高等數(shù)學(xué)-常微分方程-課件

第九章常微分方程9.1微分方程的基本概念9.2可分離變量的微分方程9.3一階線性微分方程1PPT課件第九章常微分方程9.1微分方程的基本概念9.利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀事物作定量分析.但在許多實(shí)際問(wèn)題中,而根據(jù)問(wèn)題所服從的客觀含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式,關(guān)系式稱為對(duì)它進(jìn)行研究確定出未知實(shí)際上就解決了最不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系,只能列出把這樣的牛頓和萊布尼茨求解問(wèn)題.微分方程.規(guī)律,函數(shù)的過(guò)程就是確定的微積分運(yùn)算的互逆性,簡(jiǎn)單的微分方程解微分方程.2PPT課件利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀事物作定量分析.但在許多實(shí)際問(wèn)題中,而解例

幾何問(wèn)題平面上一條曲線,任意一點(diǎn)切線的斜率等于這點(diǎn)的縱坐標(biāo),求這曲線的方程.9.1微分方程的基本概念設(shè)所求曲線為可以驗(yàn)證滿足這個(gè)方程,其中C為任意常數(shù).3PPT課件解例幾何問(wèn)題平面上一條曲線,任意一點(diǎn)切線的斜率等于這點(diǎn)的縱解設(shè)所求函數(shù)為

例自由落體運(yùn)動(dòng)一個(gè)物體在沒(méi)有空氣阻力的情況下,從某一高處放手下落時(shí)的速度與下落時(shí)間成正比,求該物體下落距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.則有其中k為常數(shù)，進(jìn)一步有4PPT課件解設(shè)所求函數(shù)為例自由落體運(yùn)動(dòng)一個(gè)物體在沒(méi)有空氣如含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程為方程中所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程.常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程為偏微分方程.微分方程的階.一階一階二階一階

一般的n階微分方程為或已解出最高階導(dǎo)數(shù)定義9.15PPT課件如含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為未知函數(shù)是一元函數(shù)的代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.微分方程的解的分類(1)通解微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解確定了通解中任意常數(shù)以后的解.如方程通解通解特解特解6PPT課件代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.微分方初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的附加條件.如前例,一階方程二階方程的初始條件表示為的初始條件表示為即為初始條件，7PPT課件初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的附加條件.如前例,一階方程二階方程對(duì)于方程：(或)左右兩端同時(shí)求不定積分，得到通解：對(duì)于不易求積分，兩端同時(shí)求積分，則啟示：如果方程可以化為兩端只含一個(gè)變量的形式，則可以兩端分別積分求解方程.9.2可分離變量的微分方程引例：8PPT課件對(duì)于方程：(或如果一階微分方程可以寫為：特點(diǎn)：方程的一端只含有變量y，一端只含有變量x,方程稱為可分離變量的方程。可分離變量的微分方程9PPT課件如果一階微分方程可以寫為：特點(diǎn)：方程的一端只含有變量y，一端

如果函數(shù)g(y)和f(x)都連續(xù)，則可以左右兩端同時(shí)求不定積分.其中，G(y)、F(x)是g(y)、f(x)的原函數(shù),C為常數(shù)。分離變量法得到：稱為微分方程的隱式通解.可分離變量的微分方程的解法:10PPT課件如果函數(shù)g(y)和f(x)都連續(xù)，則可以左右解通解為.ln的通解求方程yyyx=￠例11PPT課件解通解為.ln的通解求方程yyyx=￠例11PPT課件例求微分方程的特解.解：分離變量，得兩邊積分，得即方程的通解12PPT課件例求微分方程的特解.解：分離變量，得兩邊積分，得即方程把代入通解，整理后得到特解:

方程的通解:得到例求微分方程的特解.13PPT課件把代入通解，整理后得到特解:方程的通解:得到例求微分分析有兩種方法其一，將所給選項(xiàng)代入關(guān)系式直接驗(yàn)算，(B)正確.其二，對(duì)積分關(guān)系式兩邊求導(dǎo)化為微分方程,并注意到由所給關(guān)系式在特殊點(diǎn)可確定出微分方程所應(yīng)滿足的初始條件.練習(xí)一階微分方程考研數(shù)學(xué)3分14PPT課件分析有兩種方法其一，將所給選項(xiàng)代入關(guān)系式直接驗(yàn)算，(B)正確解可分離變量方程兩邊積分由原關(guān)系式得得分離變量一階微分方程,2lnd2)(20兩邊求導(dǎo)將關(guān)系式+??è?=òttfxfx15PPT課件解可分離變量方程兩邊積分由原關(guān)系式得得分離變量一階微分方程,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱為上面方程稱為如線性的;非線性的.齊次的;非齊次的.線性一階

