn)，如果將平行板電容器兩極板空間C1的一端壓縮，以壓縮后的兩板延長(zhǎng)線（由于對(duì)稱性，我們只考慮二維平面）交點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖一所示的二維極坐標(biāo)系，則壓縮后的空間C2即為非平行板電容器兩極板的空間。由解出（7）式發(fā)現(xiàn)電勢(shì)僅與角度θ有關(guān)，與到原點(diǎn)的距離r無(wú)關(guān)；14由于對(duì)稱性，我們只考慮二維平面。將三維空間C1簡(jiǎn)化為二維為平面ω，將三維空間C2簡(jiǎn)化為二維為平面z。設(shè)：z平面的復(fù)數(shù)（15）ω平面的復(fù)數(shù)（16）令：（17）取對(duì)數(shù)函數(shù)作映射函數(shù)：即：（18）由于對(duì)稱性，我們只考慮二維平面。15將（15）式代入即得：（19）比較（17）式即得：

（20）將（15）式代入即得：16從圖四可看出,此變換將z平面上原來(lái)的非平行板電容器映射為了在ω平面上與u軸平行的平行板電容器,由此可求得此平行板電容器板間距離和長(zhǎng)度：（23）

（24）由于兩空間的第三維未變換，即原非平行板電容器的寬度L在變換后沒(méi)有改變。所以，ω平面上的平行板電容器的電容為：（25）從圖四可看出,此變換將z平面上原來(lái)的非平行板電容器映射為了在17比較（24）式與（11）式，由于變換前后,兩極板間的電壓和極板上所帶電量不變,只是兩極板間的空間被扭曲了，所以在變換后平行板電容器的電容值即為變換前的非平行板電容器的電容值。對(duì)于非平行板電容器所夾空間，這種空間映射的原理確實(shí)正確，但對(duì)其它類型的電容器呢？為此，我們嘗試用這方法求解同軸柱面電容器的電容值。由于對(duì)稱性，我們同樣只考慮二維平面，建立如圖五所示的二維極坐標(biāo)系，同上面一樣。比較（24）式與（11）式，由于變換前后,兩極板間的電壓和極18通過(guò)取對(duì)數(shù)變換，加上邊界之條件，我們同樣可以得到：通過(guò)取對(duì)數(shù)變換，加上邊界之條件，我們同樣可以得到：19從圖六可看出,此變換將z平面上原來(lái)的圓弧形電容器映射為了在ω平面上與v軸平行的平行板電容器,由此可求得此平行板電容器板間距離和長(zhǎng)度：（28）

（29）由于兩空間的第三維未變換，即原圓弧形電容器的寬度L在變換后沒(méi)有改變。所以，ω平面上的平行板電容器的電容為：

（30）從圖六可看出,此變換將z平面上原來(lái)的圓弧形電容器映射為了在ω20由（30）式求出的電容值完全符合參考文獻(xiàn)[2]求出的同軸柱面電容器的電容值，證明這種方法在求解有兩維變換，一維不變換的電場(chǎng)空間中完全成立。那么是否對(duì)三維均變換的空間適用呢?注：參考文獻(xiàn)[2]《電磁學(xué)》胡友秋程福臻劉之景高等教育出版社由（30）式求出的電容值完全符合參考文獻(xiàn)[2]求出的同軸柱面21如圖：將球形電容器變?yōu)榱似叫邪咫娙萜?。如圖：將球形電容器變?yōu)榱似叫邪咫娙萜鳌?2由于保形變換的二維性，以及球形的對(duì)稱性，在坐標(biāo)系中我們引入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)[4]中定義的空間角：，將三維坐標(biāo)系變?yōu)槎S平面z的坐標(biāo)系。為變換方便，定義如下函數(shù)：

（31）

由于保形變換的二維性，以及球形的對(duì)稱性，在23取f(z)為映射函數(shù)：ω=f(z)所以：因?yàn)椋哼吔鐁僅有兩個(gè)值R1、R2。所以：

取f(z)為映射函數(shù)：ω=f(z)24顯然，ω平面上的平行板電容器的電容為：（35）由（35）式求出的電容值完全符合參考文獻(xiàn)[2]求出的同軸柱面電容器的電容值，證明這種方法確實(shí)有一定的普適性。顯然，ω平面上的平行板電容器的電容為：25結(jié)論：通過(guò)對(duì)以上三種電容器與平行板電容器的分析討論，我們得出，非平行板電容器兩極板間的電場(chǎng)空間確實(shí)可以看作平行板電容器兩極板間電場(chǎng)空間所擠壓扭曲而成，而通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以將非平行板電容器兩極板間的電場(chǎng)空間變?yōu)槠叫邪咫娙萜鲀蓸O板間的簡(jiǎn)單的平直的電場(chǎng)空間，而變化后原電容器的電容值就是變化后的平行板電容器的電容值。由于平行板電容器的電容值、極板間的電場(chǎng)分布、電勢(shì)分布易于求解，故這種變換方法在求一些復(fù)雜的電場(chǎng)電勢(shì)分布問(wèn)題的時(shí)候有一定的優(yōu)越性。結(jié)論：通過(guò)對(duì)以