自由項(xiàng)9.3一階線性微分方程16PPT課件一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱為上面方程稱為如線性的;齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)(C1為任意常數(shù))一階微分方程,lnd)(||ln1CxxPy+-=ò17PPT課件齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使2.線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.設(shè)想非齊次方程

待定函數(shù)線性齊次方程的通解是一階微分方程的解是18PPT課件2.線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.從而C(x)滿足方程一階微分方程19PPT課件從而C(x)滿足方程一階微分方程19PPT課件即一階線性非齊次微分方程的通解為常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.一階微分方程.)()(dd的解是xQyxPxy=+20PPT課件即一階線性非齊次微分方程的通解為常數(shù)變易法把齊次方程通解中的用常數(shù)變易法解一般的一階線性非齊次方程得到通解公式：注解一階線性微分方程，可以直接利用這個(gè)公式，也可以用常數(shù)變易法.21PPT課件用常數(shù)變易法解一般的一階線性非齊次方程得到通解公式：注解例一階線性非齊次方程一階微分方程22PPT課件解例一階線性非齊次方程一階微分方程22PPT課件解例第一步：先解對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量?jī)啥朔e分即：第二步：將常數(shù)變易為函數(shù)兩端求導(dǎo)代入得積分得第三步：代入令得通解23PPT課件解例第一步：先解對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量?jī)啥朔e分即：第二步解

積分方程一階微分方程例如圖所示,平行于y軸的動(dòng)直線被曲線y=f(x)陰影部分的面積,一階非齊次線性方程即截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于求曲線y=f(x).)0(33=xxy與24PPT課件解積分方程一階微分方程例如圖所示,平行于y軸的動(dòng)直線被所求曲線為一階微分方程25PPT課件所求曲線為一階微分方程25PPT課件9.4微分方程的應(yīng)用問(wèn)題例把“大氣壓隨高度變化而降低的速率與所在高度處的氣壓成正比”所含關(guān)系表示出來(lái).解：設(shè)大氣壓P和高度x之間的函數(shù)關(guān)系為第一步，設(shè)未知函數(shù)：大氣壓隨高度變化的速率為第二步，根據(jù)條件寫出方程第三步，取比例系數(shù)為正：26PPT課件9.4微分方程的應(yīng)用問(wèn)題例把“大氣壓隨高度變化而降低用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題，是微積分的重要應(yīng)用.用實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)該模型，如果存在問(wèn)題，則需研究，改進(jìn)模型.

（1）分析問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律建立微分方程，并提出初始條件.這個(gè)過(guò)程稱為這一步要求掌握和利用相關(guān)的自然科學(xué)知識(shí)及基本規(guī)律.（2）求微分方程的通解，然后利用初始條件求特解.（3）檢驗(yàn)改進(jìn)模型，具體步驟是：建立數(shù)學(xué)模型.觀察所得的解能夠在多大程度或范圍上反映實(shí)際問(wèn)題，27PPT課件用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題，是微積分的重要應(yīng)用.用實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)例冷卻問(wèn)題將一個(gè)溫度為50o的物體，放在20o的恒溫環(huán)境中冷卻，求物體溫度變化的規(guī)律.解冷卻定律：冷卻的速率與溫差成正比.”“溫度為T的物體，在溫度為的環(huán)境中設(shè)物體的溫度T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為

根據(jù)冷卻定律，有為比例常數(shù).因?yàn)樵跍囟却笥?0o時(shí)，溫度隨時(shí)間t的增加而降低，得到初始條件是28PPT課件例冷卻問(wèn)題將一個(gè)溫度為50o的物體，放在20o的恒溫解可分離變量的微分方程求出通解：

代入上式，求出得到物體溫度的變化規(guī)律是29PPT課件可分離變量的微分方程求出通解：代入上式，求出得到物體溫度例一電動(dòng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后，每分鐘溫度提高10o，同時(shí)按溫度冷卻規(guī)律散發(fā)熱量.假設(shè)電動(dòng)機(jī)在一個(gè)保持15o恒溫的房子里，求電動(dòng)機(jī)溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)電動(dòng)機(jī)溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是電動(dòng)機(jī)溫度增高的速率－電動(dòng)機(jī)溫度降低的速率.電動(dòng)機(jī)溫度增高的速率降低的速率初始條件為

得微分方程及初始條件一階線性非齊次微分方程30PPT課件例一電動(dòng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后，每分鐘溫度提高10o，同時(shí)按溫度解：設(shè)關(guān)于物質(zhì)總量問(wèn)題的模型物質(zhì)總量變化率=

物質(zhì)進(jìn)入容器的速率

—物質(zhì)離開(kāi)容器的速率

研究一個(gè)容器內(nèi)物質(zhì)總量隨時(shí)間變化的情況，目標(biāo)是測(cè)定某一時(shí)刻t，物質(zhì)在容器中的總量.此類模型的依據(jù)：31PPT課件關(guān)于物質(zhì)總量問(wèn)題的模型物質(zhì)總量變化率=物質(zhì)進(jìn)入容器的速率例物質(zhì)總量一個(gè)池內(nèi)有100的水，現(xiàn)用濃度為2以3秒的速度注入池內(nèi)，同時(shí)被攪拌均勻的混合溶液以相同的速度流出.求任一時(shí)刻t池內(nèi)鹽的含量.

的鹽溶液，解：設(shè)任一時(shí)刻t池內(nèi)鹽的總量為

則鹽的總量隨時(shí)間變化的速率為鹽進(jìn)入容器的速率為在任一時(shí)刻t,池內(nèi)鹽的含量為鹽離開(kāi)容器的速率：則濃度是混合溶液以3的速率離開(kāi)，所以鹽離開(kāi)池內(nèi)的速率是32PPT課件例物質(zhì)總量一個(gè)池內(nèi)有100的水，現(xiàn)用濃度為2以3解得初始條件是代入求出因此池內(nèi)鹽關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是根據(jù)上面所述模型的依據(jù)，得到鹽進(jìn)入容器的速率為鹽離開(kāi)池內(nèi)的速率33PPT課件解得初始條件是代入求出因此池內(nèi)鹽關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是根一、可降階的高階微分方程9.7二階微分方程簡(jiǎn)介1、型的方程特點(diǎn)左端為二階導(dǎo)數(shù)，右端不含有y.解法將這兩個(gè)等式則方程變?yōu)檫@是一個(gè)關(guān)于變量x,z的一階微分方程.如果其通解為則由再積分一次,可求出原方程的通解

代入到方程,令34PPT課件一、可降階的高階微分方程9.7二階微分方程簡(jiǎn)介1、例解微分方程該二階微分方程的特點(diǎn)是缺含未知函數(shù)的項(xiàng).

解法：代入原方程得到可分離變量的微分方程求出解再積分，得----通解設(shè)先降階為一階微分方程，解35PPT課件例解微分方程該二階微分方程的特點(diǎn)是缺含未知函數(shù)特點(diǎn)解法方程缺自變量x2、型的方程則方程變成這是關(guān)于變量y,z的一階方程.設(shè)它的通解為分離變量并積分,得通解為設(shè)將z看成是以y為中間變量的x的函數(shù).36PPT課件特點(diǎn)解法方程缺自變量x2、例解微分方程特點(diǎn)：缺含自變量的項(xiàng)，

解法：先降階為一階微分方程.設(shè)這時(shí)成為中間變量，有

將代入原方程得到37PPT課件例解微分方程特點(diǎn)：缺含自變量的項(xiàng)，解設(shè)得到求出解即再積分，即為所求的通解.的解）.得到（通解包含了38PPT課件設(shè)得到求出解即再積分，即為所求的通解.的解）.得到（二、二階常系數(shù)線性方程1、二階常系數(shù)線性方程的定義二階常系數(shù)齊次線性方程,形如的方程，稱為其中是常數(shù).定義：二階常系數(shù)非齊次線性方程,形如的方程，稱為其中是常數(shù).39PPT課件二、二階常系數(shù)線性方程1、二階常系數(shù)線性方程的定義二階常系數(shù)2、二階常系數(shù)線性方程的解法(3)